도함수가 자기 자신과 같은 함수

By | July 23, 2017

지수함수 \(y = e^x\)의 도함수를 구하면 \(y ' =e^x\)으로서 도함수가 자기 자신과 같다. 그렇다면 도함수가 자기 자신과 같은 함수는 이 외에 어떤 것이 있을까?

\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 임의의 실수에 대하여 미분 가능하고 \[f ' (x) = f(x) \tag{1}\] 를 만족시키는 함수라고 하자. 이 식의 양변에 \(e^{-x}\)을 곱하고 우변을 좌변으로 이항하면 다음을 얻는다. \[e^{-x} f ' (x) - e^{-x} f(x) = 0 \tag{2}\] 이 식의 좌변은 \(e^{-x} f(x)\)의 도함수와 같다. 즉 (2)는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ \frac{d}{dx} e^{-x} f (x) = 0 \tag{3}\] 그러므로 적당한 상수 \(k\)가 존재하여 다음을 만족시킨다. \[ e^{-x} f(x) = k \] 이것을 풀면 \[f(x) = k e^x\] 을 얻는다. 이로써 다음 결론을 얻는다.

정리. 도함수가 자기 자신과 같은 실함수는 \(f(x) = ke^x\)의 꼴이다. 단, 여기서 \(k\)는 상수이다.

여기까지만 살펴보고 마치기에는 섭섭하므로 이 문제의 풀이 과정을 일반화해보자. 이 문제는 사실 1계 선형미분방정식을 푸는 문제이다. 즉 \[\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \tag{4}\] 와 같은 꼴의 미분방정식을 1계 선형미분방정식이라고 부른다.

앞에서 (1)을 풀기 위해 양변에 \(e^{-x}\)을 곱하였다. 이와 같이 (4)에서 \(f(x)\)를 구하기 위하여 양변에 적당한 함수를 곱하는 방법을 사용할 수 있는데, 이때 곱하는 함수를 적분인자(integrating factor)라고 부른다.

적절한 적분인자 \(v(x)\)가 주어졌다고 가정하고 (4)를 풀어보자. (4)의 양변에 \(v(x)\)를 곱하면 다음을 얻는다. \[ v(x) \frac{dy}{dx} + P(x) v(x) y = v(x) Q(x) \tag{5}\] 여기서 잠시 (2)에서 (3)으로 넘어가는 과정을 살펴보자. (2)에서 \(e^{-x} f ' (x) - e^{-x} f(x)\)가 \(e^{-x} f(x)\)의 도함수와 같으므로 (3)을 얻을 수 있었다. 이와 같은 관점에서 만약 (5)의 좌변이 두 함수 \(v\)와 \(y\)의 곱 \(v y\)를 미분한 것과 같다면, 즉 \[ v \frac{dy}{dx} + Pvy = \frac{d}{dx} (vy) \tag{6}\] 가 성립한다면 (5)는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[\frac{d}{dx} (v(x) \cdot y) = v(x) Q(x) \tag{7}\] 일단 (7)과 같은 꼴을 얻었다고 생각하고 (7)의 양변의 부정적분을 구하면 \[v(x) \cdot y = \int v(x) Q(x) dx \] 이므로 다음을 얻는다. \[y = \frac{1}{v(x)} \int v(x) Q(x) dx \tag{8} \] 지금까지의 과정을 되짚어보자. 만약 (6)을 만족시키는 적분인자 \(v(x)\)를 구할 수만 있다면 (4)를 풀어서 (8)을 얻을 수 있다. 그러므로 적분인자 \(v(x)\)를 구하는 방법만 찾으면 된다. \(v(x)\)를 구한다는 것은 (6)을 만족시키는 \(v(x)\)를 구하는 것이다. (6)으로부터 다음을 얻는다. \[\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} (vy) &=& v \frac{dy}{dx} + Pvy \\[8pt] v \frac{dy}{dx} + y \frac{dy}{dx} &=& v \frac{dy}{dx} + Pvy \\[8pt] y \frac{dy}{dx} &=& Pvy \\[8pt] \frac{dv}{dx} &=& Pv \\[8pt] \frac{dv}{v} &=& P \, dx \\[8pt] \ln v &=& \int P \, dx \\[8pt] e^{\ln v} &=& e^{\int P \, dx} \\[8pt] v &=& e^{\int P \, dx} \end{eqnarray}\] 그러므로 구하는 적분인자는 다음과 같다. \[v(x) = e^{\int P(x) dx} \tag{9}\] 지금까지 살펴본 내용을 정리하면 다음과 같다.

1계 선형미분방정식 \(y ' + P(x) y = Q(x)\)를 풀 때에는 양변에 적분인자 (9)를 곱한 후 미분방정식의 양변을 적분한다.

이와 같은 방법으로 1계 선형미분방정식을 푸는 예를 살펴보자.

예제. 다음 조건을 만족시키는 함수 \(f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}\)를 구하여라. \[x f ' (x) = x^2 + 3f(x)\]

풀이. \(y = f(x)\)라고 하면 주어진 미분방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x} y = x \tag{10}\] \(P(x) = -3/x\)라고 하자. 그러면 적분인자는 \[v(x) = e^{\int P(x) dx} = \frac{1}{x^3}\] 이다. (10)의 양변에 적분인자를 곱한 후 계산하면 다음을 얻는다. \[\begin{eqnarray} \frac{1}{x^3} \left( \frac{dy}{dx} - \frac{3}{x} y \right) &=& \frac{1}{x^3} \cdot x \\[8pt] \frac{1}{x^3} \frac{dy}{dx} - \frac{3}{x^4} y &=& \frac{1}{x^2} \\[8pt] \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^3} \cdot y \right) &=& \frac{1}{x^2} \\[8pt] \frac{1}{x^3} \cdot y &=& - \frac{1}{x} +k \\[8pt] y &=& kx^3 - x^2 \end{eqnarray}\] 따라서 구하는 함수 \(f(x)\)는 다음과 같다. \[f(x) = kx^3 - x^2\] 단, 여기서 \(k\)는 상수이다.

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