n차원 구의 부피와 겉넓이

By | April 11, 2012

이 글에서는 감마 함수를 정의하고, 이를 이용하여 \(n\)차원 구의 부피와 겉넓이를 구해보자.

\(k\)가 자연수일 때 \(1\)부터 \(k\)까지의 자연수들을 모두 곱한 수를 \(k ! \)로 나타낸다. [\(k !\)은 \(k\)의 차례곱 또는 계승이라고 부르고 '\(k\) 팩토리얼'이라고 읽는다.] 이 값은 \(k\)가 \(0\) 이상의 정수일 때에만 정의가 된다. 그런데 수학의 여러 분야에서는 \(k\)가 정수일 때 뿐만 아니라 실수일 때에도 \(k !\)의 값을 구해야 할 때가 있다. 그래서 함수 \(k \mapsto k!\)의 정의역을 음이 아닌 실수 전체로 확장한 함수를 만들었는데, 그것이 감마 함수이다.

감마함수 \(\Gamma (x) \)는 양수 \(x\)에 대하여 다음과 같이 정의된다. \[\Gamma (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt \]정의에 의하여 \[\Gamma (1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = 1\]이고 \[ \begin{eqnarray} \Gamma (1/2) &=& \int_{0}^{\infty} t^{-1/2} e^{-t} dt \\ &=& 2 \int_{0}^{\infty} e^{-u^2} dt = \sqrt{ \pi} \end{eqnarray} \]이다.

정리 1. 임의의 양수 \(x\)에 대하여 \(\Gamma(x)\)는 수렴하고 \[\Gamma (x+1) = x \Gamma (x) \]가 성립한다. 또한 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \[ \Gamma (n) = (n-1)! \]이 성립한다.

증명. 감마 함수를 다음과 같이 두 개의 적분의 합으로 나타내자. \[ \Gamma (x) = \int_{0}^{1} t^{x-1} e^{-t} dt + \int_{1}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt =: I_1 + I_2 \]먼저 \(I_2\)가 수렴함을 보이자. 로피탈의 법칙을 이용하면 임의의 실수 \(y\)에 대하여 \[\lim_{t\to\infty} e^{-t/2} t^y = 0\]이 성립함을 알 수 있다. 따라서 충분히 큰 \(t\)에 대하여 \[e^{-t} t^{x-1} \le e^{-t/2}\]이므로 특이적분의 비교 판정법에 의하여 \(I_2\)는 수렴한다.

다음으로 양수 \(x\)에 대하여 \(I_1\)이 수렴함을 보이자. \(x \ge 1\)이라고 하면 임의의 \(t\in [0,~1]\)에 대하여 \(t^{x-1}\le 1\)이고\[ I_1 = \int_{0}^{1} t^{x-1} e^{-t} dt \le \int_{0}^{1} e^{-t} dt = 1 - \frac{1}{e} < \infty \]이다. 따라서 \(x \ge 1\)일 때 \(\Gamma (x)\)는 수렴한다. 다음으로 \(0 < x < 1\)이라고 하자. 그러면 \(x+1 \ge 1\)이므로 \(\Gamma (x+1)\)도 수렴한다. 부분적분법을 이용하면 \[ \begin{eqnarray} \Gamma (x) &=& \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt \\ &=& \frac{ t^x e^{-t}}{x} \bigg{|} _{t=0}^{\infty} + \frac{1}{x} \int_{0}^{\infty} t^{x} e^{-t} dt \\ &=& \frac{1}{x} \Gamma (x+1) \end{eqnarray} \]이므로 \(0 < x < 1\)일 때에도 \(\Gamma (x)\)는 수렴한다. 또한 위 등식에 의하여 \[x \Gamma (x) = \Gamma (x+1)\]이므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \[\Gamma (n) = (n-1)!\]이 성립한다.

감마 함수는 차례곱 함수의 정의역을 확장한 것일 뿐만 아니라, 기본적인 방법으로 풀 수 없는 적분을 계산하는 데에도 사용된다.

정리 2. 양수 \(x,\) \(y\)와 \(3\) 이상인 자연수 \(k\)에 대하여 다음이 성립한다.

\[ \begin{eqnarray} ({\rm i}) &~& \int_{0}^{1} v^{y-1} (1-v)^{x-1} dv = \frac{\Gamma (x) \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)} \\ ({\rm ii}) &~& \int_{0}^{\pi /2} ( \cos ^{2x-1} \varphi )( \sin ^{2y-1} \varphi ) d \varphi = \frac{ \Gamma (x) \Gamma (y) }{2 \Gamma (x+y) } \\ ({\rm iii}) &~& \int_{0}^{\pi} \sin ^{k-2} \varphi ~ d \varphi = \frac{\Gamma \left( \frac{k-1}{2} \right) \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)} {\Gamma \left( \frac{k}{2} \right) } \end{eqnarray} \]

증명. 먼저 (i)을 증명하자. \[v = \frac{u}{1+u}\]로 치환하면\[\begin{eqnarray} &~& \int_{0}^{1} v^{y-1} (1-v)^{x-1} dv \\ &~&~~~~~~~~~~= \int_{0}^{\infty} \left( \frac{u}{1+u} \right)^{y-1} \left( 1 - \frac{u}{1+u} \right)^{x-1} \frac{1}{(1+u)^2} ~dy \\ &~&~~~~~~~~~~= \int_{0}^{\infty} u^{y-1} \left( \frac{1}{1+u} \right)^{x+y} ~du \end{eqnarray} \]를 얻는다. 다시\[s = \frac{t}{1+u} ,~~ w = su \]로 치환하고 푸비니의 정리를 이용하면 다음을 얻는다. \[ \begin{eqnarray} &~& \Gamma (x+y) \int_{0}^{1} v^{y-1} (1-v)^{x-1} ~ dv \\ &~& ~~~~~~~~~~ = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} u^{y-1} \left( \frac{1}{1+u} \right) ^{x+y} t^{x+y-1} e^{-t} ~ dt ~ du \\ &~&~~~~~~~~~~ = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} u^{y-1} s^{x+y-1} e^{-s(y+1)} ~ ds ~ du \\ &~&~~~~~~~~~~ = \int_{0}^{\infty} s^{x-1} e^{-s} \left( \int_{0}^{\infty} u^{y-1} s^y e^{-su} ~ du \right) ds \\ &~&~~~~~~~~~~ = \int_{0}^{\infty} s^{x-1} e^{-s} \left( \int_{0}^{\infty} w^{y-1} e^{-w} ~ dw \right) ds \\ &~&~~~~~~~~~~ = \Gamma (x) \Gamma (y) . \end{eqnarray} \]다음으로 등식 (i)에\[v = \sin ^2 \varphi \]를 대입하여 계산하면 \[ \begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi /2} \cos^{2x-1} \varphi ~ \sin^{2y-1} \varphi ~ d \varphi &=& \frac{1}{2} \int_{0}^{1} v^{y-1} (1-v)^{x-1} ~ dv \\ &=& \frac{ \Gamma (x) \Gamma (y) }{ 2 \Gamma (x+y) } \end{eqnarray} \]이므로 (ii)가 성립한다. 또한 이 식에 \[x = \frac{1}{2} ~, ~~ y = \frac{k-1}{2}\]을 대입하여 계산하면 (iii)을 얻는다.

이제 \(n\)차원 구의 부피와 겉넓이를 구하자.

정리 3. 반지름이 \(r > 0\)인 \(n\)차원 구의 부피 \(V_{r}^{(n)}\)과 겉넓이 \(S_{r}^{(n-1)}\)은 다음과 같다.

\[V_{r}^{(n)} = \frac{2 r^n \pi ^{n/2}}{n \Gamma (n/2)} ~,~~S_{r}^{(n-1)} = \frac{2 r^{n-1} \pi^{n/2}}{\Gamma (n/2)} \]

증명. 중심이 원점이고 반지름이 \(r\)인 구 \(B = B_{r} (0)\)의 부피를 구하면 된다. \(n \ge 2\)라고 하고 적분\[V_{r}^{(n)} = {\rm V o l}(B) = \int _{B} 1 ~ d {\rm x} \]를 계산하자. \(\mathbb{R}^n\)에서의 직교좌표 \((x_i )\)를 다음과 같은 \(n\)차원 구면좌표 \(( \rho ,~ \theta , \phi_i )\)로 변환하자. \[ \begin{eqnarray} x_1 &=& \rho~ \cos \phi_1 ~, \\ x_2 &=& \rho~ \sin \phi_1 ~ \cos \phi_2 ~, \\ x_3 &=& \rho ~ \sin \phi_1 ~ \sin \phi_2 ~ \cos \phi_3 ~, \\ & \vdots & \\ x_{n-1} &=& \rho ~ \sin \phi_1 ~ \sin \phi_2 ~ \cdots ~ \sin \phi_{n-2} ~ \cos \theta ~, \\ x_n &=& \rho ~ \sin \phi_1 ~ \sin \phi_2 ~ \cdots ~ \sin \phi_{n-2} ~ \sin \theta ~. \end{eqnarray} \]여기서 변수의 범위는\[ 0 \le \rho \le r ,~~ 0 \le \theta \le 2 \pi ,~~ 0 \le \phi_j \le \pi \]이다. 이때 변수변환의 야코비안은 \[ \Delta = \rho^{n-1} ~ \sin^{n-2} \phi_1 ~ \sin^{n-3} \phi_2 \cdots \sin^2 \phi_{n-3} ~\sin \phi_{n-2} \]이다. 따라서 적분을 계산하면\[\begin{eqnarray} {\rm V o l}(B) &=& \int_{B} 1 ~ d {\rm x} \\ \\ &=& \int_{0}^{r} \int_{0}^{\pi} \cdots \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \rho^{n-1} \sin^{n-2} \phi_1 \cdots \\ &~& ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \sin \phi_{n-2} ~ d \theta ~ d \phi_1 \cdots d \phi_{n-2} ~ d \rho \\ \\ &=& \frac{2 \pi r^n}{n} \left ( \int_{0}^{\pi} \sin^{n-2} \phi ~ d\phi \right) \cdots \left( \int_{0}^{\pi} \sin \phi ~ d \phi \right) \\ \\ &=& \frac{2 \pi r^n}{n} \cdot \frac{\Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right) \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{n}{2} \right)}~ \cdot \frac{ \Gamma \left( \frac{n-2}{2} \right) \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right)} \cdots \frac{\Gamma (1) \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{3}{2} \right) } \end{eqnarray} \]을 얻는다. 약분한 후 \(\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi} \)로 바꾸어 계산하면 다음을 얻는다. \[V_{r}^{(n)} = {\rm V o l}(B) = \frac{2 \pi r^n}{n} \left( \frac{\Gamma ^{n-2} \left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{n}{2} \right)} \right) = \frac{2 r^n \pi^{n/2}}{n \Gamma \left( \frac{n}{2} \right) } \]한편 구의 부피를 반지름에 대하여 미분하면 겉넓이가 되므로\[S_{r}^{(n+1)} = \frac{\partial}{\partial r} V_{r}^{(n)} = \frac{\partial}{\partial r} \frac{2 r^n \pi^{n/2}}{n \Gamma \left( \frac{n}{2} \right)} = \frac{2 r^{n-1} \pi^{n/2}}{\Gamma \left( \frac{n}{2} \right)} \]을 얻는다.

비슷한 방법으로 \(n\)개의 반지름 \(a_1 ,\) \(a_2 ,\) \(\cdots ,\) \(a_n \)을 가진 타원면으로 둘러싸인 영역의 부피를 구하면 다음과 같다.

\[ a_1 a_2 \cdots a_n V_{r}^{(n)} = \frac{ a_1 a_2 \cdots a_n 2 r^n \pi^{n/2} }{n \Gamma (n/2)} \]

사실 위 공식을 유도하는 것은 쉽다. 타원면은 반지름이 \(1\)인 구면을 각 축의 방향으로 반지름의 길이만큼 확대하여 얻어진다. 그러므로 구의 부피에 모든 반지름의 길이를 곱하면 타원면 영역의 부피가 된다.

한편 \(n\)차원 타원면의 겉넓이를 구하는 것은 상당히 복잡하다. 다음 첨부파일을 참고하기 바란다.

surface_area_of_n_dim_ellipsoids.pdf

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