2017학년도 중등수학교사 임용고사 해석학 문제 풀이

2016년 12월 3일 실시된 2017학년도 중등학교교사 임용후보자 선정경쟁시험 1차 전공 A와 전공 B 문제 중 미적분학, 해석학, 위상수학과 관련된 문제의 풀이입니다. 2017학년도 중등수학교사 임용고사 1차 전공 A 기출문제(pdf) 2017학년도 중등수학교사 임용고사 1차 전공 B 기출문제(pdf) 이 글에서 풀이를 실은 문제는 다음과 같습니다. A형 : 4번, 5번, 6번, 11번, 12번. B형 : 4번, 7번. A-4. 좌표평면에서 영역 \(D\)가 \[D… Read More »

명제논리와 Bool 대수

19세기는 수학이 극도로 추상화되고 정제되는 시점이었다. Hilbert는 Euclid의 기하학 공리를 개선하여 새로운 기하학의 공리를 만들었으며, 그 공리들로부터 Descartes의 좌표를 이용한 Euclid 평면 \(\mathbb{R} ^2\)가 만들어질 수 있음을 보였다. Dyck과 Cayley는 기존의 군(group)의 개념을 정제하여 공리적으로 군을 정의하였다. 이 시기에 George Bool은 사고의 법칙을 정제하여 대수적 공리로 변환하고자 노력하였다. 즉 Bool은 논리와 대수의 공통점과 차이점을 비교하고 그들을 통합할 방법을… Read More »

명제논리의 건전성, 완전성, 긴밀성

명제논리에 대하여 논할 때는 두 가지 관점에서 논하게 된다. 하나는 구문론적 관점이며 다른 하나는 의미론적 관점이다. 구문론에서는 문자열의 의미는 따지지 않고 오직 기호 사이의 형식적 관계에만 관심을 가진다. 반면 의미론에서는 논리변수의 진릿값 배정에 따른 논리식의 진릿값과 논리식 사이의 논리적 귀결에 대해 관심을 가진다. 이들 두 관점은 완전히 서로 다른 것처럼 보이지만, 사실은 밀접한 연관을 가지고 있다. 즉 가정이… Read More »

명제논리의 구문과 의미

명제논리(propositional logic)란 간단히 말하면 명제변수와 기본 결합자(부정, 명제합, 명제곱, 함의), 그리고 몇 가지 공리와 추론규칙으로 이루어진 논리계를 뜻한다. 명제논리에서는 한정기호를 사용하지 않으므로 명제논리에서 다룰 수 있는 내용이 그렇게 다양한 것은 아니다. 그러나 추론 정리, 완전성 정리, 건전성 정리 등 더 복잡한 논리계를 다룰 때 기본적으로 만나는 정리들을 명제논리에서도 만나게 되므로, 명제논리는 수리논리를 공부하기 위해 기본으로 거쳐야 할 관문이다.… Read More »

형식논리

형식논리에서는 문자열 또는 주어진 문자들의 유한열에 대하여 다룬다. 여기서 문자열은 그 자체로서는 어떠한 의미도 갖지 않는다. '공리', '추론규칙', '정리', '증명' 등의 용어를 사용하지만 이러한 용어는 일반적인 수학적 의미와는 독립적으로 사용된다. '정리'가 '증명'될 수 있다는 사실이 우리가 실제로 다루는 수학의 체계에서 어떠한 역할을 하는지는 뒤에서 밝혀질 것이다. 형식계의 의미 형식계(formal system)는 다음 네 가지로 구성된 체계이다. 알파벳 \(A\) :… Read More »