Poncelet-Steiner 정리

By | November 11, 2009

작도란 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번 사용하여 평면에 도형을 그리는 것을 의미한다. 지난 포스팅에서 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번 사용하여 할 수 있는 모든 작도는 컴퍼스만으로 할 수 있다는 모르-마스케로니의 정리를 소개하였다. 한편, 프랑스의 수학자 장-빅토르 퐁슬레(Jean-Victor Poncelet, 1788-1867)는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번 사용하여 할 수 있는 모든 작도는, 하나의 원이 주어지기만 하면 자만 이용하여 할 수 있을 것이라고 예상하였고, 1833년 스위스의 야콥 슈타이너(Jakob Steiner, 1796-1863)가 이를 증명하였다. 이 정리를 퐁슬레-슈타이너의 정리라고 부른다.

퐁슬레-슈타이너의 정리에서는 자만 사용하기 때문에 실제 원을 그릴 수 없다. 따라서 삼각형의 내접원이나 외접원과 같은 것을 작도할 수는 없다. 대신 한 점 O와 한 선분 AB가 주어지면 점 O를 중심으로 하고 선분 AB의 길이를 반지름의 길이로 하는 원이 그려진 것으로 생각한다. 퐁슬레 슈타이너의 정리는 사실상 다음 다섯 가지 작도가 눈금 없는 자와 중심을 알고 있는 하나의 원으로 가능하다는 것이다.

S1. 주어진 직선 AB와 점 P에 대하여, P를 지나면서 AB에 평행한 직선의 작도
S2. 주어진 직선 AB와 점 P에 대하여, P를 지나면서 AB에 수직인 직선의 작도
S3. 주어진 선분 XY와 직선 AB에 대하여, AB 위에 XY와 길이가 같은 선분의 작도
S4. 주어진 세 길이 \(a,~b,~c\) 에 대하여 \(a : b = c : d\) 인 길이 \(d\) 의 작도
S5. 주어진 두 길이 \(x,~y\) 에 대하여 \(x,~y\) 의 기하평균 \(\sqrt{xy}\) 의 작도

위의 다섯 개의 작도를 슈타이너의 작도(Steiner's Construction)라고 부른다. 슈타이너의 작도를 이용하면 다음과 같은 평면 위의 네 가지 기본 작도를 수행할 수 있다.

C1. 점 P와 길이가 \(k\) 인 선분 AB를 이용하여, 중심이 P이고 반지름이 \(k\) 인 원의 작도
C2. 두 원의 교점의 작도
C3. 원과 직선의 교점의 작도
C4. 두 직선의 교점의 작도

위의 네 가지 기본작도는 모르-마스케로니의 정리를 증명할 때에도 언급하였던 것들임을 알 수 있다. 참고로 자만을 이용하여 원을 그릴 수는 없으므로 C1의 경우 점 P와 선분 AB를 구하는 것만으로 그러한 원을 그린 것으로 생각한다. 한편 자를 이용하면 C4는 당연히 작도할 수 있다. 따라서 여기서는 S1부터 S5를 증명하고, 이를 이용하여 C2, C3을 작도할 수 있음을 증명하겠다. 삽입된 그림에서 원 O는 처음부터 주어져 있는 것이다. 점 O는 항상 원의 중심을 나타낸다.

작도 S1. 평행선

직선 AB와 그 직선 위에 있지 않은 점 P가 주어졌다고 하자. 이제 점 P를 지나면서 직선 AB에 평행한 직선 PQ를 작도하겠다.

첫 목표는 직선 AB 위에 세 점 Y, X, Y'을 택하되 두 선분 YX와 XY'의 길이가 같아지도록 하는 것이다.

  1. 직선 AB 위의 임의의 점 X를 택한다.
  2. 직선 XO와 원과의 두 교점을 각각 C, D라고 한다.
  3. 원 위에서 C도 아니고 D도 아닌 한 점 F를 택한다.
  4. 반직선 CF 위의 한 점 G를 원 외부에 놓이도록 택한다.
  5. 직선 GO와 직선 FD의 교점을 H라고 한다.
  6. 직선 CH와 직선 GD의 교점을 J라고 한다. [그러면 직선 FJ는 직선 CD와 평행하다.]
  7. 직선 FJ와 원의 교점을 E라고 하고, 직선 FJ와 직선 AB의 교점을 Y라고 한다. [그러면 직선 EF는 직선 CD와 평행하다.]
  8. 직선 EO와 원의 교점을 E'이라고 하고, 직선 FO와 원의 교점을 F'이라고 한다. [그러면 직선 E'F'는 직선 CD, 직선 EF와 평행하다.]
  9. 직선 E'F'과 직선 AB의 교점을 Y'이라고 한다.

이제 세 점 Y, X, Y'은 직선 AB 위에 있고, 두 선분 YX와 XY'의 길이는 같다. 이제 직선 CD의 평행인 직선 EF를 작도한 것처럼 직선 PQ를 다음과 같이 작도할 수 있다.

  1. 반직선 YP 위의 한 점 T를 택한다. 단, T는 선분 YP 위에 놓이지 않도록 한다.
  2. 직선 TX와 직선 PY'의 교점을 S라고 한다.
  3. 직선 YS와 직선 TY'의 교점을 Q라고 한다.

그러면 직선 PQ는 점 P를 지나면서 직선 AB에 평행한 직선이 된다.

작도 S2. 수선

직선 AB와 그 직선 위에 있지 않은 점 P가 주어졌다고 하자. 이제 점 P를 지나면서 직선 AB에 수직인 직선을 작도하겠다.

  1. 원 위의 한 점 Q를 택한다. 직선 QO와 원의 교점을 Q'이라고 한다.
  2. 점 Q를 지나고 직선 AB에 평행한 직선이 원과 만나는 점을 R이라고 한다. (∵ S1) [그러면 ∠QRQ'은 직각이 된다.]
  3. 직선 Q'R과 평행하고 점 P를 지나는 직선을 그린다. (∵ S1)

그러면 마지막 단계에서 그린 직선은 직선 AB에 수직인 직선이 된다.

작도 S3. 선분의 길이 복사

길이가 \(k\) 인 선분 XY와 직선 AB가 주어져 있고, 점 P가 직선 AB 위에 있다고 하자. 이제 직선 AB 위에 점 Z를 작도하여 선분 ZP의 길이가 \(k\) 가 되도록 하겠다.

  1. 선분 XY에 평행하고 원의 중심 O를 지나는 직선이 원과 만나는 두 점 중 하나를 J라고 한다. (∵ S1)
  2. 직선 AB에 평행하고 원의 중심 O를 지나는 직선이 원과 만나는 두 점 중 하나를 C라고 한다. (∵ S1)
  3. 점 X를 지나고 직선 YP에 평행한 직선이 점 P를 지나고 선분 XY와 평행한 직선과 만나는 점을 M이라고 한다. (∵ S1)
  4. 점 M을 지나고 직선 CJ에 평행한 직선이 직선 AB와 만나는 점을 Z라고 한다.

그러면 선분 ZP는 선분 XY의 길이와 같은 선분이 된다. 참고로 선분 ZP의 길이가 \(k\) 가 되는 점 Z의 위치는 두 곳이 있는데 이 두 곳 중 어떤 곳이 Z가 되는지 여부는 원 위의 점 C, J를 어떻게 택하였느냐에 따라서 달라진다.

작도 S4. 세 길이의 비례식

길이가 \(a,~b,~c\) 인 세 선분이 주어졌다고 하자. 선분의 길이는 한 직선 위로 옮길 수 있으므로 이 세 선분은 모두 직선 AB 위에 나란히 놓여 있다고 할 수 있다. 즉 직선 AB 위에 길이가 \(a,~b,~c\) 인 세 선분 CD, DE, EF가 서로 끝 점만 공유한 채 놓여 있다고 하자. 이제 직선 AB 위의 점 G를 작도하되 선분 FG의 길이 \(d\) 가 \(a : b = c : d\) 를 만족시키도록 하겠다.

  1. 직선 AB 위에 있지 않은 점 P를 택한다.
  2. 점 D를 지나고 직선 CP에 평행한 직선이 점 F를 지나고 직선 PE에 평행한 직선과 만나는 점을 Q라고 한다. (∵ S1)
  3. 점 E를 지나고 직선 CP에 평행한 직선이 직선 PQ와 만나는 점을 R이라고 한다. (∵ S1)
  4. 점 R을 지나고 직선 PE에 평행한 직선이 직선 AB와 만나는 점을 G라고 한다. (∵ S1)

그러면 CD : DE = EF : FG 가 성립한다.

작도 S5. 두 길이의 기하평균

길이가 각각 \(x\), \(y\) 인 두 선분이 주어졌다고 하자. 이때 길이가 \(xy\) 의 기하평균 \(\sqrt{xy}\) 인 선분을 작도하겠다. 원의 반지름의 길이를 \(d \)라고 하자.

  1. 길이가 \( t = x+y\) 인 선분을 작도한다. (∵ S3, S4)
  2. 비례식 \(t : x = d : m\) 을 만족시키는 길이 \(m\) 을 갖는 선분을 작도한다. (∵ S4)
  3. 비례식 \(t : y = d : n\) 을 만족시키는 길이 \(n\) 을 갖는 선분을 작도한다. (∵ S4) [그러면 \(d = m+n\) 이 된다. 즉 \(m+n\) 은 원의 반지름의 길이가 된다.]
  4. 원 O 위의 한 점 P를 택하고 직선 PO와 원이 만나는 점을 Q라고 한다. [그러면 PQ는 원의 지름이고, PQ의 길이는 \(2d = 2(m+n)\) 이다.]
  5. 선분 PQ 위의 점 R를 택하되 선분 PR의 길이가 \(2m\) 이 되도록 한다. (∵ S3)
  6. 점 R을 지나고 직선 PQ에 수직인 직선이 원과 만나는 점을 S라고 한다. (∵ S2)
  7. 선분 RS의 중점을 작도한다. (∵ 선분의 길이 복사와 평행선을 이용하면 선분을 등분할 수 있다.) [그러면 선분 RS의 길이의 반은 \(\sqrt{mn}\) 이 된다.]
  8. 비례식 \(d : t = \sqrt{mn} : \sqrt{xy}\) 를 만족시키는 길이 \(\sqrt{xy}\) 를 갖는 선분을 작도한다.

여기서 선분의 길이 \(\sqrt{xy}\) 는 \(x\) 와 \(y\) 의 기하평균이 된다.

C3. 원과 직선의 교점의 작도

반지름의 길이가 \(r\) 이고 중심이 X인 원 C와 직선 AB가 주어졌다고 하자. 물론 원이 직접 주어진 것은 아니고 원의 중심과 반지름의 길이만 주어진 것이다. 점 X에서 직선 AB에 내린 수선의 발을 T라고 하자(∵ S2). 직선 AB 위의 점 M, N을 작도하되 선분 TM과 선분 TN의 길이가 모두 \(\sqrt{r^2 - \rm{XT} ^2}\) 이 되도록 한다(∵ S3, S4, S5). 그러면 두 점 M, N은 원과 직선의 교점이 된다.

C2. 두 원의 교점의 작도

중심이 X이고 반지름의 길이가 \(r\) 인 원, 중심이 Y이고 반지름의 길이가 \(m\) 인 원이 주어졌다고 하자. 물론 원이 직접 주어진 것은 아니고 원의 중심과 반지름의 길이만 각각 주어진 것이다. 일반성을 잃지 않고 \(m \ge r\) 라고 하자. 선분 XY의 길이를 \(t\) 라고 하자. 그리고 길이가 \[s = \frac{r^2 + t^2 - m^2}{2t} \]인 선분을 작도한다(∵ S3, S4). 만약 \(t > m\) 이면 선분 XY 위에 길이 \(s\) 인 선분 XZ를 작도하되 Z가 선분 XY 위에 놓이도록 한다. 만약 \(t < m\) 이면 직선 XY 위에 길이 \(s\) 인 선분 XZ를 작도하되 Z가 선분 XY 위에 놓이지 않도록 한다. 다음으로 점 Z를 지나고 직선 XY에 수직인 직선 L을 작도한다. 그러면 직선 L과 원 X의 교점은 두 원 X, Y의 교점이 된다(∵ C3).

이로써 눈금없는 자와 중심을 알고 있는 주어진 원을 이용하여 슈타이너의 작도가 가능함을 보였고, 이를 이용하여 평면 위의 네 가지 기본 작도가 가능함을 보였다.

(글, 그림 : Shin)

참고 1. 눈금없는 자만 이용해서는 원과 직선의 교점을 찾을 수 없다. 직선은 1차식으로 표현되며 직선의 교점은 1차 연립방정식의 해가 된다. 따라서 계수가 유리수인 직선의 방정식으로 나타나는 직선의 교점은 유리수가 될 수밖에 없다. 원의 방정식은 2차식이고 2차방정식의 해는 무리수가 될 수 있으므로 직선자만으로는 작도할 수 없는 점이 존재하게 된다(추유호님의 블로그 참조). 한편 눈금없는 자만 이용해서는 원의 중심을 찾을 수 없음이 증명되어 있다. 이와 관련하여 A. Bogomolny의 문서를 참고하기 바란다.

참고 2. 작도 S5의 그림에서 이미 증명한 S4까지의 작도 과정은 생략(hidden)되어 있는데, 사실은 아래 그림처럼 매우 복잡한 작도 과정을 거친다. 아래 그림도 작도 과정을 모두 보여주고 있는 것은 아니다. 만약 S1부터 S4까지의 과정을 모두 생략 없이 보여준다면 얼마나 복잡해질지 상상해보기 바란다.

참고 3. 이 글에 삽입된 그림은 GSP로 만들어졌다.

참고 4. 자만 사용하는 작도의 한계에 관한 내용은 다음 논문을 참고하라.

References

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