역사 발생적 원리

By | February 28, 2011

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발생적 원리란 발달의 개념을 수학교육학의 중심에 놓고 수학의 학습․지도의 문제를 발달에 대한 어떤 해석에 따라 구상하려는 것이다. 즉 수학을 ‘발생된 것’으로 파악하고 그 ‘발생’을 학습과정에서 재성취하게 하려는 것이다.

(1) 수학의 역사적 발생

음수는 기원 후 600년경에 실제적인 정신의 소유자였던 인도인에 의하여 도입되었으나, 직관적인 뒷받침이 결여되었다는 이유로 천 년 동안 수학자들에게 수용되지 못하였으며 데카르트나 페르마와 같은 대수학자들조차 음수를 다루기를 거부하였다. 또한 복소수의 기하학적 표현을 발견한 가우스는 ‘이로써 루트 -1의 직관적인 의미가 완전하게 뒷받침되었으므로 복소수를 산술의 대상으로 받아들이는 데 부족함이 없다’고 말하였다. 이렇듯 오늘날 연역적으로 구성된 수학 이론의 토대가 되는 발견을 주도한 위대한 수학자들조차도 사고의 기초를 직관에 둔 것이다. 미적분은 무한소에 대한 모호한 개념 때문에 많은 공격을 받았지만, 불명확한 직관적인 기초 위에서도 연구를 계속하여 적절한 연역적 구조가 창안되기 전에 풍부한 결실을 맺었다. 수학자들은 물리적인 근거, 그림, 간단한 몇 가지 경우를 바탕으로 한 일반화, 경험적 판단 등 직관적 사고를 바탕으로 바른 결론을 이끌어 내었다. 논리적인 기초가 19세기 후반까지 확립되지 않았다는 점만 보아도 위대한 수학자의 직관이 논리보다 더 값지고 강력하다는 사실은 부인할 수 없다.

미적분학 발달 초기에 여러 가지 성질은 간단한 함수에 대한 증거나 그 성질로부터 얻어진 물리적 증거를 근거로 수용되었으며 그 다음에 그 논리적 기초를 세우는 작업이 시작되었다. 수학에서 논리는 그렇게 수용된 성질을 정당화하기 위한 것이었으며, 그 결과 매우 복잡한 인공적인 공리체계를 구성하였다. 유용성이 논리적 접근을 결정하며 그 반대가 아니라는 사실은 수학에서 매우 기본적인 것이다. 수학의 논리적 조작은 이차적인 것이며 도금과 같은 것이다. 처음부터 곱셈의 교환법칙이 공리이므로 3×4 = 4×3인 것이 아니며, 경험에 따르면 3×4 = 4×3이므로 교환법칙을 공리로 받아들이는 것이다.

수학의 논리적 접근은 수학의 발달에 대한 완전히 잘못된 인상을 학생들에게 준다. 논리적 접근은 학생들에게 수학이 공리로부터 출발하여 곧바로 정리를 이끌어내는 천재들에 의해 창안된 것으로 믿게 함으로써 학생을 속이는 결과가 된다. 수학의 연구는 엄밀한 연역적 방식으로 이루어지지 않으며, 근본적이고 상상력을 이용하는 발견적 수단을 통해 귀납적으로 이루어진다. 수학이 논리에 의해 획득되는 것처럼 연역적 접근을 지도하는 것은 지적으로 정직하지 못한 것이다.

역사적으로 보면 중요한 수학적 개념이나 연산이나 정리 등은 현실적인 상황에 의해서 암시되었으며, 수학은 실제 세계에 대한 경험으로부터 발생하였다. 수학은 실세계를 이해하고 정복하는 데 현저한 도움을 주기 때문에 존재하고 강력하게 요구되는 것이며, 수학이 응용되지 않았다면 오늘날과 같이 발전하지 않았을 것이고 학교 교육과정에서도 강조되지 않았을 것이다. 초등수학은 실제적인 상황으로부터 발생하였으므로 그와 대등한 실제 상황을 이용하여 수학에 의미를 부여하고 학습동기를 유발할 수 있을 것이다.

(2) 역사 발생적 원리의 대두와 발견

중세 스콜라 철학의 명상적이고 권위주의적인 세계관이 퇴조하고 인식과정에서의 주체의 활동적이고 구성적인 역할을 인식하게 되고 실학사상이 등장하게 되면서 제기된 것이 발생적 원리이다. 그러한 사상을 대표하는 초기의 인물은 라무스, 베이컨, 데카르트 등이다. 이들은 유클리드의 원론에 대한 해석과 그 위에 건설된 수학에 대한 접근법에 대하여 철학적․방법론적․교육적 관점에서 강력한 비판을 하였으며, 대안적인 해석과 접근법으로 발생적 관점을 주장하였다. 원론의 주된 전개방식 즉 삼단논법에서 결여된 것은 새로운 지식을 발견하는 발견술적 도구라고 비판하고, 기존의 지식을 확립하고 정당화하는 동시에 새로운 진리를 발견하는 보편적 방법을 찾고자 하였다.

클레로의 기하 교과서 기하학 원론Elémens de géometrie은 내용과 학습활동을 조직하는 데 수학적 역사적 발달을 지표로 사용한 최초의 교과서이다. 클레로는 공리나 일반적인 원리로부터 기하학을 시작하는 것은 무미건조함을 역설하였으며, 당시의 기하학서가 필요불가결하다고 여겨지는 많은 명제를 최초에 한꺼번에 언급하고 후에 응용을 논의하는 것은 추상적인 명제를 앞세우고 감각적․구체적인 것을 뒤에 세우는 것이라고 비난하였다. 그는 기하학의 학습은 필연적으로 발생적 방법에 의할 수밖에 없음을 역설하고, 그렇게 함으로써만이 탐구적이고 발견적인 정신의 개발이 가능하게 되며, 그를 위하여 직관을 중시하고 논리의 편중을 피해야 한다고 보았다.

발생적 원리가 ‘역사 발생적 방법’이란 일반적인 교수학적 구상으로 명확히 드러난 것은 19세기에 들어와 린드너에 의해서이다. 그는 발생된 순서에 따라 학문을 지도해야 한다고 보고 수학을 제일 먼저 지도해야 한다는 흥미로운 주장을 하였다. 발생적 원리에 입각한 학교교육의 포괄적인 구상이 메이거에 의해 19세기 중엽에 이루어졌다. 그는 교과서는 학문의 발달에서의 중요한 과학자의 오리지널한 기여를 인쇄한 집성이어야 한다고 하면서 원전의 연구를 권장하였다. 그리고 경험분석적 지도방법과 유클리드적인 종합적 지도방법을 비판하고 그 두 가지 방법의 단점을 극복한 방법이 발생적 방법이라고 주장하였다. 한편 독일의 클라인은 중등학교 교사를 위한 강좌 가운데서 지도내용의 제시가 역사 발생적 원리를 바탕으로 이루어져야 한다고 주장하였다.

1963년에 토에플리츠는 수학의 진정한 이해는 수학적 사실의 단순한 전달을 통해서는 달성될 수 없으며, ‘관점’의 전달, 곧 수학과 그 방법의 특성에 대한 올바른 파악을 통해서만 가능하다고 보았다. 교사는 대학에서 그러한 관점을 획득해야 하며, 본질적인 것은 지식 자체가 아니라 그 관점이라고 보고 이를 터득시키기 위한 수단으로서 ‘간접적인 발생적 방법’을 제기하였다. 토에플리츠에게는 수학의 역사가 문제가 아니라 문제, 사실 및 그 증명의 발생이 문제이며, 이러한 발생의 결정적인 방향전환이 문제이다. 그는 발생적 방법에 의한 지도가 고등학교에서 가르쳐지는 수하과 대학과정의 수학 사이의 다리를 놓는 데 가장 적합하다고 확신하고 발생적 원리에 따른 무한소 계산에 관한 교과서 집필을 구상하였다.

제 2차 세계대전 후 발생적 원리의 재출현은 구조수학을 바탕으로 한 1960년대의 수학교육과정 개선운동과 밀접히 관련되어 있다. 1962년에 미국의 클라인, 폴리아 등 95명의 수학자가들은, 과고에는 교육체게자 직업적인 교육학자들에게 지배되어 교육의 내용이 희생되고 교육학적인 이론이 강조되었던 데 비해, ‘새 수학’에서는 수학자들이 교육학을 희생시키고 내용을 강조하고 있다고 비난하며, 그 대안으로 역사 발생적 방법을 요구하였다. 학생 개인의 정신발달을 안내하는 가장 좋은 방법은 종족의 정신발달, 물론 수많은 세세한 오류가 아닌 그 커다란 자취를 되밟도록 하는 것이라고 하면서, 순전히 형식적인 접근보다 발생적 원리를 따르는 것이 보다 큰 성공을 기대할 수 있다고 주장한다. 한편 라카토스는 오일러의 다면체 정리의 추측에 대한 폴리아의 논의에 덧붙여, 그 역사적 발달과정에 대한 면밀한 분석을 통하여 소위 증명과 반박을 통한 추측의 개선과 새로운 개념의 발견이란 수학적 발견의 논리를 대화식으로 전개하였다.

(3) 역사 발생적 원리에 따른 교재 구성

삼각형의 내각의 합이 180˚임을 지도하는 데에 있어서 유클리드는 평행선과 동위각을 이용한 종합적 방법을 사용한다.

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그러나 클레로는 역사발생적 근원을 고려하여 지도하였다.

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즉 각 C가 작아질 때 손실되는 만큼 각 B에서 채워지는 것을 눈으로 보고 납득하게 한다.

다음에는 토매시스(1993)가 역사 발생적 원리에 따리 시도한 로그 개념의 교재 구성을 살펴보자. 먼저 등차수열과 등비수열의 관계를 파악한다.

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이 수표에서 등차수열의 각 항은 그와 대응되는 등비수열의 합인 2의 거듭제곱의 지수와 일치하며 따라서 각 등비수열의 두 항의 곱과 몫은 각각 등차수열의 대응되는 항의 합과 차에 대응된다. 이를테면 다음과 같다.

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그리고 등비수열의 항의 거듭제곱 및 거듭제곱근과 등차수열의 대응되는 항 사이에도 각각 다음과 같은 대응관계가 성립한다.

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위의 관찰로부터 다음과 같이 일반화할 수 있다.

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l(bn) = na라고 두면 x, y를 b의 거듭제곱이라 할 때

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을 얻는다.

(4) 형식 불역의 원리

기존의 체계에서 안정된 성질이 유지되도록 체계를 확장하는 것을 형식 불역의 원리라고 한다. 형식 불역의 원리는 주로 대수 구조의 확장에서 사용되기 때문에 프로이덴탈은 이를 ‘대수적 원리’라고까지 부르고 있다.

형식 불역의 원리에 따라 자연수 지수를 정수 지수로 확장할 수 있다. a≠0이고 m, n이 자연수일 때의 지수법칙 am an = am+n이 m=1, n=0일 때에도 성립한다고 보면 a1 a0 = a1+0 = a이므로 자연스럽게 a0 = 1을 얻는다. 또 위의 지수법칙이 n=-m일 때에도 성립한다고 보면 am an = an-n = a0 = 1이므로\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]을 얻는다. 같은 방법으로 지수를 유리수까지 확장할 수 있다.

이번에는 형식 불역의 원리에 따라 음수의 정의로부터 그 계산방법을 이끌어 내자. 음수의 정의에 따라 (-3)+3=0이고 여기서 양변을 더하고 결합법칙을 적용하면 {(-3)+(-4)}+(3+4)=0이므로 (-3)+(-4)=-(3+4)를 얻는다. 그리고 이 식의 양변에 각각 4, -3을 곱하여 분배법칙을 적용하면

4×(-3)+4×3 = 0
(-3)×(-4)+(-3)×4 = 0

이고 곱셈의 교환법칙에 의해

-{4×(-3)} = 4×3
-{4×(-3)} = (-3)×(-4)

이므로 (-3)×(-4)=3×4를 얻는다.

참고문헌

  • 김남희 외 5인, 수학교육과정과 교재연구, 경문사, 2008.
  • 김양희, 수학교육론 특강, 경문사, 2005.
  • 김진, 수학교육론, 현대고시사, 2005.
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  • 우정호 외 2인, 수학교육학개론, 서울대학교출판부, 2003.
  • 우정호, 수학 학습-지도 원리와 방법, 서울대학교출판부, 2005.
  • 우정호, 학교 수학의 교육적 기초, 서울대학교출판부, 2005.
  • 황혜정 외 5인, 수학교육학신론, 문음사, 2004.
  • Richard Skemp, 황우형 옮김, 수학학습심리학, 사이언스북스, 2001.

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