Tag Archives: Functional Analysis

선형작용소와 선형범함수

정의역과 공역이 노름선형공간인 함수를 작용소(operator)라고 부른다. 작용소 \(f : X \,\to\,Y\)가 단위구 \[B_1 (0) := \left\{x\in X \,\vert\, \lVert x \rVert < 1 \right\}\] 에서 유계일 때 \(f\)를 유계작용소(bounded operator)라고 부른다. 노름선형공간 \(X\)로부터 \(Y\)로의 유계선형작용소들의 모임을 \(B ( X,\,Y )\)로 표기한다. 유계성의 정의에 의하여 선형작용소 \(f\)가 유계일 필요충분조건은 양수 \(c\)가 존재하여 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[\lVert f(x) \rVert… Read More »

Hilbert 공간의 기본 성질

Hilbert 공간의 중요한 성질 중 하나는 \(K\)가 닫힌볼록집합이고 \(x\)가 \(K\) 밖의 점일 때, \(x\)와 가장 가까운 \(K\)의 점이 존재한다는 것이다. 정리 1. (사영 정리) \(X\)가 Hilbert 공간이고 \(K\)가 \(X\)의 닫힌 볼록부분집합이며 \(x\in X\)라고 하자. 그러면 \[\left\lVert x- \overline{x} \right\rVert = \inf_{y\in K} \lVert x-y \rVert \] 를 만족시키는 \(\overline{x} \in K\)가 유일하게 존재한다. 증명. 일반성을 잃지 않고 \(x=0\)이라고… Read More »

부분공간과 상공간

함수해석학에서 주로 다루는 공간은 벡터공간이므로 부분공간과 상공간 또한 함수해석학에서 빼놓을 수 없는 중요한 주제이다. \(X\)가 벡터공간이고 \(S\)가 \(X\)의 부분공간일 때 상공간 \(X/S\)는 잉여류들의 모임이다. \(X\)가 노름공간이면 \(X/S\)에서의 반노름을 \[\lVert u \rVert _ {X/S} := \inf_{x \in u} \lVert x \rVert_X \] 또는 동등조건으로서 \[\lVert \overline{x} \rVert _{X/S} := \inf _{s\in S} \lVert x-s \rVert _X \] 로 정의한다.… Read More »

내적공간과 노름공간

함수해석학은 벡터공간의 해석적 성질과 벡터공간 사이의 선형작용소에 대하여 연구하는 수학의 분야이다. 따라서 내적공간과 노름공간의 개념은 함수해석학을 공부하는 데에 필수적인 기초 내용이다. 정의 1. \(X\)가 체 \(\mathbb{F}\) 위에서의 벡터공간이라고 하자. 함수 \(p : X \to [ 0,\, \infty ) \)가 두 조건 (1) \((\forall x \in X)(\forall y \in X)\)\((p(x+y) \le p(x) + p(y))\) (2) \((\forall x \in X)(\forall… Read More »

해석학 강의노트

이 노트는 학부 수준과 대학원 기초 수준의 해석학 내용을 담고 있습니다. 기초해석학, 다변수 해석학, 복소해석학, 실해석학, 함수해석학의 내용을 과목별로 간단하게 정리하였습니다. 대중적으로 사용되는 해석학 교재와 온라인에서 구할 수 있는 강의노트를 참고하여 작성하였으며, 참고한 자료의 목록은 각 과목 노트 끝에 첨부하였습니다.

함수해석학 강의 노트

이 노트는 기초 해석학, 다변수 해석학, 복소해석학, 측도론, 선형대수학, 추상대수학, 위상수학의 내용에 이어지는 것으로서, 함수해석학의 기본적인 내용을 간략히 다루고 있습니다. LN_FunctionalAnalysis_20111106.pdfPDF, A4, 21쪽, 2011년 11월 6일 최종수정 내용 순서 내적공간과 노름공간 부분공간과 상공간 Hilbert 공간의 기본 성질 선형작용소 Hahn-Banach의 정리 쌍대공간 여러 가지 쌍대공간 Baire의 범주 정리 열린사상 정리 균등유계 원리 닫힌치역 정리 약위상 범약위상 Hilbert-Schimidt 작용소 긴밀… Read More »

측도와 적분 강의 노트

측도와 적분의 내용을 요약 정리한 자료입니다. LN_MeasureIntegral_20111106.pdfPDF, A4, 20쪽, 2011년 11월 6일 최종수정 내용 순서 넓이와 측도 Caratheodory의 정리 Borel 측도 가측함수 음아닌 함수의 적분 지배수렴 정리 Riemann 적분 수렴 정리 곱측도공간 유클리드 공간에서의 Lebesgue 측도 함수의 미분 가부호 측도 Lebesgue-Radon-Nikodym 정리 유클리드 공간에서의 미분 Lp 공간 쌍대공간 분포 함수 선형변환