면적분 (Surface Integral)

By | February 13, 2011

면적분(surface integral)은 곡면 위에서 벡터장을 적분하는 것을 의미합니다. 중적분과 비교해서 생각해봅시다. 이중적분은 구부러지지 않은 평면의 부분조각에서 함수를 적분하는 것입니다. 면적분은 평면뿐만 아니라 구부러진 채로 공간에 떠있는 면 위에서 적분을 하는 것입니다. 3차원 공간에 벡터장이 정의되어 있다고 생각해 봅시다. 예컨대 중력장이나 자기장 등을 생각할 수 있습니다. 그리고 그 3차원 공간에 면조각이 떠 있다고 합시다. 그러면 그 면조각 위의 각 점에서 벡터장의 함숫값을 생각할 수 있습니다. 면조각을 편평한 바닥에 눌러서 펴면 평면의 부분조각이 됩니다. 그 편평한 조각 위에서 적분을 하면 그것이 바로 면적분이 됩니다.

선적분과 마찬가지로 면적분에도 스칼라 함수의 면적분과 벡터장의 면적분이 있습니다.

스칼라장의 면적분

스칼라장 \(f\)가 정의되어 있는 공간에 면 \(S\)가 놓여 있다고 합시다. 그리고 \(S\)가 얇은 막으로 이루어져 있고 \(S\) 위의 각 점 \(x\)에서 밀도를 \(f(x)\)라고 합시다. 그러면 \(S\) 위에서 \(f\)의 면적분은 단위두께를 가진 \(S\)의 질량이 됩니다. 이것을 계산하려면 면을 아주 작은 조각들로 나누어, 각 조각마다 밀도가 일정하다고, 즉 상수라고 생각합니다. 그리고 각 조각의 표면적과 밀도를 곱하고 그 값을 모두 더합니다. 여기에 각 조각의 크기가 \(0\)이 되도록 하는 극한을 취하면 적분으로서 그 값을 계산할 수 있습니다.

면을 면요소(surface element)로 잘게 자른 모습
단일 면요소

곡면 \(S\)가 \({\rm x}(s,~t),\) \((s,~t)\in T\)에 의하여 매개변수화 되었다고 합시다. 그러면 면적분은 \[\int_{S} f ~ d S = \iint_{T} f({\rm x}(s,~t)) \left| \frac{\partial {\rm x}}{\partial s} \times \frac{\partial {\rm x}}{\partial t} \right| ~ds ~ dt \]로 정의됩니다. 여기서 절댓값 안에 있는 식은 두 편도함수의 외적입니다.

예를 들어 \(z = f(x,~y)\)로 표현되는 곡면의 넓이를 구한다고 해봅시다. 그러면 \[A = \int_{S} dS = \iint_{T} \left| \frac{\partial {\rm r}}{\partial x} \times \frac{\partial {\rm r}}{\partial y} \right| ~ dx ~ dy \]로 계산됩니다. 여기서\[ {\rm r} = (x,~y,~z) = (x,~y,~f(x,~y)) \]이고 \[ \frac{\partial {\rm r}}{\partial x} = (1,~0,~f_x (x,~y)) , \\ \frac{\partial {\rm r}}{\partial y} = (0,~1,~f_y (x,~y)) \]입니다. 따라서 위의 면적분은 다음과 같이 계산됩니다. \[ \begin{eqnarray} A &=& \iint_{T} \left| \left( 1,~0,~ \frac{\partial f}{\partial x} \right) \times \left( 0,~1,~ \frac{\partial f}{\partial y} \right) \right| ~dx~dy \\ &=& \iint_T \left| \left( - \frac{\partial f}{\partial x} ,~ - \frac{\partial f}{\partial y} ,~1 \right) \right| ~dx~dy \\ &=& \iint_{T} \sqrt{ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)^2 + 1 } ~ dx ~ dy \end{eqnarray} \]참고로 위의 외적은 3차원 벡터공간에서만 정의되기 때문에 위와 같은 꼴의 면적분은 3차원 벡터장에 대해서만 사용할 수 있습니다. 참고로 더 높은 차원에서의 면적분은 미분형식의 적분(integration of differential form)을 통해 할 수 있습니다.

벡터장의 면적분

면 \(S\) 위에 벡터장 \(\rm v\)가 정의되어 있다고 합시다. 즉 각 \(x\in S\)에 대하여 함숫값 \({\rm v}(x)\)가 벡터라고 합시다. 벡터장의 면적분은 성분별로 스칼라장의 면적분의 정의에 따라 적분하여 구할 수 있습니다. 당연히 그 적분값은 벡터가 됩니다.

면 위에서의 벡터장

벡터장의 또다른 면적분으로서, 면 위의 각 점에서 정의된 법벡터(normal vector)에 대하여 적분할 수도 있습니다. 이때의 적분값은 스칼라가 됩니다. 예를 들어 면 \(S\) 위에 유체가 있다고 합시다. 즉 무언가 흐르고 있다고 생각합시다. 각 점 \(\rm x\) 위에서 흐르는 방향과 속력을 나타내는 벡터를 \({\rm v}({\rm x})\)라고 합시다. 이때 \(S\) 위에서 단위시간동안 흘러나간 양을 유출(flux)이라고 부릅니다.

만약 \({\rm v}({\rm x})\)가 \(S\)의 접벡터가 된다면 그 점에서의 유출은 \(0\)입니다. 접벡터가 아니라면 안쪽으로 흘러 들어오거나 바깥쪽으로 흘러 나가는 상황입니다. \(\rm v\)의 방향을 \(S\)에 접하는 성분과 \(S\)에 수직인 법선 방향의 성분으로 나누어 생각할 때, 유출을 계산하려면 법선 방향의 성분만 생각하면 됩니다. 왜냐하면 접선 방향의 성분은 유출에 아무런 영향을 미치지 않기 때문입니다. \(\rm v\)의 법선 방향 성분만을 생각한다는 것은 \(\rm v\)에 단위법벡터 \(\rm n\)을 내적하여 그 값을 적분한다는 것을 의미합니다. 따라서 유출의 계산은 다음과 같이 할 수 있습니다. \[ \begin{eqnarray} \int_{S} {\rm v} \cdot d {\rm S} &=& \int_{S} ( {\rm v} \cdot {\rm n} ) dS \\ &=& \iint_{T} {\rm v}({\rm x} (s,~t) \cdot \left( \frac{\partial {\rm x}}{\partial s} \times \frac{\partial {\rm x}}{\partial t} \right) ~ds ~dt . \end{eqnarray} \]위 식에서 첫 번째 식은 법선 방향에 대한 면적분의 표기 형식이며, 두 번째 식과 세 번째 식은 그것의 정의입니다.

2-형식의 적분

곡면 \(S\) 위에서 2-형식 \[ f = f_z ~dx \wedge dy + f_x ~dy \wedge dz + f_y ~dz \wedge dx \]가 주어졌다고 합시다. 그리고 각 점 \((s,~t)\in D\)에서 정의된 함수 \[ {\rm x}(s,~t) = (x(s,~t),~y(s,~t),~z(s,~t))\]가 \(S\)의 매개변수 함수이며 방향을 보존(orientation preserving)한다고 합시다. 그러면 \(S\) 위에서 \(f\)의 면적분은 \[ \iint_{D} \bigg{[} f_z ({\rm x}(s,~t)) \frac{\partial (x,~y)}{\partial (s,~t)} + f_x ( {\rm x} (s,~t)) \frac{\partial ( y,~z)}{\partial (s,~t)} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~ + f_y ({\rm x}(s,~t)) \frac{\partial (z,~x)}{\partial (s,~t)} \bigg{]} ~ ds ~ dt \]로 정의됩니다. 여기서 \[ \frac{\partial {\rm x}}{\partial s} \times \frac{\partial {\rm x}}{\partial t} = \left( \frac{\partial (y,~z)}{\partial (s,~t)} ,~ \frac{\partial (z,~x)}{\partial (s,~t)} ,~\frac{\partial (x,~y)}{\partial (s,~t)} \right) \]입니다. 이 정의는 세 성분 \(f_x ,\) \(f_y ,\) \(f_z\)를 가진 함수에 대하여 앞에서 정의한 면적분과 동일합니다.

몇 가지 주의사항

곡면을 매개변수화하는 방법은 한 가지만 있는 것이 아닙니다. 그렇다면 곡면을 어떻게 매개변수화하느냐에 따라서 면적분의 값이 달라질 것인지 아니면 동일할 것인지 의문이 생깁니다. 스칼라장의 면적분의 경우에는 곡면을 어떻게 매개변수화하든지 그 적분값은 동일합니다. 그러나 벡터장의 면적분의 경우에는 다릅니다. 벡터장의 면적분은 법선벡터의 방향에 의존하기 때문에, 두 매개변수화 함수가 동일한 방향을 가지고 있으면 그 면적분은 동일합니다. 그러나 서로 반대의 방향을 가지고 있다면 적분값은 반대가 됩니다. 따라서 벡터장을 면적분할 때에는 곡면의 방향이 어떻게 주어졌는지 유의해야 합니다.

복잡한 곡면의 경우에는 하나의 함수로 매개변수화할 수 없을 때가 있습니다. 그런 경우에는 곡면을 몇 개의 조각으로 나누어 각각을 매개변수화한 뒤 적분하여 더하는 방법을 취할 수 있습니다. 그러나 이 경우 각 조각을 어떻게 매개변수화했느냐에 따라서 각 조각의 적분값의 부호가 달라질 수 있습니다. 따라서 하나로 붙어 있던 면을 여러 개의 조각으로 나누어 매개변수화할 때에는 방향이 서로 엇갈리지 않도록 매개변수화해야 합니다.

끝으로 방향을 생각할 수 없는 곡면이 있습니다. 예를 들어 뫼비우스의 띠는 곡면 위에서 안쪽과 바깥쪽을 구분할 수 없습니다. 그러한 곡면 위에서는 벡터장의 면적분을 하지 않습니다.

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