Mohr-Mascheroni 정리

By | October 31, 2009

작도란 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번 사용하여 평면에 도형을 그리는 것을 의미한다. 1797년 Lorenzo Mascheroni는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번 사용하여 할 수 있는 모든 작도는 컴퍼스만 이용하여 할 수 있음을 증명하였다. 후에 거의 비슷한 정리를 1672년 George Mohr가 했음이 밝혀졌으나, Mascheroni의 연구는 Mohr의 것과 독립적인 것으로 인정받았다. (정리의 내용이 독립적인 것이 아니라 연구 행위가 독립적이라는 의미이다.) 따라서 이 정리는 오늘날 Mohr-Mascheroni의 정리로 불린다. (한국어 발음으로는 모르-마스케로니, 모어-마스케로니, 모르-마셰로니, 모어-마셰로니 등으로 불린다.)

Mohr-Mascheroni의 정리에서는 컴퍼스만 사용하며 자를 사용하지 않기 때문에 선분이나 직선을 "그을" 수 없다. 따라서 서로 다른 두 개의 점이 주어지면 그것으로 직선이 주어진 것으로 본다. Mohr-Mascheroni의 정리는 사실상 다음 세 가지 도형의 작도가 컴퍼스만으로 가능하다는 것이다.

  1. 두 원의 교점
  2. 한 원과 한 직선의 교점
  3. 두 직선의 교점

컴퍼스만 이용하여 두 원의 교점을 작도할 수 있다는 것은 자명하므로 여기서는 두 번째와 세 번째 도형의 작도가 가능함을 증명하겠다. 이 정리의 증명은 상당히 길고 복잡한데, 여기서는 다섯 단계로 간략하게 증명하겠다. 중학교 1학년에서 배우는 작도와 3학년에서 배우는 원주각의 성질을 기억하고 있다면 쉽게 이해할 수 있는 내용이다.

작도 1. 선분의 중점, 선분의 길이의 자연수배 연장

두 점 A, B를 양 끝점으로 하는 선분 AB가 주어졌다고 하자. 선분 AB의 중점 M, 그리고 선분 AB의 길이의 2배가 되는 선분 AE를 작도하겠다.

  1. 중심이 각각 A, B이고 반지름의 길이가 AB인 두 원의 교점 C를 작도한다.
  2. C를 중심으로 하고 반지름의 길이가 AB인 원과 중심이 B인 원의 교점 D를 작도한다.
  3. D를 중심으로 하고 반지름의 길이가 AB인 원과 중심이 B인 원의 교점 E를 작도한다.

그러면 선분 AE의 길이는 선분 AB의 길이의 2배이다. 선분의 길이를 2배로 늘린 것을 반복하여, 임의의 자연수 n에 대하여 선분의 길이를 n배로 늘릴 수 있다.

  1. E를 중심으로 하고 반지름의 길이가 AE인 원과 중심이 A인 원의 교점 F, G를 작도한다.
  2. 중심이 각각 F, G이고 반지름의 길이가 FA, GA인 두 원의 교점 중 A가 아닌 점 M을 작도한다.

그러면 M은 선분 AB의 중점과 일치한다. 점 M이 선분 AB의 중점이 되는 이유를 보고 싶으면 400번 글(컴퍼스만으로 선분의 중점 작도하기)을 참고하기 바란다.

작도 2. 직선과 원의 교점 (직선이 원의 중심을 지나지 않는 경우)

중심이 M인 원 K와 두 점 P, Q가 주어져 있으며 직선 PQ가 원 K와 두 점에서 만난다고 하자. 단, 직선 PQ는 원 K의 중심인 M을 지나지 않는다. 직선 PQ와 원 K의 교점 X, Y를 작도하겠다.

두 점 P, Q는 원 K의 외부에 있다고 해도 된다. 왜냐하면, 만약 점 P, Q가 원 K의 외부에 있지 않은 경우 선분 PQ를 연장시켜서 그 끝점이 원 K의 외부에 놓이도록 할 수 있기 때문이다.

  1. 중심이 P이고 반지름의 길이가 PM인 원과 중심이 Q이고 반지름의 길이가 QM인 원의 교점 M'을 작도한다.
  2. 중심이 M'이고 반지름의 길이가 K의 반지름의 길이와 같은 원 K'을 작도한다. 그리고 K와 K'의 두 교점을 X, Y라고 한다.

그러면 두 점 X, Y는 원 K와 직선 PQ의 교점과 일치한다.

작도 3. 직선과 원의 교점 (직선이 원의 중심을 지나는 경우)

중심이 M인 원 K와, 원 K의 외부에 점 P가 주어졌다고 하자. 원 K와 직선 MP의 교점을 작도하겠다.

점 P가 원 K의 내부에 존재하는 경우 선분 MP를 연장시켜서 그 끝점이 원 K의 외부에 있도록 할 수 있다. 따라서 점 P가 원 K의 외부에 있는 경우만 증명하면 된다.

  1. 원 K 위의 한 점 B를 작도한다. 여기서 점 B는 직선 MP 위에 놓이지 않도록, 그리고 직선 PB가 원 K의 접선이 되지 않도록 한다.
  2. 직선 PB와 원 K의 교점 A를 작도한다. (∵ 작도 2)

위 과정의 1에서 점 B를 점 P에서 충분히 멀리 선택하여, A가 P와 B 사이에 놓이도록 할 수 있다.

  1. 두 점 A, B를 지나고 반지름의 길이가 원 K의 반지름의 길이보다 큰 원 L을 작도한다. 원 L의 중심을 G라고 하자.
  2. 원 L 위의 두 점 C, D를 작도하되, 선분 CD의 길이가 원 M의 반지름의 길이의 2배가 되도록 작도한다. (∵ 작도 1)
  3. 선분 CD의 중점 M'을 작도한다. (∵ 작도 1)
  4. 중심이 M'이고 CD를 지름으로 하는 원 K'을 작도한다.
  5. 중심이 G이고 반지름의 길이가 GP인 원 L'이 반직선 CD와 만나는 점을 P'을 작도한다. (∵ 작도 2)
  6. 중심이 P'이고 반지름의 길이가 PB인 원과 원 K'이 만나는 점 E를 작도한다. 이때 점 E는 직선 CD에 대하여 점 M과 같은 쪽에 있지 않은 것을 택한다.
  7. 점 B를 중심으로 하고 반지름의 길이가 CE와 같은 원이 원 K와 만나는 두 점 중에서 점 P에서 더 멀리 있는 점 X를 작도한다.
  8. 점 B를 중심으로 하고 반지름의 길이가 DE와 같은 원이 원 K와 만나는 두 점 중에서 점 P에 더 가까이 있는 점 Y를 작도한다.

그러면 점 X와 Y는 직선 MP와 원 K의 두 교점과 일치한다.

작도 4. 점으로부터 직선 위로의 수선의 발

직선 PQ와 점 A가 주어졌다고 하자. 여기서 점 A는 직선 PQ 위에 있지 않다. 점 A에서 직선 PQ에 내린 수선의 발을 작도하겠다.

  1. 중심이 P이고 반지름의 길이가 PA인 원과 중심이 Q이고 반지름의 길이가 AQ인 원이 만나는 두 점 중에서 A가 아닌 점 B를 작도한다.
  2. 선분 AB의 중점 M을 작도한다. (∵ 작도 1)

그러면 M은 점 A에서 직선 PQ에 내린 수선의 발과 일치한다.

작도 5. 두 직선의 교점

일직선 위에 있지 않은 네 점 P, Q, R, S가 주어졌다고 하자. 이제 직선 PQ와 직선 RS의 교점 M을 작도하겠다.

두 점 R과 S는 직선 PQ에 대하여 서로 다른쪽에 있고, 두 점 P와 Q는 직선 RS에 대하여 서로 다른 쪽에 있다고 해도 된다. 만약 그렇지 않다면 선분 RS와 선분 PQ를 연장시켜서 그 끝점이 그러한 조건을 만족시키도록 만들 수 있기 때문이다.

  1. 점 R에서 직선 PQ에 내린 수선의 발 L을 작도한다. (∵ 작도 4)
  2. 점 L에서 직선 RS에 내린 수선의 발 N을 작도한다. (∵ 작도 4)

이제 RL2 = RN × RM 이 되는 점 M을 찾아야 한다.

  1. 선분 RL의 길이를 2배로 늘려서 선분 RC를 만든다. (∵ 작도 1)
  2. 점 S에서 직선 PQ에 내린 수선의 발(∵ 작도 4)을 중심으로 하고 점 R을 지나는 원 K를 작도한다. 이 원은 점 C를 지난다.
  3. 원 K 위의 점 D를 작도하되, 선분 LD의 길이와 선분 NR의 길이가 같도록 작도한다. (∵ 원의 교점을 이용하여 그러한 점 D를 작도할 수 있다.)
  4. 직선 DL과 원 K의 교점 E를 작도한다. (∵ 작도 2, 3)
  5. 선분 RM의 길이와 선분 LE의 길이가 같아지도록 점 M을 R과 S 사이에 작도한다.

그러면 DL × LE = RL × LC = RL2 인데 RN = DL, RM = LE이므로 RL2 = RN × RM 이 성립한다. 따라서 점 M은 직선 PQ와 직선 RS의 교점과 일치한다.

이로써 앞서 언급하였던 세 가지 도형의 작도가 가능함을 보였다.

(글, 그림 : Shin)

참고. 이 글에 삽입된 그림은 GSP로 만들어졌다.

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