Tag Archives: Lecture Note

일계논리와 무모순성

Hilbert는 수학의 기초를 확립하는 단계에서 무모순성에 관한 형식적 증명을 찾아냄으로써 수학의 여러 모순을 제거하고자 하였다. 그 증명은 오직 유한 단계의 기계적 절차에 의해 행해질 수 있는 것이어야 했다. Hilbert는 수학적 개체의 존재성과 그 개체의 무모순성은 일치한다고 믿었다. 예컨대 Hilbert의 관점에서 보면 실수 범위에서 제곱하여 \(-1\)이 되는 성질은 자기모순적이므로 그러한 조건을 만족시키는 실수는 존재하지 않는다. Euclid 기하학은 실수 집합의… Read More »

일계논리와 Peano 산술

일계논리 문장의 집합 \(\varSigma\)가 완전하다(complete)는 것은 임의의 문장 \(\alpha\)에 대하여 \(\alpha\) 또는 \((\lnot \alpha )\) 중 하나가 \(\varSigma\)의 논리적 귀결인 것이다. 완전성 정리에서는 형식계의 완전성을 말하기 때문에 완전성이라는 용어를 조금 다르게 사용한다. 그러나 두 상황에서 완전성이라는 개념은 서로 깊은 연관이 있다. 왜냐하면 \(\varSigma\)가 완전할 때 임의의 문장 \(\alpha\)에 대하여 \(\alpha\) 또는 \((\lnot \alpha )\)가 \(\varSigma\)로부터 증명될 수 있기… Read More »

일계논리와 범주

수학의 분야 중에서는 일계논리만으로 그 분야를 논하기에 충분한 경우가 있고, 그렇지 않은 경우도 있다. 예컨대 군론(group theory)은 일계논리만으로 다룰 수 있지만 위상수학은 일계논리만으로는 직접 다룰 수 없다. 그렇다면 자연스럽게 다음과 같은 의문이 생긴다. 어떤 구조가 일계논리의 문장으로 다루어지기에 충분한가? 이를 논하기 위해 몇 가지 개념을 도입해야 한다. 두 \(\mathcal{L}\)-구조 \(M\)과 \(N\) 사이의 동형사상(isomorphism)이라 함은 다음 조건을 만족시키는 일대일대응… Read More »

일계논리의 긴밀성과 Löwenheim-Skolem 정리

긴밀성 정리와 Löwenheim-Skolem 정리는 일계논리에서 핵심적인 역할을 하는 정리이다. 이들 두 정리는 모두 Gödel의 불완전성 정리로부터 나온다. 여기서는 Gödel의 불완전성 정리를 도입하는 대신 긴밀성 정리와 Löwenheim-Skolem 정리의 증명을 간략하게 살펴보기로 한다. 또한 이 글에서는 일계논리언어가 가산인 경우로 논의를 한정한다. 정리 1.  일계논리의 긴밀성. \(\varSigma\)가 가산인 일계논리언어의 문장의 모임이고 \(\varSigma\)의 임의의 유한부분집합이 모델을 가지면 \(\varSigma\)도 모델을 가진다. 증명. 완전성… Read More »

일계논리의 건전성과 완전성

일계논리언어 \(\mathcal{L}\)에서 논리식 \(\phi\)가 논리적으로 유효하다(logically valid)는 것은 임의의 \(\mathcal{L}\)-구조 \(M\)과 \(M\)에서의 임의의 값매김에 대하여 \(\phi\)의 값이 \(\mathrm{T}\)가 되는 것을 의미한다. 만약 \(\phi\)가 문장이면 \(\phi\)의 참거짓 여부는 값매김에 영향을 받지 않고 오직 구조에 의해서만 결정된다. 그러므로 다음을 얻는다. 문장 \(\phi\)가 논리적으로 유효할 필요충분조건은 임의의 \(\mathcal{L}\)-구조 \(M\)에 대하여 \(M \models \phi\)인 것이다. 위 정리에 의하면, 논리식 \(\phi\)가 논리적으로 유효하지… Read More »

일계논리의 추론규칙

일계논리의 형식계는 명제논리와 마찬가지로 알파벳(alphabet), 공리(axioms), 추론규칙(rules of inference)으로 이루어져 있다. 추론규칙은 유한 개의 논리식을 입력받아 하나의 논리식을 출력하는 규칙이다. 증명(proof)이란 논리식의 유한열이다. 이때 증명의 각 줄은 공리이거나 또는 앞에 나타난 줄에 추론규칙을 적용하여 얻어지는 것이다. 증명의 마지막 줄을 정리(theorem)라고 부른다. 더 일반적으로, \(\varSigma\)가 논리식의 집합일 때, \(\varSigma\)로부터의 \(\phi\)의 증명이란 논리식의 유한열인데, 이때 증명의 각 줄은 공리이거나, \(\varSigma\)에… Read More »

일계논리의 의미론

일계논리의 구문론을 소개하면서 일계논리에서 사용하는 기호에 'not', 'if and only if', 'for all'과 같은 이름을 붙였다. 이것은 구문론에서 비록 의미를 부여하지 않은 기호의 나열을 논하지만, 실은 그러한 기호로 이루어진 문장이 어떠한 의미를 갖는지를 방법을 암시한 것이다. 이 글에서는 그러한 방법을 명확하게 밝힌 의미론(semantics)을 살펴본다. \(\mathcal{L}\)-구조 \(\mathcal{L}\)이 일계논리언어라고 하자. \(\mathcal{L}\)은 그것이 가지고 있는 관계기호, 함수기호, 상수기호에 의하여 완전히 결정된다.… Read More »

일계논리의 구문론

일계논리란 간단히 말하면 명제논리의 체계에 한정기호를 추가하여 확장한 것이다. 논리체계에 한정기호를 추가함으로써 명제논리에서는 다루지 못하였던 수학의 다양한 체계를 일계논리에서 다룰 수 있게 된다. 명제논리와 마찬가지로 일계논리에 대하여 논할 때에도 구문론과 의미론을 생각할 수 있다. 여기서는 일계논리의 구문론을 살펴보자. 일계논리언어 수학에서 '일계논리'를 적용하여 설명할 수 있는 분야는 여러 가지가 있다. 그리고 각각의 분야는 그 분야 고유의 일계논리언어를 가진다. 수학에서… Read More »

함수해석학 강의노트

함수해석학은 벡터공간의 해석적 성질과 벡터공간 사이의 선형작용소에 대하여 연구하는 수학의 분야이다. 이 노트는 기초해석학, 다변수해석학, 복소해석학, 측도론, 선형대수학, 추상대수학, 위상수학의 내용에 이어지는 것으로서 함수해석학의 기본적인 내용을 간략히 다룬다. 내적공간과 노름공간 부분공간과 상공간 Hilbert 공간의 기본 성질 선형작용소와 선형범함수 쌍대공간 함수해석학의 기본 정리 약위상 범약위상 긴밀작용소 자기수반 긴밀작용소의 스펙트럼 일반적인 긴밀작용소의 스펙트럼 Banach 대수에서의 스펙트럼과 분해 Hilbert 공간에서의 스펙트럼… Read More »

Hilbert 공간에서의 스펙트럼

이 글에서는 Hilbert 공간에서의 자기수반 작용소의 스펙트럼에 대하여 살펴보자. 먼저 자기수반 작용소가 실스펙트럼을 가짐을 보이자. 보조정리 1. \(H\)가 Hilbert 공간이고 \(T \in B(H)\)가 자기수반 작용소이면 \(\sigma (T) \subseteq \mathbb{R}\)이다. 증명. \(\lvert \langle ( \lambda 1-T) x,\,x \rangle \rvert \ge \lvert \mathrm{Im} \langle ( \lambda 1-T )x ,\,x \rangle \rvert = \lvert \mathrm{Im} \lambda \rvert \lVert x \rVert ^2… Read More »