Tag Archives: Infinite Series

무한급수를 활용하여 적분을 계산하는 예

다음 적분의 값을 구해보자. 위 특이적분이 수렴한다는 사실은 쉽게 증명된다. 위 적분을 변형하면 다음과 같다. 여기서 마지막 두 특이적분이 수렴한다는 사실도 쉽게 증명된다. 따라서 위 등식이 성립함이 보장된다. 이제 다음과 같은 자연로그의 거듭제곱급수표현을 이용하여 문제의 적분을 계산하자. 먼저 A를 계산하면 다음과 같다. 다음으로 B를 계산하면 다음과 같다. (참고로 A, B의 값을 계산하는 과정에서 거듭제곱급수의 평등수렴에 관한 Abel의 정리를… Read More »

The evaluation of ∑(sin(n))/n.

I already have proven that the following series converges. \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}\] In this post, I will show that \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n} = \frac{\pi -1}{2}\] Lemma 1. The following equations hold: \[ (1)~~ \sum_{k=1}^{n}\sin k x = \frac{\cos\frac{x}{2} - \cos\left( n + \frac{1}{2} \right) x}{2\sin \frac{x}{2}}\] \[ (2)~~ \sum_{k=1}^{n}\cos k x = \frac{\sin\left( n+ \frac{1}{2} \right) x - \sin \frac{x}{2}}{2\sin… Read More »

Convergence of the series ∑(sin(n))/n.

The following series converges. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n} \] To prove this fact, we first consider an identity: \[ \sin (n x) = \frac{\cos\left( n - \frac{1}{2} \right) x - \cos \left( n + \frac{1}{2} \right) x }{ 2 \sin \frac{x}{2}} \] Substituting \(x\) by \(1\) and taking summation, we have \[ \begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} \sin k &=& \sum_{k=1}^{n}… Read More »

Integration of (x-1) / ln(x) on [0, 1]

In this post, we will discuss the evaluation of the following improper integral. \[\int_{0}^{1} \frac{x-1}{\ln x} dx \] First, we examine two sequences. Define \(u_n\) as \[u_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}} .\] Then \(u_n\) is the Riemann-Darboux sum of the integral: \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx .\] Thus we have \[ \lim_{n\to \infty} u_n ~=~ \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx ~=~… Read More »