부분공간과 상공간

By | March 28, 2017

함수해석학에서 주로 다루는 공간은 벡터공간이므로 부분공간과 상공간 또한 함수해석학에서 빼놓을 수 없는 중요한 주제이다.

\(X\)가 벡터공간이고 \(S\)가 \(X\)의 부분공간일 때 상공간 \(X/S\)는 잉여류들의 모임이다. \(X\)가 노름공간이면 \(X/S\)에서의 반노름을 \[\lVert u \rVert _ {X/S} := \inf_{x \in u} \lVert x \rVert_X \] 또는 동등조건으로서 \[\lVert \overline{x} \rVert _{X/S} := \inf _{s\in S} \lVert x-s \rVert _X \] 로 정의한다. 이렇게 정의된 반노름이 노름일 필요충분조건은 \(S\)가 \(X\)의 닫힌부분집합인 것이다.

정리 1. \(X\)가 Banach 공간이고 \(S\)가 \(X\)의 닫힌부분공간이면 \(S\)와 \(X/S\)는 Banach 공간이다.

증명. \(\left\{ x_n \right\}\)이 \(S\)의 원소로 이루어진 수열이고 잉여류열 \(\left\{\overline{x_n}\right\}\)이 Cauchy 수열이라고 하자. 각 자연수 \(k\)에 대하여 \[\left\lVert\overline{x_{n_k}} - \overline{x_{n_{k+1}}}\right\rVert _{X/S} \le \frac{1}{2^{k+1}}\] 이 되도록 부분수열 \(\left\{x_{n_k}\right\}\)의 항을 택한다. \(s_1 := 0\)이라고 하고 \[\left\lVert x_{n_1} - \left( x_{n_2} - s_2 \right) \right\rVert _X \le \frac{1}{2} \] 이 되도록 \(s_2\)를 택한다. 또한 \[\left\lVert \left(x_{n_2} + s_2 \right) - \left( x_{n_3} - s_3 \right) \right\rVert _X \le \frac{1}{4} \] 이 되도록 \(s_3\)을 택한다. 이러한 방법을 계속하여 \(\left\{ s_k \right\}\)를 구성하면 \(\left\{ x_{n_k} + s_k \right\}\)는 \(X\)에서 Cauchy 수열이 된다. \(X\)가 완비공간이므로 \(x_{n_k} + s_k \,\to\, x_0\)인 \(x_0 \in X \)가 존재한다. 대응 \(x \,\mapsto\, x+S \)는 연속함수이므로 \[\overline{x_{n_k}} = x_{n_k} +S = \left( x_{n_k} + y_k \right) +S \,\to\, x_0 +S\] 이다. 여기서 \(\left\{\overline{x_n}\right\}\)이 Cauchy 수열이므로 \(\overline{x_n}\,\to\,x_0\)이다.

위 정리의 역도 성립한다.

정리 2. \(X\)가 노름선형공간이고 \(S\)가 \(X\)의 완비인 닫힌부분공간이며 \(X/S\)가 Banach 공간이라고 하자. 그러면 \(X\)는 Banach 공간이다.

\(X\)가 벡터공간이고 \(S\)가 \(X\)의 부분공간이며 차원이 유한이면 \(S\)는 닫힌공간이다. 더욱 일반적으로 다음이 성립한다.

정리 3. \(S\)가 Banach 공간 \(X\)의 닫힌부분공간이고 \(V\)가 \(X\)의 유한차원 부분공간이면 \(S+V\)는 \(X\)의 닫힌부분집합이다.

증명. \(V\)의 차원이 \(1\)이고 \(V\cap S = \left\{0\right\}\)인 경우는 쉽게 증명된다.

\(S\)와 \(V\)의 대수적 직합을 \(S+V\)로 나타내자. 이때 대응 \(S+V \, \mapsto \,S\)와 \(S+V \,\mapsto\,V\)는 모두 연속함수이다. 왜냐하면 \(S+V\)에서의 Cauchy 수열은 \(S\)에서의 Cauchy 수열과 \(V\)에서의 Cauchy 수열에 대응되며, 이들 수열은 각 공간에서 수렴하기 때문이다.

사영사상 \(\pi : X \,\to\, X/S\)의 제한사상 \(\pi \vert _V \)는 \(V\)로부터 그 상 \(\overline{V}\)에로의 동형사상이 된다. \(\mu : \overline{V} \,\to\,V\)가 사영사상 \(\pi \vert _V\)의 연속인 역함수라고 하자. \(\pi (S+V) \subseteq \overline{V}\)이므로 연속인 합성함수 \[\mu \circ \pi \vert _{S+V} : S+V \,\to\, V\] 를 구성할 수 있다. 그런데 이 함수는 \(V\) 위에로의 함수이다. \(S\) 위에로의 사영사상은 \(\mu \circ \pi\)인데, 이 함수는 항등함수이므로 연속함수이다.

Banach 공간의 닫힌부분공간들의 대수적 합이 항상 닫힌집합인 것은 아니다. 그 반례를 가분 Hilbert 공간에서 찾을 수 있다. \(S_1\)이 홀수째 항이 모두 \(0\)인 실수열 \(\left\{ x_n \right\}\)들의 모임이라고 하자. 그리고 \(S_2\)가 \(x_{2n} = nx_{2n-1}\)을 만족시키는 실수열 \(\left\{ x_n \right\}\)들의 모임이라고 하자. 명백히 \(X_1 = l_1 \cap S_1\)과 \(X_2 = l_2 \cap S_2\)는 \(l_2\)의 닫힌부분공간이다. 또한 임의의 실수열은 \(S_1\)과 \(S_2\)의 원소의 합으로서 다음과 같이 유일하게 표현된다. \[\begin{eqnarray} \left( x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots \right) &=& \left(0 ,\, x_2 - x_1 ,\, 0 ,\, x_4 - 2x_3 ,\, 0 ,\, x_6 - 3x_5 ,\, \cdots \right) \\[5pt] &&+ \left( x_1 ,\, x_1 ,\, x_3 ,\, 2x_3 ,\, x_5 ,\, 3x_5 ,\, \cdots \right) . \end{eqnarray}\] 만약 수열 \(\left\{x_n \right\}\)의 항들 중 유한 개를 제외한 항이 \(0\)이면 우변의 두 합도 마찬가지로 유한 개를 제외한 항이 \(0\)이다. 따라서 그러한 수열들은 모두 \(X_1 + X_2\)의 원소이며, 이것은 \(X_1 + X_2\)가 \(l_2\)에서 조밀하다는 것을 의미한다.

이제 다음과 같은 수열을 생각하자. \[\begin{eqnarray} (1,\,0,\,1/2,\,0,\,1/3,\,0,\,\cdots ) &=& ( 0 ,\, -1 ,\, 0 ,\, -1 ,\, 0 ,\, -1 ,\, \cdots ) \\[5pt] && + (1 ,\, 1 ,\, 1/2 ,\, 1 ,\, 1/3 ,\, 1 ,\, \cdots) \end{eqnarray}\] 이 수열은 \(l_2\)의 원소이고 \(S_1\)의 원소와 \(S_2\)의 원소의 합으로서 위와 같이 유일하게 표현되지만 \(X_1 + X_2\)의 원소가 아니다. 따라서 \(X_1 + X_2 \)는 \(l_2\)에서 닫힌집합이 아니다.

References

  • Douglas N. Arnold, 『Functional Analysis』, Department of Mathematics, Penn State University, 1997.
  • John B. Conway, 『A Course in Functional Analysis』, 2ed, Springer-Verlag, 1990.
  • Gert K. Pedersen, 『Analysis Now』, Springer-Verlag, 1989.
  • Walter Rudin, 『Functional Analysis』, 2ed, McGraw Hill, 1991.
  • Robert J. Zimmer, 『Essential Results of Functional Analysis』, University of Chicago Press, 1990.

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