(f(x) + f'(x)) → A 이면 f(x) → A 이다.

By | October 13, 2016

G. H. Hardy 교수님의 책 『A Course of Pure Mathematics』 6장 Derivatives and Integrals 마지막 절 Miscellaneous Examples에는 다음과 같은 문제가 실려 있다(36번).

If \(\phi(x) + \phi ' (x) \to a \) as \(x \to \infty\), then \(\phi (x) \to a \).

이 문제를 흔히 Hardy의 문제(Hardy's old problem)라고 부른다. 여기서는 Hardy의 문제의 해설을 살펴보자. Hardy의 문제를 정확하게 다시 진술하면 다음과 같다.

Hardy's Old Problem

\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 미분 가능한 함수이고 \(A\)가 실수이며 \[\lim _{x \to \infty} (f(x) + f ' (x)) = A\] 라고 하자. 이때 \[\lim _{x \to \infty} f(x) = A\] 임을 증명하여라.

\(g(x) := f(x) -A \)라고 하자. 그러면 \[\lim _ {x \to \infty} (g(x) + g ' (x)) = \lim_{x \to \infty} (f(x) - A + f ' (x)) =0 \tag{1} \] 이다. \[D := \left\{ x \in \mathbb{R} ~|~ g ' (x) =0 \right\}\] 이라고 하자. 이제 몇 가지 경우로 나누어 증명하자.

(i) \(D\)가 공집합이거나 위로 유계인 경우.

실수 \(X\)가 존재하여 \(x > X\)일 때마다 \(g ' (x) \ne 0\)이다. 그러면 \(g ' \)은 \((X ,~ \infty)\)에서 양수인 값만 갖거나 음수인 값만 가진다. 만약 \(g ' \)이 \((X,~\infty )\)에서 양수인 값과 음수인 값을 모두 가진다면 도함수의 중간값 성질(Darboux의 정리)에 의하여 \((X,~\infty )\)에서 \(g ' (x)=0\)이 되는 점이 존재하기 때문이다.

\((X,~\infty )\)에서 \(g ' \)이 양수인 값만 가진다면 \(( X ,~ \infty )\)에서 \(g\)는 증가함수이므로 단조수렴 정리에 의하여 \(x \to \infty \)일 때 \(g(x)\)는 실수에 수렴하거나 양의 무한대로 발산한다.

  • \(x \to \infty \)일 때 \(g(x)\)가 양의 무한대로 발산한다면 (1)에 의하여 \(g ' (x) \)는 음의 무한대로 발산하므로 모순이다.
  • \(x \to \infty \)일 때 \(g(x)\)가 양의 실수에 수렴한다면 (1)에 의하여 \(g ' (x)\)는 음의 실수에 수렴해야 하므로 모순이다.
  • \(x \to \infty \)일 때 \(g(x)\)가 음의 실수에 수렴한다면 (1)에 의하여 \(g ' (x)\)는 양의 실수에 수렴해야 한다. 그런데 \(g ' (x)\)가 양의 실수에 수렴하면 \( g(x) \)는 양의 무한대로 발산하게 되므로 모순이다.

따라서 \(x \to \infty \)일 때 \(g(x)\)는 \(0\)에 수렴한다. \((X ,~ \infty )\)에서 \(g ' \)이 음수인 값만 갖는 경우에도 마찬가지로 \(g(x)\)는 \(0\)에 수렴한다.

(ii) \(D\)가 위로 유계가 아닌 경우.

\(g\)가 미분 가능한 함수이므로 \(g\)가 극값을 갖는 점은 모두 \(D\)에 속한다. 이제 \(D\)의 점 중에서 \(g\)가 극값을 갖는 점의 집합을 \(E\)라고 하자.

\(E\)가 실수 \(Y\)에 의하여 위로 유계라면 \(y > Y\)일 때 \(g(y)\)는 단조증가하거나 단조감소한다. \(g\)가 단조함수이면서 \(0\)에 수렴하지 않는다면 (i)과 같은 논법에 의하여 모순이 유도되므로, \(g\)가 단조함수라면 \(0\)에 수렴할 수밖에 없다.

이제 \(E\)가 위로 유계가 아닌 경우를 살펴보자.

양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \[\lim_{\substack{y\to\infty \\ y\in E}} g(y) ~=~ \lim_{\substack{y\to\infty \\ y\in E}} (g(y) + g ' (y)) ~ = ~ 0 \] 이므로 실수 \(X\)가 존재하여 \(y > X ,\) \(y \in E\)일 때마다 \[\left| g(y) \right| < \frac{\epsilon}{2} \] 이 성립한다. \[m := \mathrm{s u p} \left\{ |g(y)| ~|~ y > X ,~ y \in E \right\} \] 라고 하면 \[m \le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \] 이다. 그런데 \(g\)가 극값을 갖는 점은 모두 \(E\)에 속하고, \(E\)는 위로 유계가 아니므로 \(x > X \)인 임의의 \(x\)에 대하여 \(y \in E\)가 존재하여 \[\left| g(x) \right| \le \left| g(y) \right| ,~~ y > X \] 를 만족시킨다. 이때 \[ \left| g(x) \right| \le \left| g(y) \right| \le m < \epsilon \] 이다. 그러므로 \(x \to \infty\)일 때 \( g(x) \to 0 \)이다.

두 가지 경우 모두 \( g(x) \to 0\)이므로 \(f(x) \to A \)이다.

Hardy의 문제를 푸는 과정에서 다음과 같은 등식을 사용하기도 한다. \[\lim _ {x \to \infty} f(x) ~=~ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x f(x)}{e^x} ~=~ \lim_{x\to \infty} \frac{e^x (f(x) + f ' (x))}{e^x} = A \tag{2} \] 위 등식에서 l'Hôpital의 법칙이 사용되었다. 그러나 이 등식만으로는 \(x \to \infty\)일 때 \(f(x)\)가 수렴한다는 것을 보장할 수 없으므로, \(f(x)\)가 수렴한다는 조건이 있을 때에만 위 등식을 사용할 수 있다.

PS. 분명 증명의 길이를 줄일 수 있을 것 같은데 잘 되지 않는다. 나의 실력이 아직 부족하다는 뜻이겠지.

Leave a Reply