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n차원 구의 부피와 겉넓이

이 글에서는 감마 함수를 정의하고, 이를 이용하여 \(n\)차원 구의 부피와 겉넓이를 구해보자. \(k\)가 자연수일 때 \(1\)부터 \(k\)까지의 자연수들을 모두 곱한 수를 \(k ! \)로 나타낸다. [\(k !\)은 \(k\)의 차례곱 또는 계승이라고 부르고 '\(k\) 팩토리얼'이라고 읽는다.] 이 값은 \(k\)가 \(0\) 이상의 정수일 때에만 정의가 된다. 그런데 수학의 여러 분야에서는 \(k\)가 정수일 때 뿐만 아니라 실수일 때에도 \(k !\)의 값을… Read More »

구분구적법으로 4차원 구의 부피와 겉넓이 구하기

구분구적법을 이용하여 반지름이 \(r\)인 \(4\)차원 구의 부피와 겉넓이를 구해보자. [물론 \(n\)차원 구의 부피와 겉넓이는 다중적분과 감마함수를 이용하여 구할 수 있지만, 여기서는 고등학교 수준에서 구해보자.] 이 글에서 편의상 반지름이 \(R\)인 \(d\)차원 구의 체적을 \(V_{d} [R]\)로 나타내자. 1차원일 때 체적은 길이를 나타내고 2차원일 때 체적은 넓이를 나타내며 차원이 3 이상일 때 체적은 부피를 나타낸다. 예를 들어 반지름이 \(R\)인 1차원 구(선분)의… Read More »

구분구적법으로 구의 부피와 겉넓이 구하기

지난 글에서 적분을 이용하여 구의 부피와 겉넓이 구하는 공식을 유도하였다. 여기서는 구분구적법을 이용하여 구의 부피와 겉넓이 구하는 공식을 유도해보자. 이 글에서 \(r\)는 구의 반지름을 나타낸다. 구의 부피 좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 \(r\)인 사분원을 나타내는 함수는 다음과 같다. \[y=\sqrt{r^2 - x^2} ~~ ( 0 \le x \le r ) \]이 그래프를 \(x\)축을 중심으로 회전하면 아래 그림과 같이 반구가… Read More »

구의 부피와 겉넓이 구하는 공식 유도

적분을 이용하여 반지름이 \(r\)인 구의 부피와 겉넓이를 구해보자. 다항함수의 미분법과 적분법을 알고 있으면 충분하다. [이 글은 고등학교 과정에서 이해할 수 있는 수준으로 작성되었다.] 구는 반원의 회전체이므로 회전체의 부피 구하는 공식을 이용하면 구의 부피를 구할 수 있다. 반지름이 \(r\)인 반원의 방정식은 \[y = \sqrt{ r^2 - x^2 } ~~ ( -r \le x \le r ) \]이며 이것을 그래프로… Read More »

구면좌표를 이용한 구의 부피 구하는 공식의 유도

반지름이 \(a\)인 구의 부피 구하는 공식을 구해 보자. 3차원 직교좌표에서 구의 중심이 좌표공간의 원점과 일치하다고 하자. 그러면 구의 표면과 내부를 포함하는 입체는 다음과 같은 집합이 된다. \[ D = \left\{ (x,~y,~z) ~|~ x^2 + y^2 + z^2 \le a^2 \right\}\] 이제 직교좌표의 변수 \(x,\) \(y,\) \(z\)를 다음과 같이 구면좌표의 변수로 변환한다. \[ \begin{eqnarray} x &~=& \rho ~ \sin… Read More »