구면접촉수 Kissing Numbers

By | October 5, 2009

평면에 하나의 원이 있을 때 그 원에 접촉하면서 서로 내부를 공유하지 않도록 놓을 수 있는 원의 개수는 6이다. 동전 주위에 6개의 동전을 놓는 것을 상상하면 쉽게 이해할 수 있다.

이와 같은 아이디어를 1차원인 직선과 3차원인 공간에서도 생각할 수 있다. 1차원은 직선이므로 1차원에서의 원은 선분이 된다. 직선을 전체 집합이라 생각하고, 하나의 선분이 있을 때 그 선분에 접촉하면서 서로 내부를 공유하지 않도록 놓을 수 있는 선분의 개수는 2이다.

2차원에선 원이었던 것이 3차원 공간에서는 구가 된다. 구가 하나 있을 때 그 구에 접촉하면서 서로 내부를 공유하지 않도록 놓을 수 있는 구의 개수는 12이다.

3차원 공간에서 구에 관한 이 문제에 대하여 뉴튼(Isaac Newton)과 그레고리(David Gregory)는 서로 다른 답을 내놓았었는데, 뉴튼은 12개라고 한 반면 그레고리는 13개가 가능할 것이라고 하였다. 뉴튼이 12개라는 답에 대한 직관적인 증명을 하긴 했지만, 논리적인 증명은 1953년에 이르러서야 완성되었다.

이 문제를 더 확장하여 n차원 공간에서 하나의 구가 있을 때, 그 구에 접촉하면서 서로 내부를 공유하지 않도록 놓을 수 있는 구의 개수에 대하여 생각할 수 있다. 그 개수를 구면접촉수(Kissing Number)라고 한다. 얼핏 보면 쉬운 문제인 것 같지만 막상 생각해보면 그리 쉬운 문제가 아님을 알 수 있다. n=4일 때, 즉 4차원에서 이 문제의 답이 24라는 것이 2003년에 Oleg Musin에 의하여 증명되었다.

한편 8차원 공간과 24차원 공간은 대칭적인 특징이 두드러지는데, 이러한 특성에 의하여 n=8일 때의 Kissing Number가 240이고 n=24일 때의 Kissing Number가 196560임이 Levenshtein, Odlyzko A. M., Sloane N. J. A.에 의하여 일찍이 1979년에 증명되어 있었다. 8과 24를 제외하고서는 n>4일 때의 Kissing Number에 대한 답은 아직 나오지 않았다. 단지 몇 가지 방법을 통하여 주어진 n에 대하여 Kissing Number가 될 수 있는 값의 범위는 어느 정도 추정되어 있다.

자연수 n에 따른 Kissing Number의 최댓값과 최솟값을 각각 그래프로 그려보면 다음과 같다.

그래프가 개략적으로 지수함수 그래프의 모양을 하고 있다고 생각할 수 있다. 그러나 아직 명확하게 밝혀진 것은 아니다.

뉴튼과 그레고리가 3차원에서 Kissing Number에 대하여 왜 다른 답을 내놓았는지 생각해볼 필요가 있다. 아래 그림을 다시 보자.

가운데 구를 둘러 싸고 있는 파랑 구들이 서로 완전히 붙어 있는 것이 아니다. 약간의 여유를 가지고 움직일 수 있는 상태이다. 하나의 동전 주변에 6개의 동전을 놓았을 때에는 그 동전들은 틈이 없이 정확히 딱 들어 맞는다. 그러나 3차원에서 하나의 구 주변에 접촉해있는 구들은 딱 들어맞지 않고 약간의 틈을 갖게 되는 것이다. 약간의 계산을 해보면 틈을 갖게 된다는 것을 알 수 있다.

직관적 설명

만약 12개의 구들이 틈(움직일 여유 공간)을 갖지 않고 붙어 있다면 12개의 구들의 중심을 연결하여 만든 선분을 모서리로 갖는 정다면체를 구성할 수 있다. 그 정다면체는 정20면체가 된다. 또한 이렇게 만들어진 정20면체는 한 모서리의 길이가 구의 지름과 같게 된다. 그런데 정20면체에서 가장 멀리 있는 두 꼭짓점 사이의 거리는 모서리의 길이의 2배보다 작다. 무리수가 나오는데 계산해보면 1.90(소수점 아래 셋째 자리에서 반올림) 정도가 된다. 그런데 가장 멀리 있는 두 꼭지점에 대하여 각 꼭짓점을 중심으로 하는 구가 존재하고 그 두 구 사이에 또하나의 구가 있으며 이들 세 구는 일직선상에 외접하여 있다. 이는 모순이다.

높은 차원에서 Kissing Number를 구하기 어려운 이유도 바로 이것이다. 구들이 딱 들어맞는 것이 아니라 어느 정도 틈을 가지고 움직일 수 있는 상태가 된다는 것이다. 단 n=8, n=24일 때에는 딱 들어맞는다. 두 가지 경우에 Kissing Number가 일찍이 계산될 수 있었던 이유가 바로 이것이다.

관련된 기사와 논문을 첨부하였으니 관심 있는 사람은 읽어보기를 바란다.

자료참고, 그림출처 : Wikipedia

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