Tag Archives: Hilbert Space

Hilbert 공간에서의 스펙트럼

이 글에서는 Hilbert 공간에서의 자기수반 작용소의 스펙트럼에 대하여 살펴보자. 먼저 자기수반 작용소가 실스펙트럼을 가짐을 보이자. 보조정리 1. \(H\)가 Hilbert 공간이고 \(T \in B(H)\)가 자기수반 작용소이면 \(\sigma (T) \subseteq \mathbb{R}\)이다. 증명. \(\lvert \langle ( \lambda 1-T) x,\,x \rangle \rvert \ge \lvert \mathrm{Im} \langle ( \lambda 1-T )x ,\,x \rangle \rvert = \lvert \mathrm{Im} \lambda \rvert \lVert x \rVert ^2… Read More »

자기수반 긴밀작용소의 스펙트럼

이 글에서 \(X\)는 완비인 Hilbert 공간을 나타내는 것으로 약속한다. \(T : X \to X\)가 유계선형범함수이면 \(X\)와 \(X^*\) 사이의 Riesz 동형성을 통해 \(T^*\)를 \(X\)로부터 \(X\)로의 사상으로 여길 수 있다. 즉 \(T^*\)가 \[\langle T^* x ,\,y \rangle = \langle x ,\, Ty \rangle\] 로 정의된 것으로 생각할 수 있다. 유한 차원 복소 Hilbert 공간의 경우 \(T\)는 복소사각행렬로 표현될 수 있으며… Read More »

쌍대공간

정의역이 벡터공간이고 공역이 체인 함수를 범함수(functional)라고 부른다. 또한 정의역이 노름선형공간 \(X\)인 범함수들의 모임 \(B(X,\,\mathbb{F})\)를 \(X\)의 쌍대공간(dual space)이라고 부르며 \(X^*\)로 나타낸다. \(X\)의 쌍대공간의 쌍대공간을 제 2 쌍대공간이라고 부르며 \(X^{**}\)로 나타낸다. \(X\)와 \(Y\)가 노름선형공간이고 \(T\)가 \(X\)로부터 \(Y\)로의 함수라고 하자. 이때 임의의 \(f \in Y^*\)와 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[T^* f(x) := f(Tx) \] 로 대응시키는 함수 \(T^* : Y^* \,\to\,… Read More »

Hilbert 공간의 기본 성질

Hilbert 공간의 중요한 성질 중 하나는 \(K\)가 닫힌볼록집합이고 \(x\)가 \(K\) 밖의 점일 때, \(x\)와 가장 가까운 \(K\)의 점이 존재한다는 것이다. 정리 1. (사영 정리) \(X\)가 Hilbert 공간이고 \(K\)가 \(X\)의 닫힌 볼록부분집합이며 \(x\in X\)라고 하자. 그러면 \[\left\lVert x- \overline{x} \right\rVert = \inf_{y\in K} \lVert x-y \rVert \] 를 만족시키는 \(\overline{x} \in K\)가 유일하게 존재한다. 증명. 일반성을 잃지 않고 \(x=0\)이라고… Read More »

부분공간과 상공간

함수해석학에서 주로 다루는 공간은 벡터공간이므로 부분공간과 상공간 또한 함수해석학에서 빼놓을 수 없는 중요한 주제이다. \(X\)가 벡터공간이고 \(S\)가 \(X\)의 부분공간일 때 상공간 \(X/S\)는 잉여류들의 모임이다. \(X\)가 노름공간이면 \(X/S\)에서의 반노름을 \[\lVert u \rVert _ {X/S} := \inf_{x \in u} \lVert x \rVert_X \] 또는 동등조건으로서 \[\lVert \overline{x} \rVert _{X/S} := \inf _{s\in S} \lVert x-s \rVert _X \] 로 정의한다.… Read More »

내적공간과 노름공간

함수해석학은 벡터공간의 해석적 성질과 벡터공간 사이의 선형작용소에 대하여 연구하는 수학의 분야이다. 따라서 내적공간과 노름공간의 개념은 함수해석학을 공부하는 데에 필수적인 기초 내용이다. 정의 1. \(X\)가 체 \(\mathbb{F}\) 위에서의 벡터공간이라고 하자. 함수 \(p : X \to [ 0,\, \infty ) \)가 두 조건 (1) \((\forall x \in X)(\forall y \in X)\)\((p(x+y) \le p(x) + p(y))\) (2) \((\forall x \in X)(\forall… Read More »