Tag Archives: Calculus

Wallis Product로부터 Stirling’s Formula 유도하기

Stirling의 공식은 \(n\)이 대단히 클 때 \(n!\) 또는 \(n^n \)의 값을 가늠하는 공식이다. 즉 \[ n! ~\sim~ \sqrt{2 \pi} n^n \sqrt{n} e^{-n}\]이다. 여기서 \(\sim\)은 양쪽의 식의 비의 극한이 \(1\)임을 의미한다. 즉 \[ \lim_{n\to \infty} \frac{n! e^{n} }{\sqrt{2 \pi} n^n \sqrt{n} } =1 \]이 성립한다는 것을 의미한다. 이 극한은 보통 \[\lim_{n\to \infty} \frac{n! e^{n} }{n^n \sqrt{n} } = \sqrt{2… Read More »

실수차 미적분학 (Fractional Calculus)

Fractional Calculus는 미분연산자 \(D_n = d^n / dx^n \)의 지수 \(n\)을 실수로 확장하여 미분연산자를 정의하고 그것을 응용하여 여러 가지 문제를 해결하는 수학의 분야이다. 감마함수를 이용하여 \(n\)을 실수로 확장해보자. 실수차 미분연산자의 정의 함수 \(F_n\)을 다음과 같이 정의하자. \[ F_0 (x) = \int_{0}^{x} f(y)~dy , \\ F_n (x) = \int_{0}^{x} \frac{(x-y)^n}{n!} f(y) ~ dy . \tag{1} \] 여기서 \(n\)은 자연수이고… Read More »

구면좌표를 이용한 구의 부피 구하는 공식의 유도

반지름이 \(a\)인 구의 부피 구하는 공식을 구해 보자. 3차원 직교좌표에서 구의 중심이 좌표공간의 원점과 일치하다고 하자. 그러면 구의 표면과 내부를 포함하는 입체는 다음과 같은 집합이 된다. \[ D = \left\{ (x,~y,~z) ~|~ x^2 + y^2 + z^2 \le a^2 \right\}\] 이제 직교좌표의 변수 \(x,\) \(y,\) \(z\)를 다음과 같이 구면좌표의 변수로 변환한다. \[ \begin{eqnarray} x &~=& \rho ~ \sin… Read More »

마리아 아녜시와 ‘마녀 곡선’

20세기 말까지 미국의 수학자 중에서 여성이 차지하는 비율은 10% 정도 밖에 되지 않았으며, 전세계에서 따지면 수학자 중에서 여성이 차지하는 비율은 더욱 낮았다. 20세기 이전에는 여성의 권리가 인정되지 않아 여성이 수리과학 관련 분야에 종사하는 것이 불가능하였으며, 한 세기 동안 여성 수학자의 수는 열 손가락으로 모두 셀 수 있을 정도 밖에 되지 않았다. 18-19세기에 괄목할만한 여성 수학자로는 러시아의 소피아 코발레프스카야(Sofia… Read More »