구분구적법으로 4차원 구의 부피와 겉넓이 구하기

By | April 10, 2012

구분구적법을 이용하여 반지름이 \(r\)인 \(4\)차원 구의 부피와 겉넓이를 구해보자. [물론 \(n\)차원 구의 부피와 겉넓이는 다중적분과 감마함수를 이용하여 구할 수 있지만, 여기서는 고등학교 수준에서 구해보자.]

이 글에서 편의상 반지름이 \(R\)인 \(d\)차원 구의 체적을 \(V_{d} [R]\)로 나타내자. 1차원일 때 체적은 길이를 나타내고 2차원일 때 체적은 넓이를 나타내며 차원이 3 이상일 때 체적은 부피를 나타낸다. 예를 들어 반지름이 \(R\)인 1차원 구(선분)의 체적(길이)은 \[V_1 [R] = 2R\]이며 반지름이 \(R\)인 2차원 구(원)의 체적(넓이)은 \[V_2 [R] = \pi R^2 \]이고, 반지름이 \(R\)인 3차원 구의 체적(부피)은 \[V_3 [R] = \frac{4}{3} \pi R^3 \]이다.

2차원 구의 체적과 3차원 구의 체적

먼저 원의 넓이와 \(3\)차원 구의 부피부터 생각해보자. \(xy\)-평면의 제 1 사분면에서 반지름이 \(r\)인 사분원을 나타내는 함수는 다음과 같다.\[ y = \sqrt{r^2 - x^2}\]반지름을 \(n\)개로 등분하고 원의 내부를 직사각형 조각으로 근사시키면 다음 그림과 같다.

여기서 직사각형의 세로는 단순한 선분인데, 선분은 구의 1차원 형태로 볼 수 있다. 따라서 원을 직사각형 조각으로 근사시켜 구분구적법으로 원의 넓이를 구하는 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.\[2 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{r}{n} \cdot V_1 \left[~ \sqrt{r^2 - \left( \frac{k}{n} r \right)^2} ~\right] \]앞에 2를 곱한 것은 반원의 넓이를 두 배 해주기 위한 것이다. 위 식을 계산하면 다음과 같다. \[2 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{r}{n} \cdot 2 \sqrt{r^2 - \left( \frac{k}{n} r \right)^2 } = \pi r^2 \]이것을 3차원으로 확장하여 구의 부피를 구하는 식으로 나타내면 다음과 같다. \[ 2 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{r}{n} \cdot V_2 \left[~ \sqrt{ r^2 - \left( \frac{k}{n} r \right)^2 }~\right] \]위 식에서 2차원 구라는 것은 평면 위에 펼쳐진 구, 즉 원을 의미한다. 이것을 계산하면 다음과 같다.

\[2 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{r}{n} \cdot \pi \left[~ \sqrt{r^2 - \left( \frac{k}{n} r \right)^2 } ~ \right] ^2 = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

4차원 구의 체적

위의 두 경우, 즉 1차원 구(선분)의 체적(길이)을 이용하여 2차원 구(원)의 체적(넓이)을 구한 것과 2차원 구의 체적을 이용하여 3차원 구의 부피를 구한 것을 한 단계 더 진행시켜 3차원 구의 부피를 이용하여 4차원 구의 부피를 구할 수 있다.

원의 넓이를 구할 때에는 직사각형을 이용하여 근사시켰는데, 직사각형의 세로 변은 1차원 구라고 생각할 수 있다. 이러한 관점에서 보면 직사각형은 2차원 구기둥이다. 한편 3차원 구의 부피를 구할 때에는 원기둥을 이용하여 근사시켰는데, 원기둥의 세로로 놓인 밑면은 2차원 구라고 생각할 수 있다. 이러한 관점에서 보면 원기둥은 3차원 구기둥이다.

4차원 구의 부피를 구하기 위하여 4차원 구기둥을 이용하여 근사시키자. 4차원 구기둥은 밑면이 3차원 구이고 높이는 길이가 \(r\)인 선분을 \(n\)개로 자른 것이 된다. 따라서 앞의 두 경우와 마찬가지로 4차원 구의 부피를 구하는 다음 식을 얻는다. \[ 2 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} V_3 \left[~ \sqrt{ r^2 - \left( \frac{k}{n} r \right)^2 } ~\right] \]여기에 우리가 알고 있는 3차원 구의 부피 구하는 공식을 대입하면 다음 식을 얻는다.\[2 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{r}{n} \cdot \frac{4}{3} \pi \left[ ~ \sqrt{ r^2 - \left( \frac{k}{n} r \right)^2 } ~ \right]^3 \]이 식에서 수열의 합은 그냥 풀리지 않으므로 아래와 같이 적분으로 바꾸어 푼다.\[\begin{eqnarray} 2 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{r}{n} &\cdot& \frac{4}{3} \pi \left[ ~ \sqrt{ r^2 - \left( \frac{k}{n} r \right)^2 } ~\right] ^3 \\ &=& 2 \cdot \frac{4}{3} \pi r^4 \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left[~ \sqrt{1 - \frac{k^2}{n^2}} ~\right] ^3 \\ &=& \frac{8}{3} \pi r^4 \int_{0}^{1} \left[ \sqrt{ 1 -x^2 } \right]^3 ~dx \end{eqnarray} \] 이 적분을 풀기 위하여 다음과 같이 변수를 변환하자. \[x = \sin \theta \]그러면\[ \frac{dx}{d \theta} = \cos \theta\]이므로 \[dx = \cos \theta ~ d \theta \]를 얻는다. 또한 적분 구간을 구하면 \[ x=0 ~~ \Leftrightarrow ~~ \sin \theta =0 ~~ \Leftrightarrow ~~ \theta =0 \]그리고 \[ x=1 ~~ \Leftrightarrow ~~ \sin \theta =1 ~~ \Leftrightarrow ~~ \theta = \frac{\pi}{2} \]를 얻는다. 따라서 앞의 적분은 다음과 같이 계산된다. \[ \begin{eqnarray} \frac{8}{3} \pi r^4 \int_{0}^{1} \left[ \sqrt{1 - x^2 } \right] ^3 ~dx &=& \frac{8}{3} \pi r^4 \int_{0}^{\pi /2} \left[ \sqrt{ 1 - \sin ^2 \theta } \right]^3 \cos \theta ~ d \theta \\ &=& \frac{8}{3} \pi r^4 \int_{0}^{\pi /2} \left[ \sqrt{ 1 - \sin ^2 \theta} \right]^3 \cos \theta ~d \theta \\ &=& \frac{8}{3} \pi r^4 \int_{0}^{\pi /2} \cos ^4 \theta ~ d \theta \\ &=& \frac{8}{3} \pi r^4 \cdot \frac{3}{16} \pi \\ &=& \frac{1}{2} \pi^2 r^4 \end{eqnarray} \]이것이 곧 우리가 구하고자 한 반지름이 \(r\)인 4차원 구의 부피이다.

부피를 계산하는 과정에서 적분을 이용하였는데 이것은 구의 부피를 구하기 위하여 직접 적분을 이용한 것이 아니라 합의 극한을 계산하기 위하여 적분을 이용한 것이다. 즉 중간에 적분을 이용했다고 해서 구분구적법을 사용하지 않은 것이 아니다.

3차원 구의 겉넓이

4차원 구의 겉넓이를 구하기 전에 3차원 구의 겉넓이 구하는 과정부터 살펴보자. 반지름이 1인 3차원 구의 겉넓이를 \(S\)라고 하면 반지름이 \(\frac{kr}{n}\)인 구의 겉넓이는 다음과 같이 된다. \[ \left( \frac{k}{n} r \right)^2 S \]반지름이 \(r\)인 구가 있을 때, 반지름을 \(n\)개로 등분하여 \(n\)개의 구껍질로 나누어 각 껍질의 부피를 구한 뒤 그것을 모두 더하여 부피를 구할 수 있다.

이것을 구하는 식은 다음과 같다. \[\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{r}{n} \cdot \left( \frac{k}{n} r \right)^2 S \]이 식을 계산하면\[\frac{r^2}{3} S\]이다. 그런데 이미 앞에서 반지름이 \(r\)인 3차원 구의 부피 구하는 공식을 구하였으므로 위 식과 연립하면 다음을 얻는다.\[ \frac{r^2}{3} S = \frac{4}{3} \pi r^3\]위 식을 \(S\)에 대하여 풀면 다음을 얻는다. \[S=4 \pi \]이것은 반지름이 \(1\)인 3차원 구의 겉넓이이므로, 반지름이 \(r\)인 3차원 구의 겉넓이는 다음과 같다.

\[4 \pi r^2 \]

4차원 구의 겉넓이

3차원 구의 겉넓이를 구한 아이디어를 변형하여 반지름이 \(r\)인 4차원 구의 겉넓이를 구해보자.

반지름이 \(1\)인 4차원 구의 겉넓이를 \(S\)라고 하자. 3차원 공간에 있는 입체도형의 겉넓이는 2차원이므로 이때 겉넓이의 비는 닮음비의 제곱에 비례한다. 비슷하게 4차원 공간에 있는 도형의 겉넓이는 3차원이므로 이때 4차원 입체도형의 겉넓이의 비는 닮음비의 세제곱에 비례한다. 따라서 3차원 구의 식에서 제곱을 세제곱으로 바꾸어 주면 4차원 구에 관련된 식이 된다.\[\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{r}{n} \cdot \left( \frac{k}{n} r \right)^3 S \]이 식을 계산하면 다음을 얻는다. \[ \frac{r^4}{4} S \]이것은 반지름이 \(r\)인 4차원 구의 부피를 나타낸다. 그런데 이미 앞에서 반지름이 \(r\)인 4차원 구의 부피 구하는 공식을 구하였으므로 두 식을 연립하면 다음을 얻는다. \[\frac{r^4}{4} S = \frac{1}{2} \pi^2 r^4 \]이것을 \(S\)에 대하여 풀면 다음을 얻는다. \[S = 2 \pi ^2 \]4차원 입체도형의 겉넓이의 비는 닮음비의 세제곱에 비례하므로, 반지름이 \(r\)인 4차원 구의 겉넓이는 다음과 같다.

\[ 2\pi ^2 r^3 \]

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