Christina’s World

크리스티나. 그는 멀리 떨어진 집을 향하고 있지만 실제로 그의 시선이 어디를 향해 있는지, 그가 어디로 가고자 하는지, 어떤 생각을 하고 있는지는 알 길이 없다. 비틀어진 몸과 앙상한 팔, 헝클어진 머리, 황량한 벌판. 지나치게 사실적이면서도 지나치게 비현실적인 이 그림에서 나는 나를 보았고, 당신을 보았다. 익숙한 것들로 가득하지만 익숙하지 않은 공간. 손에 잡힐 듯이 가까워 보이지만 결코 닿을 수 없는… Read More »

Chatting Functions

The functions are sitting in a bar, chatting (how fast they go to zero at infinity etc.). Suddenly, one cries "Beware! Derivation is coming!" All immediately hide themselves under the tables, only the exponential sits calmly on the chair. The derivation comes in, sees a function and says "Hey, you don't fear me?" "No, I am e to… Read More »

도함수가 자기 자신과 같은 함수

지수함수 \(y = e^x\)의 도함수를 구하면 \(y ' =e^x\)으로서 도함수가 자기 자신과 같다. 그렇다면 도함수가 자기 자신과 같은 함수는 이 외에 어떤 것이 있을까? \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 임의의 실수에 대하여 미분 가능하고 \[f ' (x) = f(x) \tag{1}\] 를 만족시키는 함수라고 하자. 이 식의 양변에 \(e^{-x}\)을 곱하고 우변을 좌변으로 이항하면 다음을 얻는다. \[e^{-x} f ' (x)… Read More »

\(e^{\pi}\)과 \(\pi^e\)의 크기 비교

실수계에서 덧셈과 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하기 때문에 더하는 순서나 곱하는 순서에 상관 없이 그 결과는 일정하다. 즉 임의의 실수 \(a , \) \(b\)에 대하여 \[a+b = b+a , \quad ab = ba\] 가 성립한다. 그러나 거듭제곱의 경우에는 교환법칙이 성립하지 않는다. 예컨대 \[2^3 \neq 3^2\] 이다. 위 식에서와 같이 \(a\)와 \(b\)가 정수인 경우에는 \(a^b\)와 \(b^a\)의 크기를 비교하는 것이 크게… Read More »

비 내리는 소리

비 내리는 소리 손에 잡힐 듯한 소리 빗방울 다가오는 소리 빗줄기가 하늘에서 땅까지 이어져 있다면 장마철 빗줄기를 몇 웅큼 썰어다가 빗방울 옷을 지어야겠다 빗줄기가 씨실 날실이 되어 부끄러움을 감추고 치마 끝에는 동그란 빗방울이 반짝반짝 달리겠다 빗방울 옷을 입고 동네를 한 바퀴 돌면 무지개가 뜨겠지? 땀방울 모자 쓰고 있던 어머니 얼굴에 미소가 뜨겠지? 비 그치는 소리 빗방울 멀어지는 소리… Read More »

MONDO GROSSO – ラビリンス

고개 돌리지 말아줘 슬퍼지는 쪽으로 눈을 감고 입을 맞춰줘 달콤하게 녹아내리는 멜로디 끌려 들어가 미궁 같은 파라다이스 출구도 모른 채 끝도 모른 채 안겨 있고 싶어 방해하지 마 한밤중의 파라다이스 숨도 쉬지 않고 빨려 들어가는 둘만의 댄스 찾지 말아줘 아름다운 미궁에서 입을 맞추면 돌아갈 수 없는 둘만의 댄스 깊이 헤매며 대낮 같은 백야처럼 감각을 잃은 채 어느 쪽도… Read More »

워드프레스에서 수식을 삽입하기 위한 코드

워드프레스에 수식을 삽입하는 방법은 여러 가지가 있으나 가장 권장하는 방법은 MathJax를 이용하는 것이다. MathJax는 HTML 문서에서 TeX 문법에 따라 수식을 손쉽게 입력할 수 있도록 해주는 스크립트이다. 자바스크립트이므로 서버에 CGI를 설치하는 부담 없이 블로그에 적용할 수 있다. (MathJax 공식 홈페이지) 수학이나 물리학을 주제로 블로그를 운영하는 사람들에게 도움이 되기를 바라며 이 블로그에서 사용하는 MathJax 삽입 코드와 스타일시트 코드를 공개한다. 테마… Read More »

함수해석학 강의노트

함수해석학은 벡터공간의 해석적 성질과 벡터공간 사이의 선형작용소에 대하여 연구하는 수학의 분야이다. 이 노트는 기초해석학, 다변수해석학, 복소해석학, 측도론, 선형대수학, 추상대수학, 위상수학의 내용에 이어지는 것으로서 함수해석학의 기본적인 내용을 간략히 다룬다. 내적공간과 노름공간 부분공간과 상공간 Hilbert 공간의 기본 성질 선형작용소와 선형범함수 쌍대공간 함수해석학의 기본 정리 약위상 범약위상 긴밀작용소 자기수반 긴밀작용소의 스펙트럼 일반적인 긴밀작용소의 스펙트럼 Banach 대수에서의 스펙트럼과 분해 Hilbert 공간에서의 스펙트럼… Read More »

Hilbert 공간에서의 스펙트럼

이 글에서는 Hilbert 공간에서의 자기수반 작용소의 스펙트럼에 대하여 살펴보자. 먼저 자기수반 작용소가 실스펙트럼을 가짐을 보이자. 보조정리 1. \(H\)가 Hilbert 공간이고 \(T \in B(H)\)가 자기수반 작용소이면 \(\sigma (T) \subseteq \mathbb{R}\)이다. 증명. \(\lvert \langle ( \lambda 1-T) x,\,x \rangle \rvert \ge \lvert \mathrm{Im} \langle ( \lambda 1-T )x ,\,x \rangle \rvert = \lvert \mathrm{Im} \lambda \rvert \lVert x \rVert ^2… Read More »