선적분 (Line Integral)

By | February 11, 2011

고등학교에서 배우는 적분은 함수 \(f\)가 실직선 \(\mathbb{R}\) 위에서 정의되어 있을 때, \(\mathbb{R}\)의 부분구간 \([a,~b]\)에서 \(f\)를 적분하는 것입니다. 한편 정의역이 \(\mathbb{R} ^2 \)이거나 \(\mathbb{R} ^3 \)인 함수도 적분할 수 있습니다. 그러한 함수를 적분하는 것은 중적분, 선적분, 면적분 등이 있는데 여기서는 선적분에 대하여 설명하고자 합니다.

함수 \(f\)가 \(\mathbb{R} ^3\)에서 정의되었다고 합시다. 그리고 \(\mathbb{R} ^3 \)에 매끄러운 곡선 \(C\)가 있다고 합시다. 그러면 \(C\) 위의 각 점 \(p\)에서 함수 \(f\)의 값 \(f(p)\)를 구할 수 있습니다. 곡선 \(C\)를 길이가 변하지 않게 쫙 펼쳐 놓으면 하나의 선분이 됩니다. 그 선분을 실직선 \(\mathbb{R}\) 위에 올려놓으면 곡선 \(C\)는 하나의 구간이라고 생각할 수 있습니다. 이때 그 구간 위에서 \(f\)를 적분하는 것을 생각할 수 있습니다. 그것은 결국 곡선 \(C\)를 구부리기 전의 상황에서, \(C\) 위에서 \(f\)를 적분하는 것과 같습니다. 이렇게 곡선 위에서 함수를 적분하는 것을 선적분이라고 부릅니다.

선적분은 함수 \(f\)가 스칼라 함수인 경우와 벡터장인 경우로 나누어 생각할 수 있습니다. 복소선적분의 경우에는 \(f\)가 2차원 벡터장인 경우로 생각하면 됩니다. 이제 두 가지 경우로 나누어 선적분의 정의를 살펴봅시다.

스칼라장의 선적분

조각마다 매끄러운(piece-wise smooth) 곡선 \(C\) 위에서 스칼라장 \(f : U \subseteq \mathbb{R}^n → \mathbb{R}\)의 선적분을 다음과 같이 정의합니다. \[ \int_{C} f ~ ds ~=~ \int_{a}^{b} f({\rm r}(t)) | {\rm r}'(t)| ~ dt. \] 여기서 함수 \({\rm r} : [a,~b] ~\to~ C\)는 곡선 \(C\)를 매개변수화한 것입니다. \(f\)는 피적분함수라고 부르고 \(C\)는 적분경로라고 부릅니다. 곡선 \(C\)를 어떻게 매개변수화했느냐에 상관 없이 \( \rm r \)가 조각마다 미분 가능한 일대일대응이기만 하면 위 선적분의 값은 일정합니다.

스칼라장의 선적분이 왜 저렇게 정의되었는지 리만 합(Riemann sum)을 이용하여 설명해봅시다. 먼저 구간 \([a,~b]\)를 길이가 \(\Delta t = \frac{b − a}{n}\)인 \(n\)개의 성분구간들로 나눕니다. 그리고 \(i\)번째 성분구간에서 한 점을 택하여 \(t_i\)라고 합니다. 그러면 \({\rm r}(t_i )\) 는 곡선 위에서 \(i\)번째 점의 위치를 나타내게 됩니다. 곡선 위의 점들을 이으면 곡선 \(C\)에 근접한 다각선이 됩니다. 곡선 위의 점 \({\rm r}(t_{i-1} )\)과 \({\rm r}(t_i )\)가 잇는 조각 선분의 길이를 \(\Delta s_i \)라고 합시다. 그러면 각 점에서의 함숫값 \(f({\rm r}(t_i ))\)와 \(\Delta s_i \)들을 곱한 값에 합과 극한을 취하여, 리만 합의 극한으로서 곡선 위에서의 함수의 적분을 다음과 같이 계산할 수 있습니다. \[ I = \lim_{\Delta t \to 0} \sum _{i=1}^{n} f({\rm r}(t_i )) \Delta s_i .\] 이때 조각 선분의 길이는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. \[ \Delta s_i = | {\rm r} ( t_i + \Delta t ) - {\rm r} (t_i ) | = | {\rm r};(t_i )| \Delta t . \] 이것을 위에서 구한 리만 합에 대입하면 \[ I = \lim_{\Delta t \to 0} \sum_{i=1}^{n} f({\rm r}(t_i )) | {\rm r}'(t_i )| \Delta t \]가 됩니다. 이것은 곧 다음과 같은 리만 적분이 됩니다.

\[I= \int_{a}^{b} f({\rm r}(t)) | {\rm r}'(t)| dt . \]

벡터장의 선적분

벡터장 \({\rm F} : U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \)에 대하여 매끄러운 곡선 \(C \subseteq U \) 위에서 \({\rm r}\) 방향으로의 선적분은 다음과 같이 정의됩니다. \[ \int_{C} {\rm F} ({\rm r}) \cdot d{\rm r} = \int_{a}^{b} {\rm F} ( {\rm r} (t)) \cdot {\rm r}'(t) ~dt . \] 여기서 ·은 내적이며 \({\rm r} : [a,~b] \to C \)는 곡선 \(C\)의 일대일대응인 매개변수화입니다. 정의에 따르면 스칼라장의 선적분은 곡선의 접선방향으로 벡터장을 선적분한 것과 동일합니다.

벡터장의 선적분은 매개변수화 \(\rm r \)에 따라 부호만 바뀔 수 있으며 그 절댓값은 변하지 않습니다. 부호는 매개변수 함수의 방향에 의해 결정됩니다.

벡터장의 선적분이 왜 저렇게 되었는지 유도하는 과정은 스칼라장의 선적분의 정의를 유도하는 것과 거의 비슷합니다. 각 점에서의 함숫값 \(f({\rm r}(t_i ))\)와 \(\rm r \)의 방향벡터를 내적한 뒤 \(\Delta s_i \)들을 곱한 값에 합과 극한을 취하여야 합니다. \(\rm r\)의 방향벡터와 스칼라 \(\Delta s_i\)를 곱한 값은 벡터 \(\Delta s_i\)와 동일합니다. 따라서 다음 등식을 얻습니다. \[ I = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^{n} {\rm F}({\rm r}(t_i )) \cdot \Delta {\rm s}_i . \] 이때 \(\Delta {\rm s}_i\)는 다음과 같이 계산됩니다. \[\Delta {\rm s}_i = {\rm r}(t_i + \Delta t) - {\rm r}(t_i ) = {\rm r}'(t_i )\Delta t . \]따라서 앞의 극한에 위 식을 대입하면 \[I = \lim_{\Delta t \to 0} \sum _{i=1}^{n} {\rm F} ( {\rm r} (t_i )) \cdot {\rm r}'(t_i ) \Delta t \]가 되고, 이것은 바로 리만 적분이 됩니다.

경로에 독립

벡터장 \(\rm F\)가 스칼라장 \(G\)의 그래디언트라고 합시다. 즉 \(\rm F\)가 보존적인 벡터장으로서 \(\nabla G = {\rm F}\)를 만족시킨다고 합시다. 그러면 \(G\)와 \({\rm r}(t)\)의 합성의 미분(derivation)은 \[ \frac{d G ({\rm r}(t))}{dt} = \nabla G ( {\rm r}(t)) \cdot {\rm r}'(t) = {\rm F} ( {\rm r}(t)) \cdot {\rm r}'(t)\]입니다. 이것은 \({\rm r}(t)\) 위에서 \(\rm F\) 의 선적분을 할 때의 피적분함수입니다. 따라서 주어진 곡선 \(C\)에 대하여 다음을 얻습니다. \[ \begin{eqnarray} \int_{C} {\rm F}({\rm r}) \cdot d{\rm r} &=& \int_{a}^{b} {\rm F}({\rm r}(t)) \cdot {\rm r}'(t) ~ dt \\ &=& \int_{a}^{b} \frac{dG ({\rm r}(t))}{dt} dt \\ &=& G({\rm r}(b)) - G({\rm r}(a)) . \end{eqnarray} \]달리 말하면 곡선 \(C\) 위에서 \(\rm F\)의 선적분은 끝점 \({\rm r}(b)\)와 \({\rm r}(a)\)에서의 \(G\)의 함숫값에만 영향을 받습니다. 따라서 선적분값은 곡선의 매개변수화 함수에는 영향을 받지 않고 독립적입니다.

이러한 이유로 보존적 벡터장의 선적분은 '경로에 대하여 독립이다'라고 불립니다.

물리학에서의 응용

선적분은 물리학에서 많이 사용됩니다. 예를 들어 벡터장 \(\rm F\)로 표현되는 힘의 장(field)에서 곡선 \(C\)를 따라서 물체가 운동했을 때 그 물체에 가해진 일의 양은 \(C\) 위에서 \(F\)의 선적분과 같습니다.

복소선적분

선적분은 복소해석학에서의 중요한 도구입니다. \(U\)가 \(\mathbb{C}\)의 열린부분집합이고 \(\gamma : [a,~b] \to U\)가 길이를 잴 수 있는 곡선이라고 합시다. 이때 선적분 \[\int_{\gamma} f(z) ~dz \]는 다음과 같이 정의됩니다 : 구간 \([a,~b]\)를 분할하여 \[a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b\]로 두고 다음과 같은 합을 취합니다. \[\sum_{k=1}^{n} f(\gamma ( t_k ))(\gamma (t_k ) - \gamma ( t_{k-1} )) . \]여기에 각 성분구간의 길이가 \(0\)이 되도록 하는 극한을 취하면 바로 위의 적분이 됩니다.

만약 \(\gamma\)가 연속적으로 미분 가능한 곡선이면, 복소선적분은 다음과 같이 실적분으로 계산할 수 있습니다.\[\int_{\gamma} f(z) dz = \int_{a}^{b} f(\gamma (t)) \gamma'(t) dt. \]만약 \(\gamma\)가 닫힌곡선이면, 즉 시작점과 끝점이 동일하다면, \(\gamma\)를 따른 \(f\)의 선적분을 \[\oint_{\gamma} f(z)dz \]로 표기하기도 합니다.

복소함수의 선적분을 계산하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 함수를 실부와 허부로 나누어 두 개의 실적분으로 나누어 계산하기도 합니다. 한편 코시 적분 공식을 이용하면 영역에서 함수가 해석적이고 그 영역에 속한 닫힌선이 주어졌을 때 그 닫힌곡선 위에서의 함수의 선적분은 \(0\)이 됩니다. 유수 정리(residue theorem)에 의하면 복소선적분을 이용하여 복잡한 실특이적분을 계산할 수도 있습니다.

복소함수의 적분을 계산하는 예

함수 \(f\) 가 \(f(z) = \frac{1}{z}\)로 정의되었고, \(C\) 가 \(0\)을 중심으로 하는 단위원이라고 합시다. 그리고 \(C\) 는 \(t \mapsto e^{it} ,\) \(t \in [0,~ 2 \pi ]\)로 매개변수화되었다고 합시다. 그러면 \(C\)를 따른 \(f\)의 복소선적분은 다음과 같이 계산됩니다. \[ \begin{eqnarray} \oint_{C} f(z) dz &=& \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{e^{it}} i e^{i t} dt \\ &=& i \int_{0}^{2 \pi} e^{- i t} e^{i t} dt \\ &=& i \int_{0}^{2 \pi} dt \\ &=& i ( 2 \pi - 0 ) = 2 \pi i . \end{eqnarray} \]여기서 \(z\) 는 \(r e^{it}\)로 치환되었습니다. 물론 \(r\)는 \(z\)의 절댓값, 즉 모듈러스를 나타냅니다. 단위원에서 모듈러스는 \(1\)로 일정하므로 변수는 각(angle) \(t\)만 남았습니다. 참고로 위 적분은 코시 적분 공식을 이용하여 풀 수도 있습니다.

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