Tag Archives: Complex Analysis

The evaluation of ∑(sin(n))/n.

I already have proven that the following series converges. \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}\] In this post, I will show that \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n} = \frac{\pi -1}{2}\] Lemma 1. The following equations hold: \[ (1)~~ \sum_{k=1}^{n}\sin k x = \frac{\cos\frac{x}{2} - \cos\left( n + \frac{1}{2} \right) x}{2\sin \frac{x}{2}}\] \[ (2)~~ \sum_{k=1}^{n}\cos k x = \frac{\sin\left( n+ \frac{1}{2} \right) x - \sin \frac{x}{2}}{2\sin… Read More »

해석학 강의노트

이 노트는 학부 수준과 대학원 기초 수준의 해석학 내용을 담고 있습니다. 기초해석학, 다변수 해석학, 복소해석학, 실해석학, 함수해석학의 내용을 과목별로 간단하게 정리하였습니다. 대중적으로 사용되는 해석학 교재와 온라인에서 구할 수 있는 강의노트를 참고하여 작성하였으며, 참고한 자료의 목록은 각 과목 노트 끝에 첨부하였습니다.

복소해석학 강의 노트

복소해석학의 내용을 요약 정리한 자료입니다. LN_ComplexAnalysis_20111017.pdfPDF, A4, 20쪽, 2011년 10월 17일 최종수정 내용 순서 복소수 체계 복소함수의 미분 기본 함수 등각사상 Cauchy-Riemann 방정식 일차분수변환 복소함수의 적분 원판에서의 Cauchy 정리 단순연결영역에서의 Cauchy의 정리 Cauchy 적분 공식 Cauchy 적분 공식의 응용 특이점 Laurent 급수 유수 적분 편각 원리 해석적 함수의 성질 Riemann 사상 정리 조화함수 Dirichlet 문제의 해 반사원리

Dirichlet 적분 ∫ (sin(x))/x dx

전에 Dirichlet 판정법을 이용하여 다음 급수가 수렴함을 증명하였다. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n} \] 오늘은 위 급수와 비슷하지만 급수가 아닌 특이적분을 살펴보겠다. 아래 적분은 Dirichlet(디리끌레) 적분으로 불리는 여러가지 적분 중 한 형태이다. \[ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin \omega}{\omega} d \omega = \frac{\pi}{2} \] 이 적분은 적분 구간의 아래끝과 위끝이 모두 특이점이다. 즉 0과 ∞가 모두 특이점이다. Fourier 적분법 또는 적분과 미분연산의… Read More »