Tag Archives: Set Theory

실수 집합이 비가산임을 증명하는 두 가지 방법

\(E\)가 집합이고 \(E\)로부터 \(\mathbb{N}\)에로의 일대일 함수가 존재할 때 \(E\)를 가산집합(countable set)이라고 부른다. 또한 가산집합이 아닌 집합을 비가산집합(uncountable set)이라고 부른다. 즉 임의의 집합은 원소의 개수에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다. 유한집합무한인 가산집합(가부번집합)비가산집합 (물론 비가산집합은 집합의 기수(cardinality)에 따라 여러 가지로 구분할 수 있지만 여기서 논하는 바는 아니다.) 자연수 집합 \(\mathbb{N},\) 정수 집합 \(\mathbb{Z},\) 유리수 집합 \(\mathbb{Q}\)는 모두 가산집합이다. 그러나… Read More »

유리수의 조밀성과 무리수의 조밀성

서로 다른 두 실수 사이에는 반드시 유리수가 존재한다. 이 성질을 유리수의 조밀성이라고 부른다. [사실 '유리수계의 조밀성' 또는 '유리수 집합의 조밀성'이라고 표현해야 정확하지만 관용적으로 '유리수의 조밀성'이라고 표현한다.] 조밀성은 원래 위상공간에서 정의된다. \((X,~\mathcal{T})\)가 위상공간이고 \(E \subseteq X\)라고 하자. 만약 \(X \subseteq \overline{E}\)가 성립하면 '\(E\)는 \(X\)에서 조밀하다'라고 말한다. [여기서 \(\overline{E}\)는 \(E\)의 폐포(closure)를 나타낸다.] 서로 다른 두 실수 사이에 반드시 유리수가 존재한다는… Read More »

첨수집합이 공집합인 첨수족의 합집합과 교집합

\(\mathcal{U}\)가 전체집합이고 \(\mathcal{A} = \left\{ A_i ~|~ i \in I \right\}\)가 \(\mathcal{U}\)의 부분집합들로 이루어진 첨수족이라고 하자. 이때 \(\mathcal{A}\)의 합집합과 교집합을 각각 다음과 같이 정의한다. \[\bigcup_{i\in I} A_i ~:=~ \left\{ x \in \mathcal{U} ~~|~~ \exists i \in I ~:~ x\in A_i \right\},\] \[\bigcap_{i\in I} A_i ~:=~ \left\{ x \in \mathcal{U} ~~|~~ \forall i \in I ~:~ x\in A_i \right\}.\]… Read More »

집합론 핵심 내용 정리

이 문서는 수학 전공자가 학부 과정에서 필수로 알아야 할 내용을 간추린 것입니다. 이 문서에는 요약된 내용만 있고 자세한 설명이나 증명이 나와 있지 않으므로, 더 자세한 내용이나 증명을 알고자 하는 경우에는 문서 끝에 언급된 집합론 교재를 참고하기 바랍니다. 들어가며 오늘날 수학을 공부하는 데에 있어 집합론은 필수이다. 수학의 거의 모든 내용이 집합과 명제로 표현되기 때문이다. 이것은 19세기 말부터 20세기 초까지… Read More »

슈뢰더-베른슈타인 정리

유한집합의 경우 두 집합의 크기를 비교할 때에는 원소의 개수를 세어 비교하면 된다. 그러나 무한집합의 경우 원소의 개수를 끝까지 셀 수 없으므로 다른 방법으로 두 집합의 크기를 비교한다. 두 집합 \(X,\) \(Y\)에 대하여 일대일 대응 \(f : X \to Y \)가 존재할 때 \(X\)와 \(Y\)는 대등하다(equipotent) 또는 동등하다고 말하고, 이것을 기호로는 \(X \approx Y\)로 나타낸다. 책에 따라서는 두 집합… Read More »

흐림 집합 (Fuzzy Set)

흐림 집합(fuzzy set)은 자데(L. A. Zadeh)에 의하려 만들어진 개념인데, 보통의 집합의 개념을 확장한 것이다(1965). \(X\)가 집합일 때 \(X\)의 부분집합 \(A\)에 대하여 \(X\)의 각 원소 \(x\)는 \(A\)에 속하거나 아니면 \(A\)에 속하지 않는 두 가지 중 하나만 선택할 수 있다. 따라서 \(X\)는 \(A\)에 속하지 않을 때는 \(0\)을, \(A\)에 속할 때는 \(1\)을 대응시킬 수 있다. 반면에 흐림 집합은 닫힌 구간 \([0,~1]\)에서… Read More »