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n차원 구의 부피와 겉넓이

이 글에서는 감마 함수를 정의하고, 이를 이용하여 \(n\)차원 구의 부피와 겉넓이를 구해보자. \(k\)가 자연수일 때 \(1\)부터 \(k\)까지의 자연수들을 모두 곱한 수를 \(k ! \)로 나타낸다. [\(k !\)은 \(k\)의 차례곱 또는 계승이라고 부르고 '\(k\) 팩토리얼'이라고 읽는다.] 이 값은 \(k\)가 \(0\) 이상의 정수일 때에만 정의가 된다. 그런데 수학의 여러 분야에서는 \(k\)가 정수일 때 뿐만 아니라 실수일 때에도 \(k !\)의 값을… Read More »

구분구적법으로 4차원 구의 부피와 겉넓이 구하기

구분구적법을 이용하여 반지름이 \(r\)인 \(4\)차원 구의 부피와 겉넓이를 구해보자. [물론 \(n\)차원 구의 부피와 겉넓이는 다중적분과 감마함수를 이용하여 구할 수 있지만, 여기서는 고등학교 수준에서 구해보자.] 이 글에서 편의상 반지름이 \(R\)인 \(d\)차원 구의 체적을 \(V_{d} [R]\)로 나타내자. 1차원일 때 체적은 길이를 나타내고 2차원일 때 체적은 넓이를 나타내며 차원이 3 이상일 때 체적은 부피를 나타낸다. 예를 들어 반지름이 \(R\)인 1차원 구(선분)의… Read More »

구분구적법으로 구의 부피와 겉넓이 구하기

지난 글에서 적분을 이용하여 구의 부피와 겉넓이 구하는 공식을 유도하였다. 여기서는 구분구적법을 이용하여 구의 부피와 겉넓이 구하는 공식을 유도해보자. 이 글에서 \(r\)는 구의 반지름을 나타낸다. 구의 부피 좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 \(r\)인 사분원을 나타내는 함수는 다음과 같다. \[y=\sqrt{r^2 - x^2} ~~ ( 0 \le x \le r ) \]이 그래프를 \(x\)축을 중심으로 회전하면 아래 그림과 같이 반구가… Read More »

구의 부피와 겉넓이 구하는 공식 유도

적분을 이용하여 반지름이 \(r\)인 구의 부피와 겉넓이를 구해보자. 다항함수의 미분법과 적분법을 알고 있으면 충분하다. [이 글은 고등학교 과정에서 이해할 수 있는 수준으로 작성되었다.] 구는 반원의 회전체이므로 회전체의 부피 구하는 공식을 이용하면 구의 부피를 구할 수 있다. 반지름이 \(r\)인 반원의 방정식은 \[y = \sqrt{ r^2 - x^2 } ~~ ( -r \le x \le r ) \]이며 이것을 그래프로… Read More »

두 원기둥이 비스듬히 교차하는 부분의 부피

아래 그림과 같이 두 원기둥(실린더)이 비스듬히 교차할 때, 교차하는 부분의 부피를 구해보자. 이 문제는 적분의 기본 성질을 알고 있으면 고등학교 수준에서 풀린다. 두 원기둥이 이루는 각을 \(\theta\)라고 하자. 그리고 먼저 다음과 같이 \(y\)축을 축으로 하고 반지름이 \(r\)인 원기둥을 생각하자. 이 원기둥을 \(xy\)-평면에서 원점을 중심으로 \(\theta /2\)만큼 회전시켜 만든 원기둥을 \(\alpha \)라고 하고 음의 방향으로 \(\theta /2\)만큼 회전시켜 만든… Read More »