구분구적법으로 구의 부피와 겉넓이 구하기

By | April 8, 2012

지난 글에서 적분을 이용하여 구의 부피와 겉넓이 구하는 공식을 유도하였다. 여기서는 구분구적법을 이용하여 구의 부피와 겉넓이 구하는 공식을 유도해보자. 이 글에서 \(r\)는 구의 반지름을 나타낸다.

구의 부피

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 \(r\)인 사분원을 나타내는 함수는 다음과 같다. \[y=\sqrt{r^2 - x^2} ~~ ( 0 \le x \le r ) \]이 그래프를 \(x\)축을 중심으로 회전하면 아래 그림과 같이 반구가 된다.

이 반구와 평면 \(x=0\)으로 둘러싸인 부분의 부피를 구하여 \(2\)를 곱하면 반지름이 \(r\)인 구의 부피가 된다. \(x\)축 위의 구간 \([0,~r] = \left\{x ~|~ 0 \le x \le r\right\}\)를 길이가 같은 \(n\)개의 소구간으로 나눈 뒤 나누어진 각 구간을 밑변으로 하고 윗쪽 변이 사분원의 윗부분에 닿는 직사각형을 그리면 다음과 같다.

이 직사각형들을 \(x\)축을 중심으로 회전하여 얻은 회전체의 부피를 구하자. \(k\)번째 직사각형의 높이는\[ H_k = \sqrt{r^2 - \left( \frac{(k-1)r}{n} \right)^2} \]이므로 \(k\)번째 원기둥 조각의 부피는 다음과 같이 계산된다. \[ \begin{eqnarray} V_k &=& \pi (H_k )^2 \frac{r}{n} \\ &=& \pi \left\{ \sqrt{ r^2 - \left( \frac{ (k-1)r}{n} \right)^2 } \right\}^2 \frac{r}{n} \\ &=& \frac{\pi r}{n} \left( r^2 - \frac{(k-1)^2 r^2}{n^2} \right) \\ &=& \frac{\pi r^3}{n} ~-~ \frac{n (k-1)^2 r^3}{n^3} \end{eqnarray} \]이러한 원기둥 조각들의 부피를 모두 더하면 다음과 같다. \[ \begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} V_k &=& \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{\pi r^3}{n} - \frac{\pi (k-1)^2 r^3}{n^3} \right) \\ &=& \pi r^3 - \frac{\pi r^3}{n^3} \sum_{k=1}^{n} (k-1)^2 \\ &=& \pi r^3 - \frac{\pi r^3}{n^3} \sum_{k=0}^{n-1} k^2 \\ &=& \pi r^3 - {\pi r^3}{n^3} \cdot \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} \\ &=& \pi r^3 - \frac{\pi r^3}{6} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{2n-1}{n} \end{eqnarray} \]반구를 무한히 많은 원기둥 조각으로 나누어 근사시키기 위하여 \(n\)에 극한을 취하면 다음과 같다.\[\lim _ { n\to \infty} \left( \pi r^3 - \frac{\pi r^3}{6} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{2n-1}{n} \right) = \frac{2}{3} \pi r^3 \]그런데 처음에 직사각형은 사분원의 바깥 쪽 부분까지 포함하고 있으므로 이 극한을 반구의 부피 \(V\)와 비교하면 다음과 같이 된다.

\[V \le \frac{2}{3} \pi r^3 \tag{1} \]

이번에는 직사각형의 윗쪽 변이 사분원의 안쪽에 닿도록 하자.

그러면 \(k\)번째 직사각형의 높이는 다음과 같이 된다. \[ h_k = \sqrt{r^2 - \left( \frac{kr}{n} \right)^2 } \]따라서 \(k\)번째 원기둥 조각의 부피는 다음과 같다. \[ \begin{eqnarray} v_k &=& \pi (h_k )^2 \frac{r}{n} \\ &=& \pi \left\{ \sqrt{ r^2 - \left( \frac{kr}{n} \right)^2 } \right\}^2 \frac{r}{n} \\ &=& \frac{\pi r}{n} \left(t^2 - \frac{k^2 r^2}{n^2} \right) \\ &=& \frac{\pi r^3}{n} ~-~ \frac{\pi k^2 r^3}{n^3} \end{eqnarray} \]앞에서와 마찬가지로 이러한 원기둥 조각들의 부피를 모두 더하면 다음과 같다. \[\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} v_k &=& \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{\pi r^3}{n} ~-~ \frac{\pi k^2 r^3}{n^3} \right) \\ &=& \pi r^3 - \frac{\pi r^3}{n^3} \sum_{k=1}^{n} k^2 \\ &=& \pi r^3 - \frac{\pi r^3}{n^3} \sum_{k=1}^{n} k^2 \\ &=& \pi r^3 - \frac{\pi r^3}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ &=& \pi r^3 - \frac{\pi r^3}{6} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n+1}{n} \end{eqnarray} \]반구를 무한히 많은 원기둥 조각으로 나누어 근사시키기 위하여 \(n\)에 극한을 취하면 다음과 같다. \[\lim_{n\to\infty} \left( \pi r^3 - \frac{\pi r^3}{6} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n+1}{n} \right) = \frac{2}{3} \pi r^3 \]그런데 처음에 직사각형은 사분원의 안쪽 부분만 포함하고 있으므로 이 극한을 반구의 부피 \(V\)와 비교하면 다음과 같이 된다. \[V \ge \frac{2}{3} \pi r^3 \tag{2} \](1)과 (2)를 결합하면 다음과 같은 등식을 얻는다. \[V = \frac{2}{3} \pi r^3 \]구의 부피는 반구의 부피의 두 배이므로 위 값에 \(2\)를 곱하면 다음을 얻는다.

\[2V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

구의 겉넓이

이번에는 구의 겉넓이를 구하자. 반지름이 \(1\)인 구의 겉넓이를 \(S\)라고 하자. 길이의 비가 \(1 : r\)인 두 입체도형의 겉넓이의 비는 \(1 : r^2\)이므로, 반지름이 \(r\)인 구의 겉넓이는 다음과 같다. \[ r^2 S \]반지름의 \(r\)인 구를 양파 껍질을 벗기듯이 반지름을 \(n\)개로 나누면 다음 그림과 같이 된다.

[그림에서는 단면을 보여주기 위해 오른쪽 부분을 잘라냈지만 실제 계산에서는 잘라내지 않은 온전한 모양을 계산할 것이므로 혼동하지 말기 바란다.] 안쪽부터 번호를 매기면 \(k\)번째 조각은 두께가 \(r/n\)인 구껍질이 된다. 이 구껍질을 찢어서 평면 위에 펴두었다고 생각하자.

그러면 이 도형은 높이가 \(r/n\)인 기둥이 된다. 이때 이 기둥의 밑면의 넓이는 구껍질의 안쪽 면의 넓이 이상이 되며 구껍질의 바깥쪽 면의 넓이 이하가 된다. 즉 이 기둥의 밑면의 넓이를 \(V_k\)라고 하면 다음을 얻는다. \[\frac{r}{n} \left( \frac{k-1}{n} r \right)^2 S \le V_k \le \frac{r}{n} \left( \frac{k}{n} \right)^2 S \]각 식을 계산하면 다음을 얻는다. \[ \frac{r^3 (k-1)^2}{n^3} S \le V_k \le \frac{r^3 k^2}{n^3} S \]구껍질은 \(n\)개가 있으므로 부등식의 첫 식을 \(k=1\)일 때부터 \(k=n\)일 때까지 더하면 다음과 같다. \[ \begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} \frac{r^3 (k-1)^2}{n^3} S &=& \frac{r^3 S}{n^3} \sum_{k=1}^{n} (k-1)^2 \\ &=& \frac{r^3 S}{n^3} \cdot \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} \\ &=& \frac{r^3 S}{6} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{2n-1}{n} \end{eqnarray} \]마찬가지로 부등식의 마지막 식을 \(k=1\)일 때부터 \(k=n\)일 때까지 더하면 다음과 같다.\[\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} \frac{r^3 k^2}{n^3} S &=& \frac{r^3 S}{n^3} \sum_{k=1}^{n} k^2 \\ &=& \frac{r^3 S}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ &=& \frac{r^3 S}{6} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n+1}{n} \end{eqnarray}\]반지름이 \(r\)인 구의 부피를 \(V\)라고 하자. [앞에서는 반구의 부피를 \(V\)라고 하였으므로 혼동하지 말기 바란다.] \(V\)는 구껍질들의 부피 \(V_k\)를 모두 더한 것과 같으므로 다음을 얻는다. \[\frac{r^3 S}{6} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{2n-1}{n} \le V \le \frac{r^3 S}{6} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n+1}{n} \]구의 반지름을 무한히 많이 등분한다고 생각하고 \(n\)에 극한을 취하자. \[\lim _ {n\to\infty} \left( \frac{r^3 S}{6} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{2n-1}{n} \right) \le V \le \lim_{n\to\infty} \left(\frac{r^3 S}{6} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n+1}{n} \right) \]극한을 계산하면 다음을 얻는다. \[\frac{r^3}{3} S \le V \le \frac{r^3}{3} S \]따라서 구의 부피는 다음과 같다.\[V = \frac{r^3}{3} S \tag{3} \]그런데 이미 앞에서 다음과 같은 구의 부피 공식을 구하였다.\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \tag{4} \]두 식 (3), (4)를 연립하면 \[\frac{r^3}{3} S = \frac{4}{3} \pi r^3\]이고 이것을 \(S\)에 대하여 풀면 다음을 얻는다. \[S = 4 \pi \]이것은 반지름이 \(1\)인 구의 겉넓이이므로, 반지름이 \(r\)인 구의 겉넓이는 다음과 같다. \[r^2 S = 4 \pi r^2 \]이로써 구의 부피와 겉넓이를 구하였다.

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