구의 부피와 겉넓이 구하는 공식 유도

By | April 4, 2012

적분을 이용하여 반지름이 \(r\)인 구의 부피와 겉넓이를 구해보자. 다항함수의 미분법과 적분법을 알고 있으면 충분하다. [이 글은 고등학교 과정에서 이해할 수 있는 수준으로 작성되었다.]

구는 반원의 회전체이므로 회전체의 부피 구하는 공식을 이용하면 구의 부피를 구할 수 있다. 반지름이 \(r\)인 반원의 방정식은 \[y = \sqrt{ r^2 - x^2 } ~~ ( -r \le x \le r ) \]이며 이것을 그래프로 나타내면 다음과 같다.

회전체를 여러 개의 얇은 원기둥으로 잘라서 부피를 구한 뒤 그 값에 극한을 취하면 회전체의 부피가 된다. 따라서 구의 부피는 다음과 같이 계산된다.

\[ \begin{eqnarray} \int_{-r}^{r} \pi \left( \sqrt{ r^2 - x^2} \right) ^2 dx &=& \int_{-r}^{r} \pi \left( r^2 - x^2 \right) dx \\ &=& 2 \pi \int_{0}^{r} \left( r^2 - x^2 \right) dx \\ &=& 2 \pi \left[ r^2 x - \frac{1}{3} x^3 \right] _{x=0}^{x=r} \\ &=& 2 \pi \left( r^3 - \frac{1}{3} r^3 \right) \\ &=& \frac{4}{3} \pi r^3 \end{eqnarray} \]

이번에는 구의 겉넓이를 구하자. 구의 겉넓이 구하는 방법은 구의 부피를 구하는 방법과는 약간 다르다. 부피를 구할 때에는 구를 원기둥 조각의 합으로 생각하였지만, 겉넓이를 구할 때에는 구를 원뿔대 조각의 합으로 생각해야 한다. [만약 구의 겉넓이를 구할 때에도 구를 원기둥 조각의 합으로 생각하면 그래프의 기울기의 절댓값이 큰 곳에서는 원기둥 조각의 옆면의 넓이와 실제 구의 겉넓이가 크게 차이나기 때문이다.]

위 그림과 같은 원뿔대 조각의 모선의 길이 \(\Delta s\)의 근삿값은 다음과 같다.
[계산 과정에서 \(f'(x) \fallingdotseq \Delta y / \Delta x \)라는 사실을 이용한다.]\[ \begin{eqnarray} \Delta s &=& \sqrt{ ( \Delta x )^2 + ( \Delta y )^2 } \\ &\fallingdotseq& \sqrt{ (\Delta x)^2 + (f'(x) \Delta x)^2 } \\ &=& \sqrt{1 + (f'(x))^2 } \Delta x \end{eqnarray} \]

이때 원뿔대 조각의 옆면의 넓이의 근삿값은 (모선의 길이)×(한 밑면의 둘레의 길이)로 구할 수 있다. 따라서 원뿔대 조각의 옆면의 넓이 \(\Delta S\)의 근삿값은 다음과 같다. \[\Delta S \fallingdotseq 2 \pi f(x) \Delta s \fallingdotseq 2 \pi f(x) \sqrt{ 1 + (f'(x))^2 } \Delta x \]물론 여기서 \(f\)는 다음과 같이 정의된 함수이다.\[ f(x) = \sqrt{r^2 - x^2} \]이 함수를 \(x\)에 대하여 미분하면 다음을 얻는다.\[ f'(x) = \frac{-x}{ \sqrt{r^2 - x^2 }} . \]이제 \(\Delta S\)의 근삿값 구하는 공식에 \(f(x)\)와 \(f'(x)\)를 대입하면 다음을 얻는다. \[\Delta S \fallingdotseq 2 \pi \sqrt{r^2 -x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2 }} \Delta x = 2 \pi r \Delta x. \]여기서 \(x\)의 변화량 \(\Delta x\)가 \(0\)에 가까울 수록 \(\Delta S\)는 원뿔대 조각의 옆면의 넓이와 가까워지며, 동시에 \(\Delta S\)는 구를 자른 부분의 면조각의 넓이에 가까워진다. 따라서 변수 \(x\)에 대한 구면의 면적소는 다음과 같다. \[dS =2 \pi r ~ dx \]여기서 "변수 \(x\)에 대한 면적소"라는 것은 \(x\)의 변화량이 매우 작을 때 구하려는 겉넓이의 변화량을 의미한다. 따라서 위 면적소를 \(x\)의 범위 \(-r \le x \le r\)에서 적분하면\[ \begin{eqnarray} \int_{-r}^{r} dS &=& 2 \int_{0}^{r} dS \\ &=& 2 \int_{0}^{r} 2 \pi r ~ dx \\ &=& 4 \pi r \int_{0}^{r} dx \\ &=& 4 \pi r^2 \end{eqnarray} \]을 얻는다. 이것이 우리가 구하려던 구의 겉넓이다.

참고로 \(a \le x \le b\)인 범위에서 정의된 함수 \(f\)가 미분 가능하고 \(0\) 이상의 값만 가질 때, \(f\)의 그래프를 \(x\)축을 중심으로 회전하여 얻은 회전체의 겉넓이 구하는 공식은 다음과 같다.\[2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \]이 공식은 원뿔대 조각을 이용하여 유도된다. 이 공식의 유도 과정은 이 글의 중간 부분에 있다.

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