수열 {sin(n)}의 상극한이 1임을 기하학적 방법으로 증명하기

By | January 16, 2013

수열 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 상극한이 1임을 증명하는 방법은 여러 가지가 있고, 그중 많은 방법이 정수론의 정리를 사용한다. 여기서는 정수론의 방법을 사용하지 않고 기하학적인 방법을 사용하여 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 상극한이 1임을 증명한다. 또한 증명의 결과로서 닫힌구간 \([-1,~1]\)의 모든 점이 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 집적점이 된다는 결론을 얻는다.

보조정리 1. \(n\)이 자연수일 때 \(n ~ \mapsto ~ \sin n \)은 일대일 함수이다.

증명. 만약 주어진 함수가 일대일 함수가 아니라면 \( \sin m = \sin n ,\) \(m > n\)인 자연수 \(m,\) \(n\)이 존재한다. 이것은

\(m = n + 2 \pi k\)  또는  \(m + n = (2k+1) \pi \)

인 자연수 \(k\)가 존재한다는 것을 의미한다. 그런데 \(\pi\)는 무리수이므로 이것은 모순이다.

보조정리 2. 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \( \sin n > 1 - \epsilon\) 을 만족시키는 자연수 \(n\)이 존재한다.

증명. \(\epsilon \ge 1\)인 경우에는 당연히 성립하므로, \(0 < \epsilon < 1\)이라고 하자. 그러면 좌표평면에서 단위원 \(x^2 + y^2 = 1\)과 직선 \(y = 1 - \epsilon\)은 서로 다른 두 점에서 만난다.

만나는 두 점 중 제 1 사분면에 있는 것을 \(\rm A\)라고 하고, 제 2 사분면에 있는 것을 \(\rm B\)라고 하자. 그러면 호 \(\rm A B\)의 길이는 양수이다.

한편 보조정리 1에 의하여 집합\[P = \left\{ ( \cos k , ~\sin k ) ~|~ k \in \mathbb{N}\right\}\]은 단위원 위의 점들로 구성된 무한집합이므로 집적점을 가진다. 그 집적점 중 하나를 \(\rm E\)라고 하자. 집적점의 정의에 의하여

(호 \(\rm C D\)의 길이) < (호 \(\rm A B\)의 길이)

를 만족시키고 \(P\)에 속하는 서로 다른 두 점 \( \rm C ,\) \( \rm D\)가 \( \rm E\)의 주변에 존재한다.

그런데 \( \rm C ,\) \( \rm D\)는 \(P\)의 원소이므로 \[{\rm C} = ( \cos p ,~ \sin p ) ,~~ {\rm D} = ( \cos q ,~ \sin q )\]인 자연수 \(p,\) \(q\)가 존재한다. 이것은 원 위의 고정된 한 점을 원점을 중심으로 \(p\)만큼 회전시킨 점과 \(q\)만큼 회전시킨 점을 끝점으로 하는 호의 길이가 호 \(\rm A B\)의 길이보다 짧다는 것을 의미한다. (여기서 \(p\)와 \(q\)의 단위는 라디안이다.) 이것은 또한 점 \((1,~0)\)과 이 점을 \( | p - q |\)만큼 회전시킨 점을 끝점으로 하는 호의 길이가 호 \(\rm A B\)의 길이보다 짧다는 것을 의미한다.

따라서 점 \((1,~0)\)을 \(|p-q|\)만큼 회전시키는 변환을 반복하여 계속하다 보면 회전시킨 점이 호 \(\rm A B\)의 안쪽에 놓이게 되는 순간이 존재한다. 왜냐하면 점이 한 번 회전될 때마다 호 \(\rm A B\)의 길이보다 더 짧은 길이만큼 호를 따라 움직이기 때문이다. 점이 호 \(\rm A B\)의 안쪽에 놓이게 된 때의 점의 위치를 \( ( \cos n ,~ \sin n )\)이라고 하자. \(|p-q|\)는 자연수이고 \(n\)은 \(|p-q|\)의 자연수배이므로 \(n\)도 자연수이다. 이때 점 \( ( \cos n , ~ \sin n )\)은 \(\rm A,\) \(\rm B\)보다 위쪽에 있으므로 \(\sin n > 1 - \epsilon\)이 성립한다.

보조정리 3. 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(\sin n > 1 - \epsilon\)을 만족시키는 자연수 \(n\)이 무한히 많이 존재한다.

증명. 결론과 반대로 적당한 양수 \(\epsilon\)이 존재하여 \(\sin n > 1 - \epsilon\)인 자연수 \(n\)의 개수가 유한이 된다고 하자. 그러한 자연수 \(n\) 중에서 \(\sin n\)의 값이 가장 커지는 것을 택하여 \(m\)이라고 하자. (그러한 자연수의 개수가 유한이므로 \(\sin n\)이 가장 커지는 것을 택할 수 있다.) \(\sin m < 1\) 이므로 \(r = 1 - \sin m\)은 양수이다. 보조정리 2에 의하여 \(\sin n > 1 - r\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. 이것은 \(\sin n > \sin m\)을 의미하므로 모순이다.

정리 1. 수열 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 상극한은 1이다.

증명. \(\epsilon_k = \frac{1}{k}\)이라고 하자. 먼저 보조정리 2에 의하여 \(\sin n_1 > 1 - \epsilon_1\)을 만족시키는 자연수 \(n_1\)이 존재한다. 다음으로 보조정리 3에 의하여 \(\sin n > 1 - \epsilon_2\)를 만족시키는 자연수 \(n\)의 개수가 무한이므로 그러한 자연수 중에서 \(n_1\)보다 더 큰 자연수 \(n_2\)가 존재한다. 즉 \(n_2 > n_1 \)이면서 \(\sin n_2 > 1 - \epsilon_2\)인 자연수 \(n_2\)가 존재한다.

이제 자연수 \(n_k\)에 대하여 \(\sin n_k > 1 - \epsilon_k\)가 성립한다고 가정하자. 그러면 보조정리 3에 의하여 \(\sin n > 1 - \epsilon_{k+1}\) 인 자연수 \(n\)의 개수가 무한이므로 그러한 자연수 중에서 \(n_k\)보다 더 큰 자연수 \(n_{k+1}\)이 존재한다. 즉 \(n_{k+1} > n_k\)이면서 \(\sin n_{k+1} > 1 - \epsilon_{k+1}\)인 자연수 \(n_{k+1}\)이 존재한다. 이로써 증가하는 자연수열 \(\left\{ n_k \right\}\)가 귀납적으로 정의되었으며, 임의의 \(k\)에 대하여 \[\sin n_k > 1 - \epsilon_k\]가 성립한다. 이때 \(\left\{ \sin n_k \right\}\)는 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 부분수열이고 \[1 = \lim_{k\to\infty} (1 - \epsilon_k ) \le \lim_{k\to\infty} \sin n_k \le 1\]이므로 \(\left\{ \sin n_k \right\}\)는 \(1\)에 수렴한다. 즉 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 부분수열이 \(1\)에 수렴하므로 \(1\)은 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 집적점이다. 그런데 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 모든 항은 \(1\) 미만이므로 \(1\)은 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 상극한이다.

보조정리 4. 좌표평면에서 집합 \[P = \left\{ ( \cos k ,~\sin k ) ~|~ k \in \mathbb{N} \right\}\]의 집적점들의 모임은 단위원 \(x^2 + y^2 = 1\) 위의 모든 점이다.

증명. 보조정리 2의 증명과정에서 단위원 위의 길이가 양수인 호 위에 항상 집합 \(P\)의 점이 존재함을 알 수 있다. 따라서 단위원 위의 모든 점은 \(P\)의 집적점이다.

정리 2. 수열 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 집적점들의 모임은 \([-1,~1]\)이다. 즉 \(-1 \le L \le 1\)인 임의의 실수 \(L\)에 대하여 \(L\)에 수렴하는 \(\left\{\sin n \right\}\)의 부분수열이 존재한다.

증명. \(-1 < L < 1\)인 실수 \(L\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 \(\sin r = L\)이 되는 양수 \(r\)를 택하자. \(( \cos r,~ \sin r)\)는 보조정리 4의 집합 \(P\)의 집적점이므로, 증가하는 자연수열 \(\left\{n_k \right\}\)가 존재하여 \(k\to\infty\)일 때 \( ( \cos r ,~ \sin r)\)와 \( (\cos n_k ,~ \sin n_k )\) 사이의 거리가 \(0\)에 수렴한다. 이때 수열 \(\left\{ \sin n_k \right\}\)는 \(\sin r\)에 수렴하므로 \(L\)은 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 집적점이다.

또한 정리 1에 의하여 \(1\)은 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 집적점이며, 정리 1과 같은 방법으로 \(-1\)도 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 집적점임을 알 수 있다.

Proved by Shin, January 16, 2013.

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