Tag Archives: Integration

무한급수를 활용하여 적분을 계산하는 예

다음 적분의 값을 구해보자. 위 특이적분이 수렴한다는 사실은 쉽게 증명된다. 위 적분을 변형하면 다음과 같다. 여기서 마지막 두 특이적분이 수렴한다는 사실도 쉽게 증명된다. 따라서 위 등식이 성립함이 보장된다. 이제 다음과 같은 자연로그의 거듭제곱급수표현을 이용하여 문제의 적분을 계산하자. 먼저 A를 계산하면 다음과 같다. 다음으로 B를 계산하면 다음과 같다. (참고로 A, B의 값을 계산하는 과정에서 거듭제곱급수의 평등수렴에 관한 Abel의 정리를… Read More »

n차원 구의 부피와 겉넓이

이 글에서는 감마 함수를 정의하고, 이를 이용하여 \(n\)차원 구의 부피와 겉넓이를 구해보자. \(k\)가 자연수일 때 \(1\)부터 \(k\)까지의 자연수들을 모두 곱한 수를 \(k ! \)로 나타낸다. [\(k !\)은 \(k\)의 차례곱 또는 계승이라고 부르고 '\(k\) 팩토리얼'이라고 읽는다.] 이 값은 \(k\)가 \(0\) 이상의 정수일 때에만 정의가 된다. 그런데 수학의 여러 분야에서는 \(k\)가 정수일 때 뿐만 아니라 실수일 때에도 \(k !\)의 값을… Read More »

구분구적법으로 4차원 구의 부피와 겉넓이 구하기

구분구적법을 이용하여 반지름이 \(r\)인 \(4\)차원 구의 부피와 겉넓이를 구해보자. [물론 \(n\)차원 구의 부피와 겉넓이는 다중적분과 감마함수를 이용하여 구할 수 있지만, 여기서는 고등학교 수준에서 구해보자.] 이 글에서 편의상 반지름이 \(R\)인 \(d\)차원 구의 체적을 \(V_{d} [R]\)로 나타내자. 1차원일 때 체적은 길이를 나타내고 2차원일 때 체적은 넓이를 나타내며 차원이 3 이상일 때 체적은 부피를 나타낸다. 예를 들어 반지름이 \(R\)인 1차원 구(선분)의… Read More »

구분구적법으로 구의 부피와 겉넓이 구하기

지난 글에서 적분을 이용하여 구의 부피와 겉넓이 구하는 공식을 유도하였다. 여기서는 구분구적법을 이용하여 구의 부피와 겉넓이 구하는 공식을 유도해보자. 이 글에서 \(r\)는 구의 반지름을 나타낸다. 구의 부피 좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 \(r\)인 사분원을 나타내는 함수는 다음과 같다. \[y=\sqrt{r^2 - x^2} ~~ ( 0 \le x \le r ) \]이 그래프를 \(x\)축을 중심으로 회전하면 아래 그림과 같이 반구가… Read More »

구의 부피와 겉넓이 구하는 공식 유도

적분을 이용하여 반지름이 \(r\)인 구의 부피와 겉넓이를 구해보자. 다항함수의 미분법과 적분법을 알고 있으면 충분하다. [이 글은 고등학교 과정에서 이해할 수 있는 수준으로 작성되었다.] 구는 반원의 회전체이므로 회전체의 부피 구하는 공식을 이용하면 구의 부피를 구할 수 있다. 반지름이 \(r\)인 반원의 방정식은 \[y = \sqrt{ r^2 - x^2 } ~~ ( -r \le x \le r ) \]이며 이것을 그래프로… Read More »

두 원기둥이 비스듬히 교차하는 부분의 부피

아래 그림과 같이 두 원기둥(실린더)이 비스듬히 교차할 때, 교차하는 부분의 부피를 구해보자. 이 문제는 적분의 기본 성질을 알고 있으면 고등학교 수준에서 풀린다. 두 원기둥이 이루는 각을 \(\theta\)라고 하자. 그리고 먼저 다음과 같이 \(y\)축을 축으로 하고 반지름이 \(r\)인 원기둥을 생각하자. 이 원기둥을 \(xy\)-평면에서 원점을 중심으로 \(\theta /2\)만큼 회전시켜 만든 원기둥을 \(\alpha \)라고 하고 음의 방향으로 \(\theta /2\)만큼 회전시켜 만든… Read More »

면적분 (Surface Integral)

면적분(surface integral)은 곡면 위에서 벡터장을 적분하는 것을 의미합니다. 중적분과 비교해서 생각해봅시다. 이중적분은 구부러지지 않은 평면의 부분조각에서 함수를 적분하는 것입니다. 면적분은 평면뿐만 아니라 구부러진 채로 공간에 떠있는 면 위에서 적분을 하는 것입니다. 3차원 공간에 벡터장이 정의되어 있다고 생각해 봅시다. 예컨대 중력장이나 자기장 등을 생각할 수 있습니다. 그리고 그 3차원 공간에 면조각이 떠 있다고 합시다. 그러면 그 면조각 위의 각… Read More »

선적분 (Line Integral)

고등학교에서 배우는 적분은 함수 \(f\)가 실직선 \(\mathbb{R}\) 위에서 정의되어 있을 때, \(\mathbb{R}\)의 부분구간 \([a,~b]\)에서 \(f\)를 적분하는 것입니다. 한편 정의역이 \(\mathbb{R} ^2 \)이거나 \(\mathbb{R} ^3 \)인 함수도 적분할 수 있습니다. 그러한 함수를 적분하는 것은 중적분, 선적분, 면적분 등이 있는데 여기서는 선적분에 대하여 설명하고자 합니다. 함수 \(f\)가 \(\mathbb{R} ^3\)에서 정의되었다고 합시다. 그리고 \(\mathbb{R} ^3 \)에 매끄러운 곡선 \(C\)가 있다고 합시다.… Read More »