대수적 위상수학이란 무엇인가

By | February 4, 2014

대수적 위상수학이란 무엇인가

Joseph Neisendorfer

대수적 위상수학의 초창기

대수적 위상수학은 20세기에 주된 연구가 시작된 분야이지만 그 유래는 고대 수학에서도 찾을 수 있다. 예를 들어, 정다면체의 개수가 몇 개인지 알아볼 때 오일러 표수를 사용할 수 있다. 여기서 오일러 표수는 본래 쾨니히베르크의 칠교문제와 같은 그래프 이론에 관련된 문제를 연구하기 위해 도입되었다. 일곱 개의 다리를 단 한 번씩만 지나서 모두 건널 수 있는가? 그렇지 않다. 그것은 오일러 표수를 이용하여 증명된다. 후에 가우스는 두 원이 연결되어 있는지를 알려주는 불변량인 연결수(linking number)를 정의하였다. 연결수가 불변량인 이유는 도형의 모양을 연속적으로 변화시켜도 연결수는 변화하지 않기 때문이다. 가우스는 또한 곡면의 전곡률과 오일러 표수 사이의 관계도 밝혀냈다. 그러한 모든 아이디어는 연속적인 기하학적 성질은 이산적인 불변량을 통하여 밝힐 수 있다는 생각으로부터 비롯된 것이었다.

대수적 위상수학의 강점 중 하나는 그것이 수학의 많은 분야에 응용된다는 것이다. 현대의 대수적 위상수학은 물리학, 미분기하학, 대수적 기하학, 정수론 등에도 응용되고 있다. 예를 들어 상수가 아닌 다항식 \(p(z)\)에 대하여 방정식 \(p(z)=0\)은 복소해를 가진다는 것을 증명할 수 있다. 복소평면에서 중심이 원점이고 반지름이 \(R\)인 원을 생각하자. 다항함수 \(p(z)\)는 이 원을 복소평면에서 폐곡선으로 변환시킨다. 만약 그 상(image)이 자기 자신과 자신과 겹치는 점을 가진 폐곡선이라면 \(p(z)=0\)은 해를 갖게 된다. 이제 \(R\)가 충분히 크다고 가정하자. 그러면 \(p(z)\)의 최고차항은 가장 빨리 증가하므로 \(p(z)\)는 원을 폐곡선으로 변환시키는데, 그 폐곡선은 \(p(z)\)의 차수만큼 원점을 감싼다. 이것을 원점의 회전수(winding number)라고 부른다. 그 값은 항상 정수이며, 원점을 지나지 않는 모든 폐곡선에 대하여 정의된다. 곡선을 변형시키는 동안 회전수는 연속적으로 변화해야 한다. 그러나 회전수는 정수이므로 그 값은 연속적으로 변화할 수 없고, 따라서 곡선이 변형되면서 원점을 통과하지 않는 한 그 값은 상수이다. 이제 곡선이 원점으로부터 떨어진 거리가 0에 가까워지도록 변형시키되 곡선이 원점은 통과하지 않도록 하자. 곡선이 매우 작아지므로 아주 작아져 원점 자체가 되어버리기 전까지는 회전수는 0이 되어야 한다. 만약 곡선이 아주 작아져 원점이 되어버리면 원점이 방정식의 해가 된다. 만약 그렇지 않으면 회전수는 0이고, 이것은 다항식의 차수가 0이 된다는 것을 의미한다. 즉 이 경우 다항식은 상수함수가 된다.

곡선의 회전수는 대수적 위상수학의 두 가지 중요한 원리를 보여준다. 첫째, 폐곡선이라는 기하학적 개체가 회전수라는 이산적인 값에 연관되었다는 것이다. 둘째, 곡선을 변형시켜도 회전수는 변하지 않았으며 따라서 그것은 변형에 영향을 받지 않고 불변이라는 것이다. 이것을 호모토피(homotopy)의 불변성(invarient)이라고 부른다.

20세기의 관점

현대의 대수적 위상수학에서는 대수를 이용하여 공간의 전역적 성질을 연구한다. 공간과 대수를 처음으로 기본군(fundamental group)을 이용하여 연구한 것은 푸엥카레이다. 기본군은 회전수의 개념을 모든 공간에 적용할 수 있는 개념으로 일반화한 것이다.

대수적 위상수학이 무엇을 연구하는 분야인가에 대하여 이해하려면, 우리는 지구라는 구면 위에 살고 있지만 지표면에서는(국소적으로는) 살고 있는 땅을 평면과 구분하기 어렵다는 것을 생각해보면 된다. 우리가 구면 위에서 살고 있다는 것을 보이는 방법 중 하나는 삼각형의 내각의 합을 구하는 것이다. 작은 삼각형의 경우에는 내각의 합이 180도를 조금 넘는다. 큰 삼각형의 경우에는 그 차이가 더 커진다. 이것은 우리가 양의 곡률을 가진 표면 위에서 살고 있다는 것을 말해준다. 그러나 우리가 사용하는 삼각형은 전체 면에 비해 매우 작기 때문에 그러한 삼각형의 내각을 측정하여 얻은 값은 우리가 살고 있는 면의 전체적인 성질을 말해주지 못한다. 이것은 미분기하학의 분야에서 연구하는 성질이다. 대수적 위상수학은 한 점에서의 성질보다는, 구면 전체는 평면의 조각과는 달리 경계를 갖지 않는 유한 면이라는 것과 같은, 표면 전체의 성질을 연구한다. 대수적 위상수학에서는 불변군(invariant grup)을 구면, 또는 다른 개체에 대응시킴으로서 그러한 성질을 설명한다. 그러한 군은 종류에 따라 호모토피 군 또는 호몰로지 군으로 불린다. 대응된 공간이 변형되더라도 그러한 변형이 연속적인 변형이면 호모토피 군 또는 호몰로지 군은 변화하지 않는다. 구는, 구가 그 안에 구멍을 가지고 있는지를 측정하는 무한군에 할당되지만, 평면은 그렇지 않으므로 영군(zero group)에 할당된다. 이 두 군이 서로 다르다는 사실로부터 두 공간이 전역적(globally)으로 다르다는 것을 알 수 있다.

대수적 위상수학은 2차원이나 3차원 공간의 개체뿐만 아니라 더 다양한 공간의 개체를 다룬다. 예를 들어 대수적 위상수학에서는 4차원 공간에 속한 3차원 구면, 그리고 4차원 시공간 그 자체도 연구한다.

연속적 변형의 개념은 다음과 같은 예를 통해 설명할 수 있다. 손잡이를 가진 커피잔과 도넛을 생각해 보자. 그 둘이 모두 찰흙같이 변형될 수 있는 물질로 만들어져 있다면, 커피잔에 구멍을 뚫거나 찢거나 구멍을 붙이지 않고 변형시켜 도넛을 만들 수 있으며, 그 반대로도 할 수 있다. 이것은 이들 두 모양이 동일한 호모토피 군, 그리고 동일한 호몰로지 군을 가진다는 것을 의미한다. 즉 호모토피 군과 호몰로지 군은 불변이다. 반면에 도넛을 아무리 연속적으로 변형시켜도 구를 만들 수는 없다. 이것은 그들의 호모토피 군과 호몰로지 군이 서로 다르다는 것을 의미한다.

호모토피 군이란 무엇인가

\(n\)차원 구면, 더욱 일반적으로 \(n\)차원 다양체(manifold; 토러스는 구면과 동일하지 않은 2차원 다양체의 예이다)가 주된 연구 대상이다. 구면을 연구하는 한 방법은 정의역이 \(k\)차원 구면이고 치역이 \(n\)차원 구면인 연속함수를 이용하는 것이다. 만약 그 함수가 연속적인 변환일 때 그 함수를 호모토픽 함수라고 부른다. 호모토픽 함수에 의한 대응은 동치관계이며 그러한 동치관계에 의한 상집합을 생각할 수 있다. 그러한 상집합을 호모토피 군이라고 부르며, 지금 논하고 있는 경우의 예에서는 \(n\)차원 구면의 \(k\)번째 호모토피 군이 된다.

여기서 이들 군에 대한 매우 중요한 정리 하나를 밝히고자 한다. 군의 중요한 성질 중 하나는 한 원소를 자기 자신과 거듭 연산하였을 때 자명한 원소(호모토피 군의 경우에는 상수함수)가 되는 연산 횟수이다. 이 수를 군의 원소의 위수라고 부른다. 예컨대 3차원 구면의 호모토피 군에서는 위수가 4이지만 8은 아닌 원소, 위수가 3이지만 9는 아닌 원소, 위수가 5이지만 25는 아닌 원소 등을 찾을 수 있다. 5차원 구면의 호모토피 군에서는 위수가 8이지만 16은 아닌 원소, 위수가 9이지만 27은 아닌 원소, 위수가 25이지만 125는 아닌 원소를 찾을 수 있다. 정의역의 차원이 아무리 크더라도 이러한 법칙이 성립한다. 이 사실은 1970년대 말에 발견되었으며 Cohen-Moore-Neisendorfer 정리라고 불린다.

원본출처 : http://www.math.rochester.edu/people/faculty/jnei/home.html
번역 : Shin, April 29, 2010.

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