귀납과 유추 및 은유

By | October 17, 2010

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추론이란 이미 알고 있는 판단으로부터 새로운 판단을 이끌어 내는 사유 작용이다. 인간은 즉각적인 직관적 인식을 초월하여 명제로부터 명제를 이끌어 내는 간접적인 인식수단인 추론을 통해 보다 풍부한 인식을 한다. 귀납적 논리에 의하면 인간은 개별적이고 구체적인 사실들의 관찰과 실험으로부터 귀납추론에 의해 법칙을 발견하고 지식을 확장한다. 그리고 일반적 원리로부터 연역추론으로 특수한 주장을 정당화하는데, 이러한 입장에서 보면 연역추론에서 사용하는 일반적인 원리는 경험으로부터 얻은 귀납적 추론의 결과이다.

폴리야는 완성된 수학은 연역과학이지만 만들어지고 있는 과정의 수학은 실험적이고 귀납적인 과학이라고 하면서, 발견․발명되는 방식대로 수학을 지도할 것을 강조한다. 그는 수학은 그 독특한 단순성과 명확성 때문에 다른 어떤 교과보다도 귀납적 추론을 경험시키기가 용이하다고 보고 있으며, 귀납적 추론의 효과적인 사용은 실제적인 기능이므로 모방과 실행을 통해서 학습되어야 한다고 보고, 귀납과 유추에 의한 수학의 발견과정에 대한 풍부한 예와 함께 그것을 모방하도록 하기 위한 많은 예와 실행을 위한 기회를 제공하고 있다.

한편 수학과 그 학습 지도에서는 다양한 비유가 사용된다. 표현체계는 수학의 본질적인 부분이며, 은유metaphor와 환유metonymy는 수학적인 아이디어를 표현하고 그 의미를 이해하는 데 큰 도움을 준다.

(1) 귀납

연역추론이 이미 알려져 있는 일반적인 법칙으로부터 개별적인 경우를 함의하는 추론임에 비해 귀납추론은 관찰을 통하여 일반적인 법칙을 창조하므로 지식의 범위를 확장한다. 연역추론은 전제와 결론의 관계가 필연적이지만 귀납추론은 그 관계가 개연적이다. 귀납추론은 관찰된 사실 뒤의 규칙을 찾는 사고과정이며, 그 근거는 다수의 사례에서 관찰되는 법칙이 동종의 다른 사례에서도 성립한다고 보는 자연의 균일성에 두고 있다.

귀납추론은 부분적 사례로부터 일반적 결론을 이끌어 내는 거이므로 경험적․확률적 판단이라고 볼 수 있으며, 항상 참이라고는 할 수 없고 최선의 가정을 제공해 줄 수 있을 뿐이다. 귀납추론의 유형으로는 열거에 의한 귀납, 집단적인 자료에 대한 수량적인 결정을 하는 통계적 귀납, 인과관계를 추정하는 인과적 귀납, 유사성에 미루어 추정하는 유추, 어떤 현상을 설명하기 위한 가설의 설정 등이 있다. 통계적 귀납은 열거에 의한 귀납으로 간주될 수 있으며, 인과적 귀납과 가설의 설정은 과학적 탐구에서 주로 사용된다.

귀납에 의한 오류에는 선입견이나 부주의 등으로 관찰하여야 할 사례를 간과하는 데에서 오는 오류, 착각이나 편견 등으로 인하여 왜곡된 관찰을 하는 데에서 오는 오류, 조급하게 일반화하는 데에서 오는 오류, 검증 없이 사실의 단순한 열거만으로 일반화하려는 오류, 외형상의 유사점만으로 유추하는 데에서 생기는 오류, 원인 오인이나 인과의 상호작용 간과나 인과 전도나 원인과 조건의 혼동 등 인과관계 추정의 오류 등을 생각할 수 있다.

귀납추론은 이와 같은 오류를 범할 가능성이 항상 있음에도 불구하고 인간은 본능적으로 귀납적 추론을 하므로 귀납은 탐구와 발견을 위한 유용한 방법이면서 자연스러운 수학 교수․학습 방법이다. 학교수학에서 사용되는 귀납적 추론에는 당면한 문제를 해결하기 위한 자료를 수집․정리하여 어떤 법칙성을 찾고자 하는 경우와, 구체적인 사례가 관찰될 때 그 가운데에서 어떤 법칙을 발견하는 경우가 있다. 이를테면 중학교 1학년 과정에서 귀납적 추론으로 음수의 정수와 음의 정수의 곱이 양의 정수가 됨을 얻어낼 수 있다. 귀납적 추론으로 발견된 법칙은 수학적 귀납법과 같은 연역적 방법으로 정당화되어야 한다. 그러나 학교 수학에서는 추측된 일반적 성질이 참임을 보다 확실히 하기 위하여 새로운 사례를 검사해보는 것으로 그치는 경우가 많다.

귀납은 몇 가지 예에 대한 충실한 관찰로 시작되므로, 귀납을 용이하게 해주는 적절한 예를 제공해 주는 교수학적 문제가 제기되며, 학생들이 의도된 추측에 이르도록 하고 나아가 발견적 사고습관이 들도록 도와주는 적절한 질문과 권고를 통한 안내를 하는 교육적 문제가 제기되는 바, 이에 대한 폴리야의 연구는 1980년대 이후 오늘날까지 지속되고 있는 문제 해결 교육운동의 이론적 근거가 되어 왔다.

(2) 유추

유비추론類比推論, 곧 유추analogy란 유사성을 바탕으로 어떤 대상에 성립하는 성질로부터 그와 유사한 대상의 성질을 추측하는 것이다. 어떤 종류의 대상이 다른 종류의 대상과 몇 가지 점에서 서로 유사하다는 사실이 확인될 때, 첫 번째 종류의 대상이 그 밖의 다른 특성을 갖고 있으면 두 번째 종류의 대상도 그 성질을 가지고 있을 것이라고 추리하는 것이 유추이다. 유추의 강도는 두 종류의 대상 사이의 관련된 점에서의 유사성에 좌우된다. 유추에 대한 예는 다음과 같은 것들이 있다.

  • 두 삼각형 A, B의 두 변의 끼인각이 같고 두 쌍의 변 6, 9와 12, 18은 대응되는 항의 비가 같다는 점에서 나머지 한 변의 길이의 비도 같을 것이고 닮음일 것이다.
  • 한 볼록사각형 A의 오일러 표수는 1이다. 그리고 볼록다면체 B의 정사영에서 전면과 후면에 대하여 오일러 표수가 각각 1이다. 그래서 볼록다면서 B의 오일러 표수는 2일 것이다.
  • 원 \( x^2 + y^2 = r^2 \)과 타원 \(x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 \)은 모두 단일폐곡선이고 2차 방정식으로 표현된다. 이때, 두 축 위에서 원의 곡률은 \( 1/r \)이고 타원의 곡률은 두 축 위에서 각각 \( a / b^2 , \) \( b / a^2 \)이다. 따라서 원의 면적은 \( r \times r \times \pi = r^2 \pi \)이고 타원의 면적은 \( (a / b^2 )(b / a^2 ) \pi = ab \pi \)일 것이다.
  • 집합 \(A\)와 자연수 집합 \(\mathbb{N}\)에 대하여 \(f : A \to \mathbb{N}\)이 일대일 대응이면 \(A\)는 가부번 집합이다.
  • 직사각형의 넓이로부터 각기둥이나 원기둥의 부피를 추측한다.
  • 딘즈의 자료나 퀴즈네르 색막대를 이용하여 대수적 성질을 추측한다.
  • 연속함수의 개념과 연속인 곡선의 관념
  • 그림으로 표현된 연속인 곡선과 직관적으로 여러 점에서 곡선의 기울기를 나타내는 접선
  • 실수의 연산과 복소수의 연산

유추는 상황 사이의 관계적 성질에 주목하는 것인 바, 패턴이나 법칙을 다루는 수학학습에서 강력한 사고도구가 된다. 구체물이나 그림을 이용하여 수학적 아이디어를 다양하게 표현하는 것은 학생들로 하여금 유추에 의하여 그 이면에 있는 추상적인 개념, 원리, 법칙을 파악하도록 하기 위한 것인 바, 유추는 수학 교수․학습의 기본 바탕이 된다. 훌륭한 유추 모델은 거의 설명을 하지 않고도 많은 정보를 시사하며, 과학적 발견을 고무하고 친근하지 않은 영역에 대하여 새로운 정보를 제공한다. 또한 유추는 논리만으로는 무의미해질 수 있는 개념에 내재적 확실성을 제공해주는 도구가 된다.

폴리야는 수학에서의 ‘위대한 유추’에 대하여 기술하고 있다. 그에 의하면 유추에 대한 기술은 다음과 같은 세 가지 정도로 구분된다.

  • 모델과 원형이 모두 명백한 직관적인 수단을 사용하지 않고 수치적-대수적 기호만을 사용하는 유추로서 복소수의 연산이 그 예이다.
  • 한쪽은 직관적인 기하학 표현이고 다른 한쪽은 기호적인 표현의 유추로서 수직선상에서 실수 구간의 표현이 그 예이다.
  • 수학적 개념을 수학 외적으로 독특하게 물질적인 것으로 표현하는 유추적 모델로서 딘즈의 다진수 블럭이나 퀴즈네르의 색막대와 같은 것이 그 예이다.

수학 외적인 수단이 개재된 유추 모델의 예로서 등호에 대한 행동적 해석을 들 수 있다. 아동들은 등호에 등식의 형식적인 관계적 성질을 부여하는 것이 아니라 입력과 출력 과정이란 행동적 해석을 부여하는 경향이 있다. 이러한 행동적 해석은 등식에 대한 오류의 원천으로 작용하기도 한다. 일반적으로 함수의 그래프에 부여한 암묵적인 그림 모델 때문에 연속인 함수는 직관적으로 각 점에서 미분계수를 가져야 한다. 그러나 바이에르슈트라스 함수는 모든 점에서 연속이지만 미분 불가능한 함수이다.

재미있는 사실은 이와 같은 그림 모델을 통하여 얻어진 오류는 다시 그림 모델을 통하여 개선 또는 반증될 수 있다는 것이다. 급수로 정의된 바이에르슈트라스 함수의 각 항을 늘려가며 그래프를 그림으로써 각 점에서 미분계수를 갖지 않을 것임을 추론할 수 있다. 즉 우리는 수학적인 곡선의 그림 표현을 포기할 필요는 없다. 많은 함수에 대하여 그리고 그들의 많은 성질에 대하여 유추를 계속 사용할 수 있다. 그림 유추의 혼용을 버리려는 시도는 해결하기 어려운 갈등상황을 초래한다. 컴퓨터 그래픽의 발달은 그림 유추의 범위를 확대하는 것을 가능하게 만들고 있다.

종종 유추 모델에서 수학적 표상과 영상적 표상의 혼합에 의하여 어려움이 발생하기도 한다. 이를테면 우리는 한 선분의 기수와 평면상의 점의 기수가 동일함을 연역적으로 증명할 수 있지만, 위치만 존재하고 ‘크기’가 없는 수학적 점과 그의 모델인 ‘눈에 보이는’ 점은 근원적으로 동일한 표상체계가 아니므로, 그러한 것을 이해하는 데에는 장애가 발생한다.

유추는 가설을 생성하는 발견적인 수단으로서, 그리고 직관적으로 접근 가능한 구조를 제공함으로써 연구하고자 하는 원래의 체계와 관련된 어려운 조작이 촉진된다. 이러한 심적 조작의 산물은 원래의 체계로 해석되고 평가될 수 있다. 수학에서의 유추는 어떤 영역 내의 조작이 더 큰 영역으로 유추적으로 확장되는 형식적인 수준에서, 기호적 표현과 보다 직관적인 (기하학적인) 표현 사이에서, 수학적인 구조와 그와 동형인 수학 외적인 구체화 모델 사이에서 발생한다. 유추는 두 체계 사이에 구조적 대응이 가정될 때 오류의 원인이 될 수 있다. 흔히 그러한 오개념은 모델화되는 체계의 형식적인 성질과 의식적으로 혹은 암묵적으로 모델의 직관적인 성질 사이의 양립 불가능성 때문에 일어난다.

(3) 문제해결과 유추

문제를 해결하고자 할 때 주어진 문제보다 좀 더 단순한 유사한 문제를 알고 있다면 우리는 그 유사한 문제의 방법이나 결과를 이용할 수도 있다. 따라서 문제해결과정에서 유추를 위한 발견술이 핵심적으로 다루어져야 한다. 유추를 위한 발견술의 사고 전략으로는 다음과 같은 것들을 들 수 있다.

  • 이 문제와 유사한 것은 없는가?
  • 그와 유사한 방법으로 해결할 수 있지 않을까?
  • 지금까지 알고 있는 것 가운데 유사한 어떤 것을 사용할 수 없을까?

이를테면 직사각형의 대각선의 길이 \( \sqrt{a^2 + b^2 }\)을 구하는 방법으로부터 직육면체의 맞모금의 길이 \( \sqrt {a^2 + b^2 + c^2} \)을 구하는 방법을 생각할 수 있다. 폴리야는 문제해결 전략으로 교사가 문제를 해결하는 학생을 돕는 질문이거나 문제를 해결하는 사람이 자신에게 묻는 자문으로서 다음과 같은 것들을 들고 있다.

  • 친숙한 문제로 미지인 것이 같거나 유사한 문제를 생각해 보아라.
  • 관련된 문제로 전에 풀어 본 일이 있는 문제가 있는가, 그것을 활용할 수 있는가? 그 결과를 활용할 수 있는가? 그 방법을 활용할 수 있는가?
  • 만일 제기된 문제를 풀 수 없다면, 먼저 어느 정도 그와 관련된 문제를 풀어 보아라. 보다 접근하기 쉬운 관련된 문제를 생각해 낼 수 있는가? 유사한 문제는?

수학 문제해결에서의 유추의 주된 역할은 폴리야가 제시한 다음 예에서 잘 드러난다. ‘공간은 일반적인 위치에 있는 5개의 평면에 의해 몇 개의 영역으로 나뉘어지는가?’ 찰흙 덩어리를 칼로 5번 자른 다음 펼쳐놓으면 몇 개의 조각으로 나뉘어질까? 개수를 알아내기가 어려우므로 보다 단순한 유사한 문제를 생각해보자. 1개의 평면은 공간을 2개의 영역으로 나눈다. 일반적 위치에 있는 2개의 평면은 서로 교차하여 공간을 4개의 영역으로 나눈다. 일반적인 위치에 있는 3개의 평면은 공간을 8개의 영역으로 나눈다. 이러한 패턴으로 볼 때 평면의 개수가 n이면 분할된 공간의 개수는 2n이 아닐까? 그러면 n개의 점으로 선분이 몇 개로 분할되는지, n개의 선분으로 평면이 몇 개의 영역으로 분할되는지, n개의 평면으로 공간이 몇 개의 영역으로 분할되는지를 알아보자.

분할 요소의 개수분할된 영역의 개수
공간/평면평면/직선직선/점
0
1
2
3
4
:
n
1
2
4
8
15
:
 
1
2
4
7
11
:
 
1
2
3
4
5
:
n+1

여기에서 다른 패턴을 발견하게 된다.

즉 n개의 분할요소의 개수에 대하여 ‘공간/평면’, ‘평면/직선’의 개수의 합이 n+1개의 분할요소에 대한 ‘공간/평면’의 개수가 된다. 따라서 평면은 일반적인 위치에 있는 n개의 직선에 의해 \[1 + n + \frac{n(n-1)}{2}\]개의 영역으로 나뉘고 공간은 일반적인 위치에 있는 n개의 평면에 의해 \[1 + n + \frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\]개의 영역으로 나뉜다.

(4) 은유

수학에는 ‘교차한다’, ‘교환한다’, ‘접근한다’, ‘접한다’ 등과 같은 일상적인 언어를 사용한 은유적 표현으로 충만해 있다. 우리는 새로운 생각을 표현할 언어가 없는 경우 은유를 사용하게 되며, 은유를 사용하여 경험을 새롭게 조직하여 의미를 창조하기도 한다. 은유를 사용한 설명은 이해에 도움이 되기도 하지만 조절이 불충분할 경우 중요한 점을 놓치기도 한다. 은유는 수학적 사고의 발달에서 ‘인식론적 장애’의 근원이 되기도 한다.

일반적으로 은유는 어떤 이름이나 서술적 용어를 글자 뜻 그대로 적용할 수 없는 대상에 적용하는 것 또는 어떤 경험을 다른 경험과 연결하여 그 관계로부터 의미를 창안하는 것으로, ‘전이’나 ‘이전’을 의미하는 그리스어 metaphora에서 유래된 말이다. 은유는 암묵적인 형태의 유추로 간주될 수 있다. 두 경험을 비교할 때 유추에서는 ‘A는 B와 같다’라고 말하는 데 비해, 은유에서는 ‘A는 B이다’라고 말한다. 어느 경우이건 두 영역의 몇 가지 요소만을 언급하며, 유사한 요소는 비교의 근거가 되고 유사하지 않은 요소는 긴장을 초래한다. 근거와 긴장은 은유의 본질적인 요소이다. 은유에 이전 경험으로 새로운 경험을 구조화하는 특별한 힘이 부여되고 표현의 불가피한 요소인 모호성이 수반되는 것은 이러한 유사성과 비유사성의 동시적인 인식 때문이다. 은유의 힘은 그것이 이미 존재하는 개념으로 새로운 개념의 의미를 이해하는 데 사용된다는 데 있다. 이미지 수준에서의 이해는 기본적으로 은유인 것이다.

수학적 아이디어를 형성하는데 사용되는 은유에는 두 가지 기본적인 형태, 곧 기초 은유grounding metaphor와 연결 은유linking metaphor가 있다. 기초 은유는 수학적 아이디어의 기초를 일상적인 경험에 두게 한다. 예를 들어 산술연산은 사물을 모으고 구성하고 이동하는 것으로 개념화된다. 은유는 추론구조를 보존하므로 사물을 모으고 구성하고 이동하는 것에 대한 추론이 추상적인 산술영역으로 사영된다. 은유는 인지양식을 보존하므로 우리가 친근하게 알고 있고 이해하고 있는 일상적인 영역으로부터 얻은 이미지 양식과 일상적인 세계에 대한 추론을 수학영역에 사영한다. 결국 산술에 대한 우리의 이해는 사물을 모으고 구성하며 이동하는 것과 같은 친근한 이해에 근거하게 된다. 기초 은유가 친근한 경험영역에 기초하여 수학을 이해하도록 허용하는 반면, 연결 은유는 한 분야의 수학을 다른 분야와 관련짓게 한다. 예를 들어, 수를 직선 위의 점으로 은유적으로 이해할 때 우리는 산술과 기하를 연결 지으며, 기하의 지식을 은유를 통해 산술로 사영하게 된다. ‘B는 A이다’라는 형식의 은유적 표현은 비대칭적인 은유적 사상 ‘A → B’이다.

다음은 역사적으로 발생하였거나 또는 학교 현장에서의 교수의 방법으로 알려진 은유의 몇 가지 보기이다.

  • 집합론의 은유 : 집합을 그릇에 비유하는 용기 스키마 은유, 집합을 대상으로 보아서 집합이 다른 집합의 원소가 되는 것이 가능해지는 대상 은유, 두 집합에 일대일 대응을 이용하여 기수 개념을 도입한 칸토르의 은유.
  • 함수의 은유 : 투입 대상으로부터 산출 대상을 구성하는 기계 즉 산술 알고리즘으로서의 은유, 집합 사이의 대응 은유, 순서쌍 집합으로서의 은유.
  • 데카르트의 평면의 은유적 구조 : 좌표평면을 도입함으로써 기화와 대수가 개념적으로 혼합되어 은유적으로 ‘점인 수’들의 모임인 좌표평면으로서의 은유.
  • 연속함수의 은유 : ‘손을 자유롭게 움직여 그려지는 하나의 곡선’이라는 오일러의 은유, ‘한 여행자가 한 직선을 따라 무한히 갔을 때 그는 무한 점에 더 가까이 간다’는 은유, ‘x가 a에 가까이 다가갈 때 f(x)가 f(a)에 가까이 다가간다’는 직관적 극한으로서의 은유.

이러한 은유는 시간이 흐름에 따라 다른 은유로 대체되기도 하고 두 가지 이상의 은유가 상황에 따라서 병렬적으로 사용되기도 한다. 이를테면 곡선이나 평면을 개념화하는 데는 자연적 연속체로 보는 방법과 점의 집합으로 보는 두 가지 방법이 있다. 칸토르는 집합론에 수학의 기초를 세우기 위하여 모든 것을 점의 집합으로 볼 것을 요구하였고 바이에르슈트라스는 그의 극한과 연속성의 개념의 산술화에서 이러한 점의 집합으로서의 곡선, 집합으로서의 수, 점으로서의 수라는 은유를 결합하여 결국 ‘ε-δ’의 방법으로 극한을 정의하게 되었다. 이것은 연속함수의 근접성 보존 개념을 순수하게 정적이고 이산적인 용어로 재개념화한 것이다.

수학은 궁극적으로 인간의 두뇌와 경험에 바탕을 두고 있고, 형식적인 기법과 형식적인 증명은 수학적 아이디어를 표현하는 한에서 흥미롭다. 기본적인 수학적 개념은 일상적인 경험에 은유적으로 기초하고 있으며 일상적인 개념체계를 사용한다. 따라서 학생들이 수학을 그 아이디어로 이해하도록 해야 하며 매우 많은 수학적 아이디어가 은유적인 것이므로 수학교육은 필연적으로 수학의 그러한 은유적인 구조를 가르쳐야 한다.

참고문헌

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