Banach 대수에서의 스펙트럼과 분해

\(X\)가 항등원 \(1\)을 가진 Banach 대수라고 하자. \(X\)에서의 노름이 정규화되었다고 하자. 즉 \(\lVert 1 \rVert = 1\)이라고 하자. 이제 \(X\)에서의 스펙트럼과 분해를 살펴볼 것이다. 이 글을 읽는 동안 다음 두 공간을 염두에 두면 이해하기 쉬울 것이다. 공간 \(B(X)\). 여기서 \(X\)는 Banach 공간이다. 상한노름이 주어진 \(C(G)\). 여기서 \(G\)는 긴밀위상공간이고 곱은 함수의 점별곱으로 정의되며 \(1\)은 상수함수를 나타낸다. 이 공간들에 대하여… Read More »

일반적인 긴밀작용소의 스펙트럼

이 글에서는 복소 Banach 공간 \(X\) 위에서의 긴밀작용소의 스펙트럼의 구조에 대하여 살펴본다. 복소 Banach 공간 위에서의 임의의 작용소 \(T\)에 대하여 \(T\)의 분해집합(resolvent set) \(\rho (T)\)는 \(T - \lambda 1\)이 가역인 \(\lambda \in \mathbb{C}\)들로 이루어져 있으며 스펙트럼 \(\sigma (T)\)는 그 여공간이다. 만약 \(\lambda \in \sigma (T)\)이면 \(T - \lambda 1\)이 가역이 아닌 경우가 몇 가지 존재한다. \(N(T-\lambda 1) \neq… Read More »

자기수반 긴밀작용소의 스펙트럼

이 글에서 \(X\)는 완비인 Hilbert 공간을 나타내는 것으로 약속한다. \(T : X \to X\)가 유계선형범함수이면 \(X\)와 \(X^*\) 사이의 Riesz 동형성을 통해 \(T^*\)를 \(X\)로부터 \(X\)로의 사상으로 여길 수 있다. 즉 \(T^*\)가 \[\langle T^* x ,\,y \rangle = \langle x ,\, Ty \rangle\] 로 정의된 것으로 생각할 수 있다. 유한 차원 복소 Hilbert 공간의 경우 \(T\)는 복소사각행렬로 표현될 수 있으며… Read More »

잔인한 달, 오 월

5월은 잔인한 달이다. 작년에도 그랬고, 그 전 해에도 그랬으며, 그 전에도, 어느 해에나 그랬다. 올해도 결국 벗어나지 못했다. 지나고 나서야 깨닫는 5월. 그 끝에 네가 있구나. ** * ** 2014년은 그러했다. 2015년을 잊었다. 2016년의 5월이 찾아왔다. 소금기 품은 바람, 이천십육 년의 오 월을 적셨다. 안녕, 이천십칠 년의 오 월. 안녕.

You Don’t Know

Can't stop these feet from sinking And it's starting to show on me You're staring while I'm blinking But just don't tell me what you see I'm so over all this bad luck Hearing one more "Keep your head up" Is it ever gonna change?

긴밀작용소

이 포스팅에서는 Hilbert-Schimidt 작용소와 긴밀작용소를 살펴본다. 보조정리 1. \(\left\{ e_i \right\}\)와 \(\left\{ \overline{e_i} \right\}\)가 각각 가분 Hilbert 공간 \(X\)의 정규직교벡터이고 \(T\in B(X)\)일 때 \[\sum_{i,j} \lvert \langle Te_i ,\, e_j \rangle \rvert ^2 = \sum_{i,j} \lvert \langle T \overline{e_i} ,\, \overline{e_j} \rangle \rvert ^2 \] 이 성립한다. 증명. 임의의 \(w\in X\)에 대하여 \[\sum_{j} \lvert \langle w,\, e_j \rangle \rvert… Read More »

범약위상

\(X\)가 위상벡터공간이라고 하자. \(X\)의 위상을 이용하여 쌍대공간 \(X^*\) 위에 두 가지 위상을 정의할 수 있다. 먼저 \(X^{**}\)에 속한 범함수들이 모두 연속이 되도록 하는 위상 중 가장 작은 위상을 정의할 수 있는데, 이러한 위상을 약위상이라고 부른다. 또 \(x\in X\)에 대하여 정의된 반노름 \(f \,\mapsto\, f(x)\)에 의하여 얻어지는 위상을 부여할 수도 있는데, 이러한 위상을 범약위상이라고 부른다. \(X\)가 반사적 공간인 경우… Read More »

약위상

\(X\)가 Banach 공간이라고 하자. 각 \(f\in X^*\)에 대하여 대응 \[f \,\mapsto\, \lvert f(x) \rvert \] 는 \(X\)의 반노름이며, 각 \(f\in X^*\)에 대응되는 위와 같은 반노름들의 모임은 Hahn-Banach 정리의 조건을 만족시킨다. 따라서 위와 같은 노름들의 모임을 이용하여 \(X\)를 TVS가 되도록 새로운 구조를 줄 수 있다. 이것을 \(X\) 위에서의 약위상(weak topology)이라고 부른다. 특히 수열 \(\left\{x_n \right\}\)이 임의의 \(f\in X^*\)에 대하여… Read More »

함수해석학의 기본 정리

함수해석학에서 중요한 정리로는 다음과 같은 것들을 꼽을 수 있다. Hahn-Banach의 정리 열린 사상 정리 균등유계 원리 닫힌 치역 정리 스펙트럼 정리 이 중에서 Hahn-Banach의 정리는 이미 살펴보았으므로(관련 글) 여기서는 열린 사상 정리, 균등유계 원리, 닫힌 치역 정리를 살펴보자. 스펙트럼 정리는 뒤에서 별도의 주제로 다룬다. Baire의 범주 정리 먼저 Baire의 범주 정리를 살펴보자. 범주 정리는 해석학의 다양한 분야에서 보조정리로… Read More »

쌍대공간

정의역이 벡터공간이고 공역이 체인 함수를 범함수(functional)라고 부른다. 또한 정의역이 노름선형공간 \(X\)인 범함수들의 모임 \(B(X,\,\mathbb{F})\)를 \(X\)의 쌍대공간(dual space)이라고 부르며 \(X^*\)로 나타낸다. \(X\)의 쌍대공간의 쌍대공간을 제 2 쌍대공간이라고 부르며 \(X^{**}\)로 나타낸다. \(X\)와 \(Y\)가 노름선형공간이고 \(T\)가 \(X\)로부터 \(Y\)로의 함수라고 하자. 이때 임의의 \(f \in Y^*\)와 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[T^* f(x) := f(Tx) \] 로 대응시키는 함수 \(T^* : Y^* \,\to\,… Read More »