Tag Archives: Number Theory

양의 유리수는 세 양의 유리수의 세제곱의 합으로 표현된다

정리 1. 임의의 양의 유리수는 세 양의 유리수의 세제곱의 합으로 표현될 수 있으며, 그러한 표현의 방법은 무수히 많다. 증명. \(r\)가 임의로 주어진 양의 유리수라고 하자. 그리고 부등식 \[ \sqrt[3]{\frac{3r}{2}} < v < \sqrt[3]{3r} \]를 만족시키는 유리수 \(v\)를 택하자. 유리수의 조밀성에 의하여 그러한 유리수를 택할 수 있다. 다음으로\[ \begin{eqnarray} u &=& \frac{3r - v^3}{3r + v^3} ,\\ s &=&… Read More »

p진법 수 N을 p-1로 나눌 때의 나머지

어떤 자연수가 9의 배수인지 알아보려면 각 자릿수를 모두 더한 수가 9의 배수인지 알아보면 된다. 예컨대 4352625가 9의 배수인지 알아보자. 물론 직접 나누어 보는 방법도 있지만 더 계산하기 쉬운 방법은 각 자리를 모두 더하는 것이다. 4+3+5+2+6+2+5=27이고 27이 9의 배수이므로 4352625는 9의 배수이다. 이러한 성질을 \(p\)진법으로 확장할 수 있다. \(p\)진법 수 \(N\)이 주어져 있을 때 \(N\)이 \((p-1)\)의 배수가 되는지 알아보려면… Read More »

Euler Phi-Function is a Multiplicative Function

Let \(n\) be a positive integer. Recall that the Euler phi-function \(\phi(n)\) is defined as the number of positive integers less than or equal to \(n\) and relatively prime to \(n.\) Note that \(\phi(1)=1.\) We have seen that Euler used this function to generalize the Fermat's Little Theorem. It is sometimes needed to calculate the value \(\phi(n)\) of… Read More »