Tag Archives: Analysis

일변수 함수의 적분을 중적분으로 바꾸어 푸는 예

보조정리. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 연속함수이고 \(x\)가 실수일 때 다음 등식이 성립한다. \[\int_0^x f(u) (x-u) \, du = \int_0 ^x \int_0 ^u f(t) \, dt \, du .\] 증명. \(f\)의 한 부정적분을 \(F\)라고 하자. 그러면 부분적분법에 의하여 다음 등식이 성립한다. \[\int_0^x F(u) \, du = F(u)u \bigg{|} _0 ^x - \int_0^x f(u)u \, du = F(x)x -… Read More »

2017학년도 중등수학교사 임용고사 해석학 문제 풀이

2016년 12월 3일 실시된 2017학년도 중등학교교사 임용후보자 선정경쟁시험 1차 전공 A와 전공 B 문제 중 미적분학, 해석학, 위상수학과 관련된 문제의 풀이입니다. 2017학년도 중등수학교사 임용고사 1차 전공 A 기출문제(pdf) 2017학년도 중등수학교사 임용고사 1차 전공 B 기출문제(pdf) 이 글에서 풀이를 실은 문제는 다음과 같습니다. A형 : 4번, 5번, 6번, 11번, 12번. B형 : 4번, 7번. A-4. 좌표평면에서 영역 \(D\)가 \[D… Read More »

(f(x) + f'(x)) → A 이면 f(x) → A 이다.

G. H. Hardy 교수님의 책 『A Course of Pure Mathematics』 6장 Derivatives and Integrals 마지막 절 Miscellaneous Examples에는 다음과 같은 문제가 실려 있다(36번). If \(\phi(x) + \phi ' (x) \to a \) as \(x \to \infty\), then \(\phi (x) \to a \). 이 문제를 흔히 Hardy의 문제(Hardy's old problem)라고 부른다. 여기서는 Hardy의 문제의 해설을 살펴보자. Hardy의 문제를 정확하게… Read More »

유리수의 조밀성과 무리수의 조밀성

서로 다른 두 실수 사이에는 반드시 유리수가 존재한다. 이 성질을 유리수의 조밀성이라고 부른다. [사실 '유리수계의 조밀성' 또는 '유리수 집합의 조밀성'이라고 표현해야 정확하지만 관용적으로 '유리수의 조밀성'이라고 표현한다.] 조밀성은 원래 위상공간에서 정의된다. \((X,~\mathcal{T})\)가 위상공간이고 \(E \subseteq X\)라고 하자. 만약 \(X \subseteq \overline{E}\)가 성립하면 '\(E\)는 \(X\)에서 조밀하다'라고 말한다. [여기서 \(\overline{E}\)는 \(E\)의 폐포(closure)를 나타낸다.] 서로 다른 두 실수 사이에 반드시 유리수가 존재한다는… Read More »

직사각형의 넓이 공식 유도

직사각형의 넓이 공식 유도 A Derivation of the Formula for the Area of a Rectangle Blue-Haired Annebluehairedanne.com 초등학교 과정에서는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 넓이를 1인 것으로 여기고, 그러한 정사각형을 여러 개 쌓아 직사각형을 만드는 과정을 통해 가로의 길이와 세로의 길이가 자연수인 직사각형의 넓이를 구한다. 이때부터 직사각형의 넓이는 가로의 길이와 세로의 길이를 곱한 것으로 여기게 된다. 이러한 공식은… Read More »

Principles of Mathematical Analysis Solution

Walter Rudin 교수님의 책 Principles of Mathematical Analysis (일명 PMA) 연습문제 풀이(솔루션)이다. 문제와 풀이가 모두 있으므로 PMA 없이 이 파일만 봐도 좋다. 00 - Table of Contents 01 - The Real and Complex Number Systems 02 - Basic Topology 03 - Numerical Sequences and Series 04 - Continuity 05 - Differentiation 06 - The Riemann-Stieltjes Integral 07 -… Read More »

p-노름과 상한 노름의 관계

유클리드 공간 \(\mathbb{R} ^n\)이 전체공간이라고 하자. \(B\)가 체적이 양수인 닫힌 상자이고 \(f\)가 \(B\)에서 정의된 연속인 실함수라고 하자. (여기서 \(B\)가 닫힌 상자라는 것은 닫힌구간들의 카르테시안 곱으로 나타난다는 의미이다.) 이때 \(B\)에서 \(f\)의 \(p\)-노름과 상한 노름을 다음과 같이 정의한다. (단, \(p \ge 1 \)) \[ \Vert f \Vert _p ~:=~ \left(\int_B |f( \mathrm{x} )|^p ~ d\mathrm{x} \right)^{1/p} \] \[ \Vert f… Read More »

평등수렴하는 함수열의 합성함수열은 평등수렴할까?

평등수렴하는 함수열의 합성함수열은 평등수렴할까? 즉 \(\left\{ f_n \right\},\) \(\left\{ g_n \right\}\)이 각각 평등수렴할 때 합성함수열 \(\left\{ f_n \circ g_n \right\} \)은 평등수렴할까? 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어 \[ f_n (x) = \begin{cases} 1~~ &\mbox{if} ~~ x \in \mathbb{Q} \\ \\ 0~~ &\mbox{if} ~~ x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} \]그리고\[g_n (x) = \frac{\pi + (-1)^n \pi}{n}\]라고 하면 명백히… Read More »