Tag Archives: Geometry

직사각형의 넓이 공식 유도

직사각형의 넓이 공식 유도 A Derivation of the Formula for the Area of a Rectangle Blue-Haired Annebluehairedanne.com 초등학교 과정에서는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 넓이를 1인 것으로 여기고, 그러한 정사각형을 여러 개 쌓아 직사각형을 만드는 과정을 통해 가로의 길이와 세로의 길이가 자연수인 직사각형의 넓이를 구한다. 이때부터 직사각형의 넓이는 가로의 길이와 세로의 길이를 곱한 것으로 여기게 된다. 이러한 공식은… Read More »

대수적 위상수학이란 무엇인가

대수적 위상수학이란 무엇인가 Joseph Neisendorfer 대수적 위상수학의 초창기 대수적 위상수학은 20세기에 주된 연구가 시작된 분야이지만 그 유래는 고대 수학에서도 찾을 수 있다. 예를 들어, 정다면체의 개수가 몇 개인지 알아볼 때 오일러 표수를 사용할 수 있다. 여기서 오일러 표수는 본래 쾨니히베르크의 칠교문제와 같은 그래프 이론에 관련된 문제를 연구하기 위해 도입되었다. 일곱 개의 다리를 단 한 번씩만 지나서 모두 건널… Read More »

수열 {sin(n)}의 상극한이 1임을 기하학적 방법으로 증명하기

수열 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 상극한이 1임을 증명하는 방법은 여러 가지가 있고, 그중 많은 방법이 정수론의 정리를 사용한다. 여기서는 정수론의 방법을 사용하지 않고 기하학적인 방법을 사용하여 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 상극한이 1임을 증명한다. 또한 증명의 결과로서 닫힌구간 \([-1,~1]\)의 모든 점이 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 집적점이 된다는 결론을 얻는다. 보조정리 1. \(n\)이 자연수일 때 \(n ~ \mapsto ~ \sin… Read More »

원뿔곡선의 정의 유도

직원뿔을 꼭짓점을 지나지 않는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면을 이루는 곡선을 원뿔곡선 또는 원추곡선이라고 부른다. 자르는 평면의 각에 따라서 원뿔곡선의 이름이 달라진다. 원 : 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 타원 : 모선보다 작은(완만한) 기울기를 가진 평면으로 잘랐을 때 포물선 : 한 모선과 평행한 평면으로 잘랐을 때 쌍곡선 : 모선보다 큰(가파른) 기울기를 가진 평면으로 잘랐을 때 평면상에서 이들의 정의는… Read More »

Poncelet-Steiner 정리

작도란 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번 사용하여 평면에 도형을 그리는 것을 의미한다. 지난 포스팅에서 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번 사용하여 할 수 있는 모든 작도는 컴퍼스만으로 할 수 있다는 모르-마스케로니의 정리를 소개하였다. 한편, 프랑스의 수학자 장-빅토르 퐁슬레(Jean-Victor Poncelet, 1788-1867)는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번 사용하여 할 수 있는 모든 작도는, 하나의 원이 주어지기만 하면 자만… Read More »

Mohr-Mascheroni 정리

작도란 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번 사용하여 평면에 도형을 그리는 것을 의미한다. 1797년 Lorenzo Mascheroni는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번 사용하여 할 수 있는 모든 작도는 컴퍼스만 이용하여 할 수 있음을 증명하였다. 후에 거의 비슷한 정리를 1672년 George Mohr가 했음이 밝혀졌으나, Mascheroni의 연구는 Mohr의 것과 독립적인 것으로 인정받았다. (정리의 내용이 독립적인 것이 아니라 연구 행위가 독립적이라는… Read More »

구면접촉수 Kissing Numbers

평면에 하나의 원이 있을 때 그 원에 접촉하면서 서로 내부를 공유하지 않도록 놓을 수 있는 원의 개수는 6이다. 동전 주위에 6개의 동전을 놓는 것을 상상하면 쉽게 이해할 수 있다. 이와 같은 아이디어를 1차원인 직선과 3차원인 공간에서도 생각할 수 있다. 1차원은 직선이므로 1차원에서의 원은 선분이 된다. 직선을 전체 집합이라 생각하고, 하나의 선분이 있을 때 그 선분에 접촉하면서 서로 내부를… Read More »

리만 기하학의 직관적인 이해

리만 기하학의 직관적인 이해 이 글은 M.J.Greenberg의 "유클리드 기하학과 비유클리드 기하학"(이우영 역, 경문사, 1997) 부록 B(275-283쪽)의 내용을 토대로 작성되었으며, 작성자의 의도에 따라 내용이 수정되었습니다. 미적분학의 내용을 이용하지 않고 리만 기하학의 착상을 엄밀하게 설명하는 것은 불가능하다. 여기서는 리만 기하학의 직관적인 착상을 간략하게 이해하도록 하자. 리만 기하학을 이해하기 위하여 우리가 파악해야 할 기본적이고 필수적인 개념은 곡률(curvature)이다. 평면에 있는 곡선의 곡률… Read More »