# Tag Archives: Number Theory

## 양의 유리수는 세 양의 유리수의 세제곱의 합으로 표현된다

정리 1. 임의의 양의 유리수는 세 양의 유리수의 세제곱의 합으로 표현될 수 있으며, 그러한 표현의 방법은 무수히 많다. 증명. $$r$$가 임의로 주어진 양의 유리수라고 하자. 그리고 부등식 $\sqrt[3]{\frac{3r}{2}} < v < \sqrt[3]{3r}$를 만족시키는 유리수 $$v$$를 택하자. 유리수의 조밀성에 의하여 그러한 유리수를 택할 수 있다. 다음으로\[ \begin{eqnarray} u &=& \frac{3r - v^3}{3r + v^3} ,\\ s &=&… Read More »

## p진법 수 N을 p-1로 나눌 때의 나머지

어떤 자연수가 9의 배수인지 알아보려면 각 자릿수를 모두 더한 수가 9의 배수인지 알아보면 된다. 예컨대 4352625가 9의 배수인지 알아보자. 물론 직접 나누어 보는 방법도 있지만 더 계산하기 쉬운 방법은 각 자리를 모두 더하는 것이다. 4+3+5+2+6+2+5=27이고 27이 9의 배수이므로 4352625는 9의 배수이다. 이러한 성질을 $$p$$진법으로 확장할 수 있다. $$p$$진법 수 $$N$$이 주어져 있을 때 $$N$$이 $$(p-1)$$의 배수가 되는지 알아보려면… Read More »

## Euler Phi-Function is a Multiplicative Function

Let $$n$$ be a positive integer. Recall that the Euler phi-function $$\phi(n)$$ is defined as the number of positive integers less than or equal to $$n$$ and relatively prime to $$n.$$ Note that $$\phi(1)=1.$$ We have seen that Euler used this function to generalize the Fermat's Little Theorem. It is sometimes needed to calculate the value $$\phi(n)$$ of… Read More »

## Euler’s Generalization of Fermat’s Little Theorem

Fermat's Little Theorem says: Theorem 1. (Fermat) If $$p$$ is a prime number and $$(a,~p)=1,$$ that is, if $$a$$ and $$p$$ are relatively primes, then $$a^{p-1}\equiv 1$$ $$({\rm mod}~ p).$$ Euler gave a generalization of Fermat's theorem. His generalization will follow at once from next theorem, which is proceed by counting, using essentially the same argument as in… Read More »

## Fermat’s Little Theorem and Finite Prime Fields

The fact that "$$\mathbb{Z}_p$$ is a field if and only if $$p$$ is a prime" can be derived from the fact that "every finite integral domain is a field." Also, it is easily derived that every field include a subfield which is isomorphic to one of $$\mathbb{Q}$$ or $$\mathbb{Z}_p$$ for a prime $$p$$. That's why the fields $$\mathbb{Z}_p$$… Read More »