Tag Archives: Dual Space

범약위상

\(X\)가 위상벡터공간이라고 하자. \(X\)의 위상을 이용하여 쌍대공간 \(X^*\) 위에 두 가지 위상을 정의할 수 있다. 먼저 \(X^{**}\)에 속한 범함수들이 모두 연속이 되도록 하는 위상 중 가장 작은 위상을 정의할 수 있는데, 이러한 위상을 약위상이라고 부른다. 또 \(x\in X\)에 대하여 정의된 반노름 \(f \,\mapsto\, f(x)\)에 의하여 얻어지는 위상을 부여할 수도 있는데, 이러한 위상을 범약위상이라고 부른다. \(X\)가 반사적 공간인 경우… Read More »

쌍대공간

정의역이 벡터공간이고 공역이 체인 함수를 범함수(functional)라고 부른다. 또한 정의역이 노름선형공간 \(X\)인 범함수들의 모임 \(B(X,\,\mathbb{F})\)를 \(X\)의 쌍대공간(dual space)이라고 부르며 \(X^*\)로 나타낸다. \(X\)의 쌍대공간의 쌍대공간을 제 2 쌍대공간이라고 부르며 \(X^{**}\)로 나타낸다. \(X\)와 \(Y\)가 노름선형공간이고 \(T\)가 \(X\)로부터 \(Y\)로의 함수라고 하자. 이때 임의의 \(f \in Y^*\)와 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[T^* f(x) := f(Tx) \] 로 대응시키는 함수 \(T^* : Y^* \,\to\,… Read More »

선형작용소와 선형범함수

정의역과 공역이 노름선형공간인 함수를 작용소(operator)라고 부른다. 작용소 \(f : X \,\to\,Y\)가 단위구 \[B_1 (0) := \left\{x\in X \,\vert\, \lVert x \rVert < 1 \right\}\] 에서 유계일 때 \(f\)를 유계작용소(bounded operator)라고 부른다. 노름선형공간 \(X\)로부터 \(Y\)로의 유계선형작용소들의 모임을 \(B ( X,\,Y )\)로 표기한다. 유계성의 정의에 의하여 선형작용소 \(f\)가 유계일 필요충분조건은 양수 \(c\)가 존재하여 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[\lVert f(x) \rVert… Read More »