2017학년도 중등수학교사 임용고사 해석학 문제 풀이

By | December 5, 2016

2016년 12월 3일 실시된 2017학년도 중등학교교사 임용후보자 선정경쟁시험 1차 전공 A와 전공 B 문제 중 미적분학, 해석학, 위상수학과 관련된 문제의 풀이입니다.

이 글에서 풀이를 실은 문제는 다음과 같습니다.

  • A형 : 4번, 5번, 6번, 11번, 12번.
  • B형 : 4번, 7번.

A-4. 좌표평면에서 영역 \(D\)가 \[D = \left\{ (x,\, y) \in \mathbb{R} ^{2} \,\, \middle| \,\, 0 \le x \le 1 ,\, 0 \le y \le x^2 \right\}\] 일 때, 중적분 \[\int \!\! \int_{D} 3 \cos ( x^3 ) \, dA \] 의 값을 구하시오.

풀이. \[ \begin{eqnarray} \int _{0}^{1} \int_{0}^{x^2} 3 \cos (x^3 ) \, dy \,dx &=& \int_{0}^{1} 3 x^2 \cos (x^3 ) \, dx \\[6pt] &=& \Bigl[ \, \sin (x^3 ) \, \Bigr] _{0}^{1} \\[6pt] &=& \sin(1) . \tag*{\(\blacksquare\)} \end{eqnarray} \]

A-5. 좌표평면의 영역 \[D = \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R} ^2 \,\, \middle| \,\, 0 \le x \le 4 ,\, 0 \le y \le 4 ,\, x+y \le 4 \right\}\] 에서 함수 \(f(x,\,y) = 4x - 2xy + y^2 \)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

풀이. \(D\)는 좌표평면의 세 점 \((0,\,4),\) \((0,\,0),\) \((4,\,0)\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 집합이다. 이 집합의 내부에서 \(f\)가 미분 가능하므로 만약 이 집합의 내부에 \(f\)의 극값이 존재한다면 그 점에서 \(f\)의 모든 편미분계수는 \(0\)이다. 즉 \(D\)에서 \(f\)가 극값을 갖는 점은 다음 두 가지 중 하나의 경우에 해당한다.

  • \(D\)의 내부에 있고 그 점에서 \(f\)의 모든 편미분계수가 \(0\)인 경우.
  • \(D\)의 경계에 있는 경우.

\((x,\,y)\)가 \(D\)의 내부의 점이라고 하고, 이 점에서 \(f\)의 편도함수를 구하면 다음과 같다. \[ \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x} f(x,\,y) &=& 4-2y , \\[5pt] \frac{\partial}{\partial y} f(x,\,y) &=& -2x+2y . \end{eqnarray} \] 두 편도함수의 값이 모두 \(0\)이 되는 점은 \((2,\,2)\) 뿐인데, 이 점은 \(D\)의 경계점이므로 \(D\)의 내부에서 \(f\)는 극값을 갖지 않는다. 그러므로 \(D\)의 경계점에서 \(f\)의 극값만 조사하면 된다.

  • 선분 \(x=0,\) \(0 \le y \le 4\) 위의 점 \((0,\,y)\)에서 \(f\)의 함숫값은 \(f(0,\,y) = y^2\)이므로 이 선분 위에서 \(f\)가 극값을 갖는 경우는 \(y=0\) 또는 \(y=4\)일 때이다. 즉 \((0,\,0)\)과 \((0,\,4)\)가 조사할 후보에 들어간다.
  • 선분 \(y=0,\) \(0 \le x \le 4\) 위의 점 \((x,\,0)\)에서 \(f\)의 함숫값은 \(f(x,\,0) = 4x\)이므로 이 선분 위에서 \(f\)가 극값을 갖는 경우는 \(x=0\) 또는 \(x=4\)일 때이다. 즉 \((0,\,0)\)과 \((4,\,0)\)이 조사할 후보에 들어간다.
  • 끝으로 선분 \(y=4-x,\) \(0 \le x \le 4\) 위의 점 \((x,\, 4-x)\)에서 \(f\)의 함숫값은 \[f(x,\,4-x) = 3x^2 - 12x +16\]이므로 이 선분 위에서 \(f\)가 극값을 갖는 경우는 \(x=0\), \(x=2\) 또는 \(x=4\)일 때이다. 즉 \((0,\,4),\) \((2,\,2),\) \((4,\,0)\)이 조사할 후보에 들어간다.

각 후보점에서 \(f\)의 함숫값을 조사해보면 \[f(0,\,0)=0 ,\,\, f(0,\,4) = 16 ,\,\, f(4,\,0) = 16 ,\,\, f(2,\,2) = 4 \] 이므로 \(D\)에서 \(f\)의 최댓값은 \(16\)이고 최솟값은 \(0\)이다.

그러므로 \(D\)에서 \(f\)의 최댓값과 최솟값의 합은 \(16\)이다.

A-6. 복소수 \(z = x+ iy \)에 대한 함수 \[f(z) = ( x^n y + xy^n + x+y) + i v(x,\,y)\] 가 \(z=1\)에서 해석적이 되도록 하는 자연수 \(n\)의 값을 구하고, 이때의 \(f ' (1)\)의 값을 구하시오. (단, \(x\)와 \(y\)는 실수이고, \(v(x,\,y)\)는 실숫값 함수이다.)

풀이. \(f\)의 실수부를 \(u(x,\,y)\)라고 하고, \(f\)의 허수부를 \(v(x,\,y)\)라고 하자. \(f\)가 해석적이려면 다음과 같은 Cauchy-Riemann 방정식을 만족시켜야 한다. \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} ,\,\, \frac{\partial y}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} \] \(f\)의 실수부의 편도함수를 구하면 \[ \frac{\partial u}{\partial x} = nx^{n-1} y + y^n +1 ,\,\, \frac{\partial u}{\partial y} = ny^{n-1} x + x^n +1 \tag{1}\] 이며, 이 식을 Cauchy-Riemann 방정식에 대입하면 다음을 얻는다. \[\frac{\partial v}{\partial y} = nx^{n-1} y+y^n +1 ,\,\, \frac{\partial v}{\partial x} = -ny^{n-1} x-x^n -1 \tag{2}\] 이 미분방정식을 풀어 \(v(x,\,y)\)를 구하자. (2)의 첫째 식을 \(y\)에 대하여 적분하면 \[v(x,\,y) = \frac{1}{2} nx^{n-1} y^2 + \frac{1}{n+1} y^{n+1} +y +C_1 (x) \tag{3} \] 를 얻으며, (2)의 둘째 식을 \(x\)에 대하여 적분하면 \[v(x,\,y) = - \frac{1}{2} nx^2 y^{n-1} - \frac{1}{n+1} x^{n+1} -x+C_2 (y) \tag{4} \] 를 얻는다. (3)과 (4)는 일치해야 한다. (3)의 항 중에서 변수가 \(y\)뿐인 항은 (4)의 \(C_2 (y)\)에 나타나며, (4)의 항 중에서 변수가 \(x\)뿐인 항은 (3)의 \(C_1 (x)\)에 나타난다. 다만 (3)에서 \(x\)와 \(y\) 모두가 변수인 부분과 (4)에서 \(x\)와 \(y\) 모두가 변수인 부분은 서로 같아야 한다. 즉 \[\frac{1}{2} nx^{n-1} y^2 = - \frac{1}{2} nx^2 y^{n-1} \tag{5}\] 이다. 그러나 이 등식이 임의의 실수 \(x,\) \(y\)에 대하여 성립하도록 하는 자연수 \(n\)은 존재하지 않는다. 이것은 (5)의 양변이 각각 \(x,\) \(y\) 모두를 변수로 갖는 항이 아니라는 것을 의미한다. (5)의 양변이 모두 하나의 변수만 가지려면 \(n=1\)이 되어야 한다.

이제 \(n=1\)을 대입하여 계산하자. \(z = x + iy\)이고 \(x\)와 \(y\)가 실수일 때 \[f ' (z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = (2y+1) + i(-2x-1) \] 이므로 여기에 \(z=1\) 즉 \(x=1, \, y=0\)을 대입하면 \[f ' (1) = (2 \times 0 +1 ) + i ( -2 \times 1 -1 ) = 1-3i \] 를 얻는다.

A-11. 복소평면 \(\mathbb{C}\)의 영역 \(D = \left\{ z \in \mathbb{C} \,\, | \,\, 0 < |z| < 1 \right\}\)에 대하여 함수 \(f : D \rightarrow \mathbb{C} \)는 해석적이며, 임의의 \(z \in D\)에 대하여 함수 \(f(z)\)가 부등식 \[ | f(z) | \le 1 + \ln \left( \frac{1 + |z|}{2 |z|} \right) \] 를 만족시킨다. 이때 \(z=0\)은 함수 \(f(z)\)의 제거 가능한 특이점임을 보이고, \(f( \frac{1}{2} )=1\)일 때 \[f \left ( \frac{1+i}{3} \right)\] 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

풀이. 먼저 문제에서 주어진 부등식에 의하여 임의의 \(z \in D\)에 대하여 \[ \begin{eqnarray} | z f(z) | & \le & |z| + \left| |z| \ln \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{|z|} \right) \right| \\[5pt] & \le & |z| + |z| \ln \frac{1}{2} + |z| \ln \left( 1+ \frac{1}{|z|} \right) \tag{1} \end{eqnarray} \] 이 성립한다. 그런데 l'Hôpital의 법칙에 의하여 \[\lim_{z\to 0} |z| \ln \left( 1+ \frac{1}{|z|} \right) = \lim_{w \to \infty} \frac{\ln (1+w)}{w} \sim \lim_{w \to \infty} \frac{1}{1+w} =0\] 이므로 (1)에 의하여 \[\lim_{z \to 0} | z f(z) | =0 \] 이다. 그러므로 Riemann의 정리에 의하여 \(z=0\)은 \(f\)의 제거 가능한 특이점이다.

이제 \[ g(z) := \begin{cases} f(z) & \quad \mathrm{i f} \quad 0 < |z| < 1 \\[5pt] \lim_{z\to 0} f(z) & \quad \mathrm{i f} \quad z=0 \end{cases} \] 이라고 하자. 그러면 \(g(z)\)는 \(E = D\cup \left\{0 \right\}\)에서 해석적이다. 최대절댓값 정리에 의하여 \(|g(z)|\)는 상수함수가 아닌 이상 \(E\)의 내부에서 최댓값을 가질 수 없다. 그런데 \[\lim_{|z| \to 1} |g(z)| \le \lim_{|z| \to 1} \left( 1+ \ln \frac{1+|z|}{2|z|} \right) = 1 \] 이므로 임의의 \(z\in E\)에 대하여 \( |g(z)| \le 1\)이다. 한편 \(g( \frac{1}{2} ) = 1\)이고 \(\frac{1}{2}\)은 \(E\)의 내점이므로 \(g(z)\)는 \(E\)에서 상수함수이다. 그러므로 \[f \left( \frac{1+i}{3} \right) = g \left( \frac{1+i}{3} \right) = g \left( \frac{1}{2} \right) = 1 \] 을 얻는다.

A-12. 좌표평면 \(\mathbb{R} ^2 \)에서 거리함수 \(d : \mathbb{R} ^2 \times \mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb{R} \)는 \[ d(p,\,q) = \begin{cases} 0 & \quad \mathrm {i f} \,\, p=q \\[10pt] \max \left\{ \lVert p \rVert ,\, \lVert q \rVert \right\} & \quad \mathrm{i f} \,\, p \ne q \end{cases} \] 이다. \(d\)에 의해 유도된 \(\mathbb{R} ^2\) 상의 거리위상을 \(\mathfrak{T} _{d} \)라고 하자. 위상공간 \( (\mathbb{R} ^2 ,\, \mathfrak{T} _{d} )\)의 부분집합 \[A = \left\{ (x,\,0) \in \mathbb{R} ^2 \,\, \middle| \,\, 0 < x < 1 \right\}\] 의 폐포 \(\overline{A}\)를 풀이 과정과 함께 쓰시오.

또한 \( (\mathbb{R} ^2 ,\, \mathfrak{T} _{d} )\)에서 긴밀(compact)인 무한부분집합 \(B\)의 예를 하나 제시하시오. (단, \(p = (x,\,y)\)에 대하여 \(\lVert p \rVert = \sqrt{x^2 + y^2}\)이고, \(\max \left\{ a,\,b \right\}\)는 \(a\)와 \(b\) 중 작지 않은 수이다.)

풀이. \(A\)의 도집합(derived set)을 \(A ' \)이라고 하자. 그러면 \(\overline{A} = A \cup A ' \)이다. 따라서 \(A ' \)을 구하면 \(\overline{A}\)를 구할 수 있다.

\(\epsilon > 0\)이고 \(p \in \mathbb{R} ^2\)라고 하자. 이때 중심이 \(p\)이고 반지름이 \(\epsilon\)인 열린공(open ball)은 다음과 같다. \[ \begin{eqnarray} B_{\epsilon} (p) &=& \left\{ x \in \mathbb{R} ^2 \,\, \middle| \,\, d(p,\,x) < \epsilon \right\} \\[7pt] &=& \begin{cases} \left\{ p \right\} & \quad \mathrm{i f} \,\, \epsilon \le \lVert p \rVert \\[5pt] \left\{ x \in \mathbb{R} ^2 \,\, \middle| \,\, \lVert x \rVert < \epsilon \right\} & \quad \mathrm{i f} \,\, \epsilon > \lVert p \rVert \end{cases} \end{eqnarray} \] \(p \notin A\)이고 \(p \ne \mathrm{O}\)라고 하자. 그러면 \(\epsilon_p := \frac{1}{2} \lVert p \rVert\)에 대하여 \[p \in B_{\epsilon_p} (p) \subseteq A^C \]이므로 \(p\)는 \(A\)의 외부의 내점이다. 그러므로 \(p \notin \overline{A}\)이다. \(p=\mathrm{O}\)인 경우에는 \(1\)보다 작은 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \[\left( \frac{1}{2} \epsilon ,\, 0 \right) \in B_{\epsilon} (p) \cap A\] 이므로 \(p \in A ' \)이다. 그러므로 \(A\)의 원소가 아닌 점 중에서 \(A\)의 집적점은 \(\mathrm{O}\) 뿐이다. 즉 \(A\)의 폐포는 다음과 같다. \[\overline{A} = A \cup A ' = \left\{ (x,\,0) \in \mathbb{R} ^2 \,\, \middle| \,\, 0 \le x < 1 \right\}\] 다음으로 긴밀인 무한부분집합 \(B\)를 구성하자. 집적점이 \(\mathrm{O}\) 뿐인 무한집합을 구성하면 된다. 왜냐하면 \(\mathrm{O}\)를 중심으로 하는 임의의 열린공은 반지름이 양수인 열린원판이 되기 때문이다. \[B := \left\{ \frac{1}{n} \,\, \middle| \,\, n \in \mathbb{N} \right\} \cup \left\{ (0,\,0) \right\}\] 이라고 하자. 그리고 \(\mathcal{C}\)가 \(B\)의 열린덮개(covering)라고 하자. 그러면 \(\mathcal{C}\)의 원소 중에서는 \(\mathrm{O}\)를 덮는 것이 존재하는데, 그것을 \(U_0\)이라고 하자. \(\mathrm{O}\)가 \(U_0\)의 내점이므로 \(B_{r} (\mathrm{O}) \subseteq U_0 \)인 양수 \(r\)가 존재한다. 이때 \(B\)의 원소 중에서 \(B_{r} (\mathrm{O})\)에 속하지 않는 점의 개수는 유한이므로 그러한 점들은 \(\mathcal{C}\)의 유한 개의 원소 \(U_1 ,\) \(U_2 ,\) \(\cdots ,\) \(U_m\)에 의하여 덮힌다. \[\mathcal{S} := \left\{ U_0 ,\, U_1 ,\, U_2 ,\, \cdots ,\, U_m \right\}\] 이라고 하면 \(\mathcal{S}\)는 \(\mathcal{C}\)의 유한부분집합이면서 \(B\)의 덮개이다. 그러므로 \(B\)는 긴밀집합이다.

B-4. 함수 \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)는 미분가능하고 도함수 \(f ' \)이 \(\mathbb{R}\)에서 연속이다. 자연수 \(n\)에 대하여 함수 \(g_n\)을 \[g_n (x) = 2^n \left\{ f \left( x+2^{-n} \right) - f(x) \right\}\] 라 하자. 함수열 \(\left\{ g_n \right\}\)이 닫힌구간 \([0,\,1]\)에서 \(f ' \)으로 평등수렴함을 보이시오. 또한 \[\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} g_n (x) \, dx \,=\, f(1) - f(0) \] 임을 보이시오.

풀이. 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \([0,\,2]\)가 긴밀집합이므로 \(f ' \)은 \([0,\,2]\)에서 평등연속이다. 그러므로 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(|s-t| < \delta\)인 임의의 \(s,\,t \in [0,\,2]\)에 대하여 \(| f ' (s) - f ' (t) | < \epsilon\)을 만족시킨다.

\(2^{-N} < \delta\)인 자연수 \(N\)을 택하고 \(n > N ,\) \(n \in \mathbb{N},\) \(x \in [0,\,1]\)이라고 하자. \(f\)가 \(\mathbb{R}\)에서 미분 가능하므로 평균값 정리에 의하여 \(x < \xi _n < x+2^{-n}\)인 실수 \(\xi_n\)이 존재하여 \[\frac{f(x+ 2^{-n}) - f(x)}{2^{-n}} = f ' (\xi _n )\] 을 만족시킨다. 이때 \[ \left| \xi_n - x \right| \le \left| x + 2^{-n} -x \right| = 2^{-n} < \delta\] 이므로 \[ \left| g_n (x) - f ' (x) \right| = \left| \frac{f \left( x + 2^{-n} \right) - f(x)}{2^{-n}} - f ' (x) \right| = \left| f ' \left( \xi_n \right) - f ' (x) \right| < \epsilon \] 이 성립한다. 그러므로 \(\left\{ g_n \right\}\)은 \([0,\,1]\)에서 \(f ' \)에 평등수렴한다.

끝으로 평등수렴의 성질과 미적분의 기본정리에 의하여 \[ \begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \int_{0}^{1} g_n (x) \, dx &=& \int_{0}^{1} \left( \lim_{n\to\infty} g_n (x) \right) dx \\[5pt] &=& \int_{0}^{1} f ' (x) \, dx \\[5pt] &=& \Bigl[ \, f(x) \, \Bigr] _{0}^{1} \\[5pt] &=& f(1) - f(0) \end{eqnarray} \] 을 얻는다.

B-7. 상수함수가 아닌 함수 \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)가 임의 횟수 미분가능하고 모든 실수 \(x\)와 자연수 \(n\)에 대하여 \[ \left| f^{(n)} (x) \right| \le n^2 ( |x| +2 ) \] 를 만족시킬 때, 집합 \[\left\{ x \in \mathbb{R} \,\, | \,\, f(x) =0 , \, |x| < 1 \right\}\] 이 유한집합임을 보이시오.

단, 다음 두 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

(가) \(c \in (a,\,b)\)이고 함수 \(f(x)\)가 열린구간 \((a,\,b)\)에서 \((n+1)\)번 미분가능할 때, \[T_n (x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)} (c)}{k!} (x-c)^k ,\,\, R_n (x) = f(x) - T_n (x) \] 로 놓으면 \(x \ne c\)인 경우 \(c\)와 \(x\) 사이에 \(t_x\)가 존재하여 \[R_n (x) = \frac{f^{(n+1)} (t_x )}{(n+1)!} (x-c)^{n+1}\] 을 만족시킨다.

(나) 함수 \(g(x)\)가 \(|x-c| < r \)인 모든 \(x \in \mathbb{R}\)에 대하여 \[g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n \] 일 때, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(x_n \ne c ,\) \( g( x_n )=0\)이고 \(x_n \to c\)인 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 존재하면 \(|x-c| < r\)인 모든 \(x \in \mathbb{R}\)에 대하여 \(g(x) =0\)이다. (단, \(r > 0,\) \(c\)는 상수)

풀이. \(E := \left\{ x \in \mathbb{R} \,\,|\,\, f(x) =0 ,\, |x| < 1 \right\}\)이라고 두고, 결론에 반하여 \(E\)가 무한집합이라고 가정하자. \(E\)가 유계이므로 Bolzano-Weierstrass 정리에 의하여 \(E\)의 집적점이 존재한다. \(\alpha \in E ' \)이라고 하자.

\(x \ne \alpha \)인 실수 \(x\)와 \(0\) 이상의 정수 \(n\)에 대하여 \[R_n (x) := f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)} (\alpha )}{k!} (x-\alpha )^{k}\] 이라고 하자. 그러면 Taylor의 정리(가)에 의하여 \(\alpha\)와 \(x\) 사이에 \(t_x\)가 존재하여 다음을 만족시킨다. \[ \begin{eqnarray} \left| R_n (x) \right| &=& \left| \frac{f^{(n+1)} \left( t_x \right)}{(n+1)!} (x- \alpha )^{n+1} \right| \\[7pt] &\le & \left| \frac{(n+1)^2 \left( \left| t_x \right| +2 \right)}{(n+1)!} (x- \alpha )^{n+1} \right| \\[7pt] &\le & \frac{(n+1)^2}{(n+1)!} |x - \alpha |^{n+1} . \tag{1} \end{eqnarray} \] 그런데 \(n \to \infty\)일 때 (1)은 \(x\)의 값에 상관 없이 \(0\)에 수렴한다. 즉 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \[\lim_{n\to\infty} R_n (x) =0 \] 이다. 그러므로 \[a_n := \frac{f^{(n)} (\alpha )}{n!} \] 로 정의된 수열 \(\left\{a_n \right\}\)과 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x- \alpha )^n \] 으로 나타낼 수 있다.

\(\alpha \in E ' \)이므로 임의의 \(n\)에 대하여 \(x_n \ne \alpha ,\) \(x_n \in E \)이고 \(x_n \to \alpha \)인 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 존재한다. 이때 임의의 \(n\)에 대하여 \(f\left( x_n \right) =0\)이므로 실해석적 함수의 일치정리(나)에 의하여 임의의 \(x\)에 대하여 \(f(x) = 0\)이다. 이것은 \(f\)가 상수함수가 아니라는 문제의 가정에 모순이다.

그러므로 \(E\)는 무한집합이 아니다. 즉 \(E\)는 유한집합이다.

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