범약위상

By | May 6, 2017

\(X\)가 위상벡터공간이라고 하자. \(X\)의 위상을 이용하여 쌍대공간 \(X^*\) 위에 두 가지 위상을 정의할 수 있다. 먼저 \(X^{**}\)에 속한 범함수들이 모두 연속이 되도록 하는 위상 중 가장 작은 위상을 정의할 수 있는데, 이러한 위상을 약위상이라고 부른다. 또 \(x\in X\)에 대하여 정의된 반노름 \(f \,\mapsto\, f(x)\)에 의하여 얻어지는 위상을 부여할 수도 있는데, 이러한 위상을 범약위상이라고 부른다. \(X\)가 반사적 공간인 경우 \(X^*\)의 약위상과 범약위상은 서로 동일하다.

약수렴과 범약수렴의 예를 살펴보자.

보기 1.  진동에 의한 약소멸.

\(\mathbb{R} ^n\)의 유계인 부분집합 \(\varOmega\)에 대하여 \(L^p (\varOmega )\)에서이 약수렴을 생각하자. \(L^p\)의 쌍대공간의 특성에 의하여 \(1\le q\le p < \infty\)일 때 \[\begin{eqnarray} f_n \, \xrightarrow{\, w^* \,} \, f \in L^{\infty} &\quad\Longrightarrow\quad& f_n \,\xrightarrow{\,w\,} f \quad ( \mathrm{ in \,\, } L^p ) \\[5pt] &\quad\Longrightarrow\quad& f_n \,\xrightarrow{\,w\,} f \quad ( \mathrm{ in \,\, } L^q ) \end{eqnarray}\] 를 얻는다. 특히 \(n\,\to\,\infty\)일 때 \(L^{\infty} ([0,\,1])\)에서 \[e^{2\pi \boldsymbol{i} n x} \quad \xrightarrow{\quad w^* \quad} \quad 0\] 이 성립한다. 간단히 말하면 임의의 \(g\in L^1([0,\,1])\)에 대하여 \[\lim_{n\to\infty} \int_{0}^{1} g(x) e^{2 \pi \boldsymbol{i} n x} \,dx = 0\] 이다. 즉 \(L^1\)에서 Fourier 계수가 \(0\)에 수렴한다. 이것은 Riemann-Lebesgue의 보조정리로 알려져 있다. 이 정리의 증명은 다음과 같다. 만약 \(g\)가 삼각다항식이면 당연히 성립한다. 한편 Weierstrass 근사 정리에 의하여 삼각다항식들의 집합은 \(C([0,\,1])\)에서 조밀하고 \(C([0,\,1])\)은 \(L^1 ([0,\,1])\)에서 조밀하므로 \(g\)가 연속함수인 경우 정리의 결과를 얻는다. 이것이 노름수렴하지 않는 약수렴의 첫 번째 예이다.

보기 2.  무한대에서의 약소멸.

무한대에서 약소멸하는 간단한 예로서, \(1 < p < \infty\)일 때 \(l_p\)에 속하는 단위벡터들은 \(0\)에 수렴한다.

조금 더 흥미로운 예가 있다. \(f_n \in L^p ( \mathbb{R} )\)가 \(L^p\)에서 평등유계인 함수들의 열이고 \(f_n \vert _{[-n,\,n]} \equiv 0\)을 만족시킨다고 하자. 이제 \(1 < p < \infty\)일 때 \(L^p\)에서 \(f_n\)이 \(0\)에 약수렴함을 보이자. 즉 임의의 \(g\in L^q\)에 대하여 \[\lim_{n\to\infty} \int_{\mathbb{R}} f_n g \, dx = 0\] 임을 보여야 한다. \(S_n := \left\{ x \in \mathbb{R} \,\vert\, \lvert x \rvert \ge n \right\}\)이라고 하자. 그러면 지배수렴 정리에 의하여 \[\lim_{n\to\infty} \int_{S_n} \lvert g(x) \rvert ^q \, dx = 0\] 이 성립한다. 따라서 \[\left\lvert \int_{\mathbb{R}} f_n g \,dx \right\rvert = \left\lvert \int_{S_n} f_n g \,dx \right\rvert \le \lVert f_n \rVert_{L^p} \, \lVert g \rVert_{L^q (S_n )} \le C \lVert g \rVert_{L^q (S_n )} \, \longrightarrow \, 0\] 을 얻는다. 동일한 방법으로 \(L^\infty\)에서 \(f_n\)들이 평등유계이면 \(\left\{f_n \right\}\)은 \(0\)에 범약수렴함을 보일 수 있다. 참고로 특성함수 \(\chi_{[n,\,n+1]}\)은 \(L^1\)에서 \(0\)에 약수렴하지 않는다.

보기 3.  델타 함수로의 수렴.

측도 \(\phi_n := 2 n \chi_{[-1/n ,\, 1/n]} dx \)를 생각하자. \(n\,\to\,\infty\)일 때 \(\phi_n\)은 형식적으로는 델타 함수 \(\delta_0\)에 수렴한다. \(C([-1,\,1])\)에서 범약위상을 이용하면 이 수렴은 \(\phi_n \,\xrightarrow{w^*}\,\delta_0\)으로서 더 명확해진다.

이제 범약긴밀성과 범약조밀성을 살펴보자.

정리 1. (Alaoglu) \(X^*\)에서 단위구는 범약긴밀집합이다.

증명. \(x\in X\)에 대하여 \(I_x := \left\{ t\in \mathbb{R} \,\vert\, \lvert t \rvert \le \lVert x \rVert \right\}\)라고 하고 \[\varOmega := \prod_{x\in X}I_x\] 라고 하자. 이 카르테이산 곱은 임의의 \(x\)에 대하여 \(f(x)\in I_x\)를 만족시키는 \(X\) 위에서의 함수들의 모임이다. 이 집합에는 최대약위상(weakest topology)이라고 불리는 카르테시안 위상이 주어져 있다. 즉 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(\varOmega\)로부터 \(I_x\)에로의 함수 \(f \,\mapsto\, f(x)\)는 연속함수이다. Tychonoff의 정리에 의하여 \(\varOmega\)는 이 위상에 대하여 긴밀집합이다.

이제 \(E\)가 \(X^*\)에서의 단위구라고 하자. 그러면 \(E\subseteq\varOmega\)이고 \(E\)에 의하여 유도된 위상은 범약위상이 된다. 각 \(x,\,y\in X\)와 \(c\in\mathbb{R}\)에 대하여 \[\begin{eqnarray} F_{x,y} (f) &:=& f(x) + f(y) - f(x+y) , \\[5pt] G_{x,c} &:=& f(cx) - cf(x) \end{eqnarray}\] 라고 정의하자. 이 함수들은 \(\varOmega\) 위에서 연속이고 \[E = \bigcap_{x,y\in X} F_{x,y}^{-1} (0) \cap \bigcap_{x\in X , c\in \mathbb{R}} G_{c,x}^{-1}(0)\] 을 만족시킨다. 따라서 \(E\)는 긴밀집합의 닫힌부분집합이다. 즉 \(E\)는 긴밀집합이다.

따름정리 2. \(X^*\)에서 \(f_n \,\xrightarrow{\,w^* \,} \,f\)이면 \[\lVert f \rVert \le \varliminf_{n\to\infty} \lVert f_n \rVert _{X^*}\] 이 성립한다.

증명. \(C := \varliminf \lVert f_n \rVert\)이라고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 \[\lVert f_{n_k} \rVert \le C+ \epsilon\] 을 만족시키는 부분수열 \(\left\{ f_{n_k} \right\}\)가 존재한다. 반지름이 \(C+ \epsilon\)인 구는 범약긴밀집합이고 범약닫힌집합이며 \(\lVert f \rVert < C + \epsilon\)이 성립한다. \(\epsilon\)이 임의의 양수이므로 정리의 결과를 얻는다.

\(X^{**}\) 위에서의 범약위상은 \(X^*\)에서의 범함수들에 의하여 유도될 수 있다.

정리 3. \(X\)에서의 단위구는 \(X^{**}\)에서의 단위구 안에서 범약조밀하다.

증명. \(z\)가 \(X^{**}\)에서의 단위구에 속하는 원소라고 하자. 노름이 \(1\)인 임의의 함수들 \[f_1 ,\, f_2 ,\, \cdots ,\, f_n \in X^*\] 와 \(\epsilon > 0\)에 대하여 집합 \[\left\{ w\in X^{**} \,\vert\, \lvert (w-z)(f_i ) \rvert < \epsilon ,\, i = 1,\,2,\,\cdots,\,n\right\}\] 이 \(X\)에서의 단위구의 원소를 포함함을 보여야 한다. 왜냐하면 \(z\)의 임의의 열린근방이 이러한 꼴의 집합을 포함하기 때문이다.

\(y\in X\)가 존재하여 \(\lVert y \rVert < 1 + \epsilon\)을 만족시키고 각 \(i\)에 대하여 \((y-z)(f_i )=0\)임을 보이면 충분하다. 그러면 \(y / (1+\epsilon )\)은 \(X\)의 닫힌 단위구에 속하게 되고 \[\begin{eqnarray} \left\lvert \left( \frac{1}{1+\epsilon} y-z \right) (f_i ) \right\rvert &=& \left\lvert \left( \frac{1}{1+\epsilon} y-y \right) (f_i ) \right\rvert \\[5pt] &\le& \left\lVert \frac{1}{1+\epsilon} y-y \right\rVert \\[5pt] &=& \lVert y \rVert \frac{\epsilon}{1 + \epsilon} < \epsilon \end{eqnarray}\] 이 되기 때문이다.

\(X^{*}\)에서 \(\left\{f_i \right\}\)에 의하여 생성된 집합을 \(S\)라고 하자. \(S\)의 차원이 유한이기 때문에 표준사상(canonical map) \(X \,\to\, S^*\)는 위에로의 함수이다. [이것은 선형범함수 \(g\)의 영공간이 유한 개의 선형범함수 \(g_i\)들의 영공간의 교집합을 포함하면 \(g\)는 \(g_i\)들의 일차결함으로 표현된다는 것과 동등한 명제이다. 즉, 함수 \[(g_1 ,\, g_2 ,\, \cdots ,\, g_n ) : X \,\to\, \mathbb{R} ^n\] 들의 영공간이 \(g\)의 영공간에 포함되므로 적당한 선형사상 \(T : \mathbb{R}^n \,\to\,\mathbb{R}\)이 존재하여 \[g = T \circ (g_1 ,\, g_2 ,\, \cdots ,\,g_n )\] 을 만족시킨다.] 따라서 \(X / \,^a S\)와 \(S\)는 동형이다.

특히 \(z \vert _S\)는 적당한 \(y\in X\)에 대하여 \(y+ \,^a S\)와 동일하다. \(\lVert z \rVert_{S^*} \le 1\)이므로 \(\lVert y \rVert \le 1+\epsilon\)이면서 정리의 결론을 만족시키는 잉여류표현 \(y\)를 택할 수 있다.

따름정리 4. Banach 공간 \(X\)의 닫힌 단위구가 약긴밀집합일 필요충분조건은 \(X\)가 반사적 공간인 것이다.

증명. \(X\)에서의 닫힌 단위구 \(S\)가 약긴밀집합이면 \(X^{**}\)의 부분집합에 대하여 증명한 것과 같은 방법으로 \(S\)는 범약긴밀집합임을 알 수 있다. 따라서 \(S\)는 범약닫힌집합이고 정리 3에 의하여 \(S\)의 매입(embedding)은 \(X^{**}\)에서의 닫힌 단위구를 포함한다. 그러므로 \(X\)의 매입은 \(X^{**}\) 전체와 일치한다.

역은 Alaoglu의 정리에 의하여 성립한다.

References

  • Douglas N. Arnold, 『Functional Analysis』, Department of Mathematics, Penn State University, 1997.
  • John B. Conway, 『A Course in Functional Analysis』, 2ed, Springer-Verlag, 1990.
  • Gert K. Pedersen, 『Analysis Now』, Springer-Verlag, 1989.
  • Walter Rudin, 『Functional Analysis』, 2ed, McGraw Hill, 1991.
  • Robert J. Zimmer, 『Essential Results of Functional Analysis』, University of Chicago Press, 1990.

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