Tag Archives: Lecture Note

부분공간과 상공간

함수해석학에서 주로 다루는 공간은 벡터공간이므로 부분공간과 상공간 또한 함수해석학에서 빼놓을 수 없는 중요한 주제이다. \(X\)가 벡터공간이고 \(S\)가 \(X\)의 부분공간일 때 상공간 \(X/S\)는 잉여류들의 모임이다. \(X\)가 노름공간이면 \(X/S\)에서의 반노름을 \[\lVert u \rVert _ {X/S} := \inf_{x \in u} \lVert x \rVert_X \] 또는 동등조건으로서 \[\lVert \overline{x} \rVert _{X/S} := \inf _{s\in S} \lVert x-s \rVert _X \] 로 정의한다.… Read More »

내적공간과 노름공간

함수해석학은 벡터공간의 해석적 성질과 벡터공간 사이의 선형작용소에 대하여 연구하는 수학의 분야이다. 따라서 내적공간과 노름공간의 개념은 함수해석학을 공부하는 데에 필수적인 기초 내용이다. 정의 1. \(X\)가 체 \(\mathbb{F}\) 위에서의 벡터공간이라고 하자. 함수 \(p : X \to [ 0,\, \infty ) \)가 두 조건 (1) \((\forall x \in X)(\forall y \in X)\)\((p(x+y) \le p(x) + p(y))\) (2) \((\forall x \in X)(\forall… Read More »

명제논리와 Bool 대수

19세기는 수학이 극도로 추상화되고 정제되는 시점이었다. Hilbert는 Euclid의 기하학 공리를 개선하여 새로운 기하학의 공리를 만들었으며, 그 공리들로부터 Descartes의 좌표를 이용한 Euclid 평면 \(\mathbb{R} ^2\)가 만들어질 수 있음을 보였다. Dyck과 Cayley는 기존의 군(group)의 개념을 정제하여 공리적으로 군을 정의하였다. 이 시기에 George Bool은 사고의 법칙을 정제하여 대수적 공리로 변환하고자 노력하였다. 즉 Bool은 논리와 대수의 공통점과 차이점을 비교하고 그들을 통합할 방법을… Read More »

명제논리의 건전성, 완전성, 긴밀성

명제논리에 대하여 논할 때는 두 가지 관점에서 논하게 된다. 하나는 구문론적 관점이며 다른 하나는 의미론적 관점이다. 구문론에서는 문자열의 의미는 따지지 않고 오직 기호 사이의 형식적 관계에만 관심을 가진다. 반면 의미론에서는 논리변수의 진릿값 배정에 따른 논리식의 진릿값과 논리식 사이의 논리적 귀결에 대해 관심을 가진다. 이들 두 관점은 완전히 서로 다른 것처럼 보이지만, 사실은 밀접한 연관을 가지고 있다. 즉 가정이… Read More »

명제논리의 구문과 의미

명제논리(propositional logic)란 간단히 말하면 명제변수와 기본 결합자(부정, 명제합, 명제곱, 함의), 그리고 몇 가지 공리와 추론규칙으로 이루어진 논리계를 뜻한다. 명제논리에서는 한정기호를 사용하지 않으므로 명제논리에서 다룰 수 있는 내용이 그렇게 다양한 것은 아니다. 그러나 추론 정리, 완전성 정리, 건전성 정리 등 더 복잡한 논리계를 다룰 때 기본적으로 만나는 정리들을 명제논리에서도 만나게 되므로, 명제논리는 수리논리를 공부하기 위해 기본으로 거쳐야 할 관문이다.… Read More »

형식논리

형식논리에서는 문자열 또는 주어진 문자들의 유한열에 대하여 다룬다. 여기서 문자열은 그 자체로서는 어떠한 의미도 갖지 않는다. '공리', '추론규칙', '정리', '증명' 등의 용어를 사용하지만 이러한 용어는 일반적인 수학적 의미와는 독립적으로 사용된다. '정리'가 '증명'될 수 있다는 사실이 우리가 실제로 다루는 수학의 체계에서 어떠한 역할을 하는지는 뒤에서 밝혀질 것이다. 형식계의 의미 형식계(formal system)는 다음 네 가지로 구성된 체계이다. 알파벳 \(A\) :… Read More »

해석학 강의노트

이 노트는 학부 수준과 대학원 기초 수준의 해석학 내용을 담고 있습니다. 기초해석학, 다변수 해석학, 복소해석학, 실해석학, 함수해석학의 내용을 과목별로 간단하게 정리하였습니다. 대중적으로 사용되는 해석학 교재와 온라인에서 구할 수 있는 강의노트를 참고하여 작성하였으며, 참고한 자료의 목록은 각 과목 노트 끝에 첨부하였습니다.

함수해석학 강의 노트

이 노트는 기초 해석학, 다변수 해석학, 복소해석학, 측도론, 선형대수학, 추상대수학, 위상수학의 내용에 이어지는 것으로서, 함수해석학의 기본적인 내용을 간략히 다루고 있습니다. LN_FunctionalAnalysis_20111106.pdfPDF, A4, 21쪽, 2011년 11월 6일 최종수정 내용 순서 내적공간과 노름공간 부분공간과 상공간 Hilbert 공간의 기본 성질 선형작용소 Hahn-Banach의 정리 쌍대공간 여러 가지 쌍대공간 Baire의 범주 정리 열린사상 정리 균등유계 원리 닫힌치역 정리 약위상 범약위상 Hilbert-Schimidt 작용소 긴밀… Read More »

측도와 적분 강의 노트

측도와 적분의 내용을 요약 정리한 자료입니다. LN_MeasureIntegral_20111106.pdfPDF, A4, 20쪽, 2011년 11월 6일 최종수정 내용 순서 넓이와 측도 Caratheodory의 정리 Borel 측도 가측함수 음아닌 함수의 적분 지배수렴 정리 Riemann 적분 수렴 정리 곱측도공간 유클리드 공간에서의 Lebesgue 측도 함수의 미분 가부호 측도 Lebesgue-Radon-Nikodym 정리 유클리드 공간에서의 미분 Lp 공간 쌍대공간 분포 함수 선형변환

복소해석학 강의 노트

복소해석학의 내용을 요약 정리한 자료입니다. LN_ComplexAnalysis_20111017.pdfPDF, A4, 20쪽, 2011년 10월 17일 최종수정 내용 순서 복소수 체계 복소함수의 미분 기본 함수 등각사상 Cauchy-Riemann 방정식 일차분수변환 복소함수의 적분 원판에서의 Cauchy 정리 단순연결영역에서의 Cauchy의 정리 Cauchy 적분 공식 Cauchy 적분 공식의 응용 특이점 Laurent 급수 유수 적분 편각 원리 해석적 함수의 성질 Riemann 사상 정리 조화함수 Dirichlet 문제의 해 반사원리