약위상

By | May 4, 2017

\(X\)가 Banach 공간이라고 하자. 각 \(f\in X^*\)에 대하여 대응 \[f \,\mapsto\, \lvert f(x) \rvert \] 는 \(X\)의 반노름이며, 각 \(f\in X^*\)에 대응되는 위와 같은 반노름들의 모임은 Hahn-Banach 정리의 조건을 만족시킨다. 따라서 위와 같은 노름들의 모임을 이용하여 \(X\)를 TVS가 되도록 새로운 구조를 줄 수 있다. 이것을 \(X\) 위에서의 약위상(weak topology)이라고 부른다.

특히 수열 \(\left\{x_n \right\}\)이 임의의 \(f\in X^*\)에 대하여 \(f(x_n ) \,\to\,f(x)\)를 만족시킬 때 \(\left\{ x_n \right\}\)은 \(x\)에 약수렴한다고 말하며 \[ x_n \quad \xrightarrow{\quad w \quad} \quad x\] 로 표기한다. 약위상은 일반적인 노름위상보다 더 약하지만, \(x\)에 약위상이 주어졌을 때 \(X^*\)의 원소들은 모두 연속성을 유지한다. 사실 약위상의 정의는 \(X^*\)의 원소들이 모두 연속이 되게 하는 가장 작은 위상이다.

반면에 약위상공간의 열린집합은 일반적인 노름위상공간의 열린집합보다 더 크다. 즉 \(U\)가 무한차원 Banach 공간에서 \(0\)의 약근방이면 양수 \(\epsilon\)과 무한히 많은 범함수 \(f_n \in X^*\)가 존재하여 \[\left\{ x\,\vert\, \lvert f_n (x) \rvert < \epsilon \right\} \subseteq U \] 를 만족시킨다. 따라서 \(U\)는 무한차원 닫힌부분공간 \(N(f_1 ) \cap \cdots \cap N(f_n ) \cap \cdots \)을 포함한다. 이로써 다음 정리를 얻는다.

정리 1. Banach 공간에서 약수렴하는 수열은 노름유계이다.

역으로 \(\left\{ x_n \right\}\)의 노름이 충분히 작으면 \(\left\{ x_n \right\}\)의 약극한도 작아진다.

정리 2. Banach 공간에서 \(\left\{ x_n \right\}\)이 \(x\)에 약수렴하면 다음이 성립한다. \[\lVert x \rVert \le \varliminf_{n\to\infty} \lVert x_n \rVert\]

증명. \(1\)-노름에 대하여 \(f(x) = \Vert x \rVert\)인 \(f\in X^*\)를 택한다. 그러면 \[f(x_n )\le \lVert x_n \rVert \] 이 성립한다. 부등식의 양변에 \(n\,\to\,\infty\)인 극한을 취하면 정리의 결과를 얻는다.

볼록집합에 대해서는 약닫개(weak closure)와 닫개가 서로 동일하다.

정리 3. \(E\)가 Banach 공간의 볼록부분집합일 때 다음이 성립한다.

  1. 볼록집합의 약닫개는 노름닫개와 동일하다.
  2. 볼록집합이 약닫힌집합일 필요충분조건은 노름닫힌집합인 것이다.
  3. 볼록집합이 약조밀할 필요충분조건은 노름조밀한 것이다.

증명. (2)와 (3)은 (1)로부터 추론된다. 그러므로 (1)만 증명하자. 명백히 약닫개는 노름닫개를 포함한다. 이제 노름닫개가 약닫개를 포함함을 증명하자. \(x\)가 \(E\)의 노름닫개에 속하지 않는다고 가정하자. 그러면 볼록분리 정리에 의하여 \(E\)와 만나지 않는 \(x\)의 약근방이 존재하므로 모순이다.

위 정리의 증명에서 사용된 볼록분리 정리는 다음과 같은 정리이다.

정리 4. (볼록분리 정리; convex separation) \(X\)가 Banach 공간이고 그 부분집합 \(E\)가 공집합이 아니며 \(x\)가 \(E\) 밖의 점이라고 하자. 그러면 \[f(x) < \inf_{y\in E} f(y)\] 를 만족시키는 \(f\in X^*\)가 존재한다.

여기서는 더 강력한 다음 정리를 증명하겠다.

정리 5. \(X\)가 Banach 공간이고 \(E\)와 \(F\)가 Banach 공간의 서로소인 볼록부분집합이며 공집합이 아니라고 하자. 또한 \(F\)가 열린집합이라고 하자. 그러면 \(f\in X^*\)가 존재하여 임의의 \(x\in F\)에 대하여 \[f(x) < \inf_{y\in E} f(y)\] 를 만족시킨다.

증명. 일반화된 Hahn-Banach 정리를 이용하여 증명한다. \(x_0 \in E,\) \(y_0 \in F\)를 택하고 \[z_0 := x_0 - y_0 ,\quad G := F-E+ \left\{ z_0 \right\}\] 이라고 하자. 그러면 \(G\)는 볼록집합이고 \(0\)을 원소로 갖지만 \(z_0\)은 원소로 갖지 않는다. 여기서 \(G\)의 볼록성은 \(E\)와 \(F\)가 서로소인 볼록집합이라는 사실로부터 곧바로 얻어진다. \(G\)가 열린집합이라는 사실은 \[G = \bigcup_{y\in E} \left( F - \left\{ y \right\} + \left\{ z_0 \right\} \right)\] 이 열린집합들의 합집합이라는 사실로부터 얻어진다. 또한 \(E\)와 \(F\)가 서로소이고 명백히 \[0 = y_0 - x_0 + z_0 \in G\] 이고 \(z_0 \notin G\)가 성립한다.

\(G\)가 열린 볼록집합이고 \(0\)을 원소로 가지므로 각 \(x\in X\)에 대하여 \[\left\{ t > 0 \,\vert\, t^{-1} x \in G \right\}\] 는 공집합이 아니며 반무한 열린구간이다. \(p(x) \in [0,\,\infty )\)를 이 구간의 왼쪽 끝점이라고 하자. \(p\)의 정의는 양의 동차적(positively homogeneous)이다. \(G\)가 볼록집합이므로 \(t^{-1} x \in G ,\) \(s^{-1} y\in G\)라는 사실로부터 \[ (t+s)^{-1} (x+y) = \frac{t}{s+t} t^{-1}x + \frac{s}{s+t} s^{-1} y\in G\] 를 얻는다. 여기서 \(p\)는 부분가법적이다. 따라서 \(p\)는 부분선형인 범함수이다. 더욱이 \[G = \left\{ x\in X \,\vert\, p(x) < 1 \right\}\] 이다.

\(X_0 := \mathbb{R} \left\{ z_0 \right\} \) 위에서의 선형범함수 \(f\)를 \(f(z_0 ) :=1 \)로 정의한다. 그러면 \(t \ge 0\)에 대하여 \[f(tz_0 ) = t \le tp(z_0 ) = p(tz_0 )\] 이 성립한다. 따라서 \(f\)는 \(X_0\) 위에서 \(f(x) \le p(x)\)를 만족시키는 선형범함수이다. Hahn-Banach 정리에 의하여 \(f\)는 동일한 부등식을 만족시키면서 \(X\) 전체로 확장될 수 있다. 따라서 \(f\)는 열린집합 \(G\) 위에서 \(1\)에 의하여 유계이다. 그러므로 \(f \in X^*\)이다.

\(x\in F ,\) \(y\in E\)이면 \(x-y+z_0 \in G\)이므로 \[f(x) - f(y) +1 = f(x-y+z_0 ) < 1 \] 즉 \( f(x) < f(y) \)이다. 따라서 \[\sup_{x\in F} f(x) \le \inf_{y\in E} f(y) \] 이다. \(f(F)\)가 열린구간이므로 임의의 \(\tilde{x} \in F\)에 대하여 \[f( \tilde{x} ) < \sup_{x\in F} f(x)\] 가 성립한다. 따라서 정리의 결과를 얻는다.

References

  • Douglas N. Arnold, 『Functional Analysis』, Department of Mathematics, Penn State University, 1997.
  • John B. Conway, 『A Course in Functional Analysis』, 2ed, Springer-Verlag, 1990.
  • Gert K. Pedersen, 『Analysis Now』, Springer-Verlag, 1989.
  • Walter Rudin, 『Functional Analysis』, 2ed, McGraw Hill, 1991.
  • Robert J. Zimmer, 『Essential Results of Functional Analysis』, University of Chicago Press, 1990.

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