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유리수의 조밀성과 무리수의 조밀성

서로 다른 두 실수 사이에는 반드시 유리수가 존재한다. 이 성질을 유리수의 조밀성이라고 부른다. [사실 '유리수계의 조밀성' 또는 '유리수 집합의 조밀성'이라고 표현해야 정확하지만 관용적으로 '유리수의 조밀성'이라고 표현한다.] 조밀성은 원래 위상공간에서 정의된다. \((X,~\mathcal{T})\)가 위상공간이고 \(E \subseteq X\)라고 하자. 만약 \(X \subseteq \overline{E}\)가 성립하면 '\(E\)는 \(X\)에서 조밀하다'라고 말한다. [여기서 \(\overline{E}\)는 \(E\)의 폐포(closure)를 나타낸다.] 서로 다른 두 실수 사이에 반드시 유리수가 존재한다는… Read More »

양의 유리수는 세 양의 유리수의 세제곱의 합으로 표현된다

정리 1. 임의의 양의 유리수는 세 양의 유리수의 세제곱의 합으로 표현될 수 있으며, 그러한 표현의 방법은 무수히 많다. 증명. \(r\)가 임의로 주어진 양의 유리수라고 하자. 그리고 부등식 \[ \sqrt[3]{\frac{3r}{2}} < v < \sqrt[3]{3r} \]를 만족시키는 유리수 \(v\)를 택하자. 유리수의 조밀성에 의하여 그러한 유리수를 택할 수 있다. 다음으로\[ \begin{eqnarray} u &=& \frac{3r - v^3}{3r + v^3} ,\\ s &=&… Read More »