일반적인 긴밀작용소의 스펙트럼

By | June 7, 2017

이 글에서는 복소 Banach 공간 \(X\) 위에서의 긴밀작용소의 스펙트럼의 구조에 대하여 살펴본다.

복소 Banach 공간 위에서의 임의의 작용소 \(T\)에 대하여 \(T\)의 분해집합(resolvent set) \(\rho (T)\)는 \(T - \lambda 1\)이 가역인 \(\lambda \in \mathbb{C}\)들로 이루어져 있으며 스펙트럼 \(\sigma (T)\)는 그 여공간이다. 만약 \(\lambda \in \sigma (T)\)이면 \(T - \lambda 1\)이 가역이 아닌 경우가 몇 가지 존재한다.

  1. \(N(T-\lambda 1) \neq 0\)인 경우. 즉 \(\lambda\)가 \(T\)의 고윳값인 경우이다. 이 경우 \(\lambda\)는 \(T\)의 점 스펙트럼(point spectrum)에 속한다고 말하며, \(T\)의 점 스펙트럼을 \(\rho _p (T)\)로 표기한다.
  2. \(T - \lambda 1\)이 일대일인 경우. \(T - \lambda 1\)의 치역이 \(X\)에서 조밀하지만 닫힌집합은 아닐 수 있다. 이 경우 \(\lambda\)는 \(T\)의 연속 스펙트럼(continuous spectrum)에 속한다고 말하며, \(T\)의 연속 스펙트럼을 \(\sigma_c (T)\)로 표기한다.
  3. \(T-\lambda 1\)이 일대일이지만 그 치역이 \(X\)에서 조밀하지 않는 경우. 이 경우를 잉여 스펙트럼(residual spectrum)이라고 부르며 \(\sigma_r (T)\)로 표기한다.

명백히 \(\mathbb{C}\)는 서로소인 집합들 \(\rho (T) , \) \(\sigma_p (T) ,\) \(\sigma _c (T) ,\) \(\sigma _r (T)\)로 분해된다. 연속 스펙트럼의 한 예로서 작용소 \(Te_n = \lambda _n e_n \)을 생각하자. 여기서 \(e_n\)은 Hilbert 공간의 정규직교기저이며 \(\lambda _n\)은 \(0\)에 수렴하는 양의 수열이다. 그러면 \(0\in \sigma _c (T)\)이다. 만약 \(e_n = \lambda _n e_{n+1}\)이면 \(0\in \sigma_r (T)\)이다.

만약 \(T\)가 긴밀작용소이고 \(X\)의 차원이 무한이면 \(0\in \sigma (T)\)이다. 왜냐하면, 만약 \(T\)가 비가역이라면 단위구의 상이 열린집합을 포함하여 예비긴밀이 되지 못하기 때문이다. 이 예로부터 \(0\)은 점 스펙트럼에 속할 수도 있고, 연속 스펙트럼에 속할 수도 있고, 잉여 스펙트럼에 속할 수도 있다는 사실이 확인된다. 하지만 스펙트럼의 다른 원소들이 고윳값이 된다는 사실의 증명은 간단하지 않다. 지금부터 \(\sigma (T) = \sigma _p (T) \cup \left\{ 0 \right\}\)이라는 사실, 즉 일반적으로 점 스펙트럼이 유한 개의 점이나 \(0\)에 수렴하는 수열로 구성된다는 사실을 증명하자.

두 개의 보조정리를 도입한다. 첫 번째 정리는 순수한 대수적 결과이다. 이 정리를 진술하기 위해 몇 가지 용어를 정의하자. \(T\)가 벡터공간 \(X\)로부터 그 자신에로의 선형작용소이고 부분공간들의 사슬 \[0 = N(1) \subseteq N(T) \subseteq N(T^2 ) \subseteq N(T^3 ) \subseteq \cdots \] 이 주어졌다고 하자. 이 사슬은 무한히 순증가하거나 또는 \(N(T^n ) = N(T^{n+1} )\)인 적당한 자연수 \(n\)이 존재하는데, 두 번째 경우 처음 \(n\)개의 공간만 서로 다르고 나머지 공간은 서로 같다. 이때 \(T\)의 핵사슬(kernel chain) 은 \(n\)에서 안정된다고 말한다. 특히 핵사슬이 \(0\)에서 안정될 필요충분조건은 \(T\)가 일대일인 것이다. 비슷하게 다음과 같은 치역사슬(range chain) \[X = R(1) \supseteq R(T) \supseteq R(T^2 )\supseteq R(T^3 ) \supseteq \cdots\] 이 \(n \ge 0\)에서 안정된다는 개념을 정의할 수 있다. 이때 치역사슬이 \(0\)에서 안정될 필요충분조건은 \(T\)가 위에로의 함수인 것이다. 이 두 사슬 중 하나만 안정될 수도 있다. 그러나 다음 정리가 성립한다.

보조정리 1. \(T\)가 벡터공간 \(X\)에서 \(X\)로의 선형작용소라고 하자. 만약 핵사슬이 \(m\)에서 안정되고 치역사슬이 \(n\)에서 안정되면 \(m=n\)이고 \(X\)는 \(N(T^n )\)과 \(R(T^n )\)으로 분해된다.

증명. \(m < n\)이라고 가정하자. 치역사슬이 \(n\)에서 안정되므로 \(x\)가 존재하여 \(T^{n-1} x \notin R(T^n )\)을 만족시키고, \(y\)가 존재하여 \(T^{n+1} y = T^n x\)를 만족시킨다. 따라서 \(x - Ty \in N(T^n )\)이고, 핵사슬이 \(m\)에서 안정되므로 \(N(T^n ) = N(T^{n-1} )\)이다. 즉 \(T^{n-1} x = T^n y\)가 되어 모순이다. 따라서 \(m \ge n\)이다. 같은 방법으로 \(m > n\)이라고 가정해도 모순이 발생하므로 \(m = n\)이다.

만약 \(T^n x \in N(T^n )\)이면 \(T^{2n} x=0\)이고 \(T^n x=0\)이다 따라서 \(N(T^n ) \cap R(T^n )=0\)이다. 주어진 \(x\)에 대하여 \(T^{2n} y = T^n x\)라고 하자. 그러면 \(x\)는 \(T^n y \in R(T^n )\)과 \(x-T^n y \in N(T^n )\)으로 분해된다.

두 번째 보조정리는 긴밀작용소의 위상에 관한 것이다.

보조정리 2. \(T : X \to X\)가 Banach 공간 위에서의 긴밀작용소이고 \(\lambda _1 ,\) \(\lambda_2 ,\) \(\cdots\)가 복소수열이며 \(\inf \lvert \lambda _n \rvert > 0\)을 만족시킨다고 하자. 그러면 임의의 \(n\)에 대하여 \((\lambda_n 1 - T) S_n \subseteq S_{n-1}\)을 만족시키는 순증가 닫힌부분공간사슬 \(S_1 \subset S_2 \subset S_3 \subset \cdots\)은 존재하지 않는다.

증명. 결론에 반하여 임의의 \(n\)에 대하여 \((\lambda_n 1 - T) S_n \subseteq S_{n-1}\)을 만족시키는 순증가 닫힌부분공간사슬 \(S_1 \subset S_2 \subset S_3 \subset \cdots\)이 존재한다고 가정하자. 각 \(n\)에 대하여 \(TS_n \subseteq S_n\)이다. \(S_n / S_{n-1}\)은 노름이 \(1\)인 원소를 포함하므로 \(y_n \in S_n\)이 존재하여 \(\lVert y_n \rVert \le 2\)이고 \(\mathrm{dist} (y_n ,\, S_{n-1} )=1\)을 만족시킨다. 만약 \(m < n\)이면 \[z := \frac{Ty_m - (\lambda _n 1 - T )y_n }{\lambda_n} \in S_{n-1}\] 이고 \[\lVert Ty_m - Ty_n \rVert = \lvert \lambda_n \rvert \lVert y_n - z_n \rVert > \lvert \lambda_n \rvert \] 이 성립한다. 이것은 \(\left\{ Ty_n \right\}\)이 Cauchy 부분수열을 포함하지 않음을 의미하므로 \(T\)가 긴밀작용소라는 사실에 모순이다.

이제 이 글의 주제가 되는 정리들을 소개한다.

정리 3. \(T\)가 Banach 공간 \(X\) 위에서의 긴밀작용소라고 하자. 그러면 \(T\)의 스펙트럼의 영 아닌 원소는 고윳값이다. 더욱이 \(\sigma (T)\)는 유한이거나 \(0\)에 수렴하는 수열로 이루어진 집합이다.

증명. 부분공간사슬 \(N[(\lambda 1 - T)^n ]\)과 \(R [( \lambda 1-T)^n ]\)을 생각하자. 보조정리 2에 의하여 이 두 공간은 모두 닫힌공간이다. 명백히 \(\lambda 1 -T\)는 \(N [( \lambda 1-T)^n ] \)으로부터 \(N[(\lambda 1-T)^{n-1} ]\)에로의 일대일함수이고, 보조정리 1에 의하여 적당한 \(n\)이 존재하여 핵사슬은 \(n\)에서 안정된다. 치역이 닫힌집합이므로 \[R[(\lambda 1-T)^n ] = ^a N [( \lambda 1-T^* )^n ]\] 이고 이들은 안정되므로 치역사슬도 안정된다. 따라서 \[X = N[(\lambda 1-T)^n ] \oplus R[(\lambda 1-T)^n ]\] 을 얻는다. 그러므로 다음을 얻는다. \[\begin{eqnarray} R(\lambda 1-T) \neq X & \,\Longrightarrow\, & R(\lambda 1-T)^n \neq X \\[5pt] & \,\Longrightarrow\, & N(\lambda 1-T)^n \neq 0 \\[5pt] & \,\Longrightarrow\, & N(\lambda 1-T) \neq 0 \end{eqnarray}\] 이제 정리의 마지막 명제를 증명하자. 결론에 반하여 \(\sigma (T)\)가 유한이 아니고 \(0\)에 수렴하는 수열로 이루어져 있지도 않다고 가정하자. 그러면 고윳값 \(\lambda _n\)들이 존재하여 \(\inf \lvert \lambda _n \rvert > 0\)을 만족시킨다. 이 고윳값들에 대응하는 영 아닌 고유벡터를 \(x_1 ,\) \(x_2 ,\) \(\cdots\)라고 하면 이들은 일차독립이고 \[(\lambda _n 1- T ) S_n \subseteq S_{n-1}\] 이 성립하는데, 이것은 모순이다.

정리 4. (Fredholm Alternative) \(T\)가 Banach 공간 \(X\) 위에서의 긴밀작용소이고 \(\lambda\)가 영 아닌 복소수라고 하자. 그러면 다음 두 가지 중 하나가 성립한다.

  1. \(\lambda 1 - T\)는 동형사상이다.
  2. \(\lambda 1 - T\)는 일대일도 아니고 위에로의 함수도 아니다.

증명. \(S = \lambda 1 - T\)의 핵사슬과 치역사슬은 안정되므로 \(S\)가 일대일대응인 경우 두 사슬은 \(0\)에서 안정된다. 이때 \(S\)가 위에로의 함수인 것과 일대일함수인 것은 서로 필요충분조건이므로 정리의 결과를 얻는다.

끝으로 Fredholm 작용소에 관한 기본정리를 소개한다.

정리 5. \(T\)가 Banach 공간 \(X\) 위에서의 긴밀작용소이고 \(\lambda\)가 영 아닌 복소수라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

\[\begin{eqnarray} \dim N(\lambda 1-T) &=& \dim N(\lambda 1- T^* ) \\[5pt] &=& \mathrm{codim} R(\lambda 1-T) \\[5pt] &=& \mathrm{codim} R(\lambda 1-T^* ) \end{eqnarray}\]

증명. \(S = \lambda 1-T\)라고 하자. \(R(S)\)가 닫힌집합이므로 \[ [X/R(S)]^* \cong R(S)^a = N(S^* )\] 이다. 따라서 \([X/R(S)]^*\)의 차원은 유한이고 \(X/R(S)\)의 차원도 유한이며 이 두 공간은 동일한 차원을 가진다. 즉 \[\mathrm{codim} R(S) = \dim N(S^* )\] 이다.

일반적인 작용소 \(S\)에 대해서는 \(\overline{R(S^* )} \subseteq N(S)^a\)가 성립한다. 이제 \(R(S)\)가 닫힌집합인 경우 \(R(S^* ) = N(S)^a\)임을 보이자. \(S\)는 \(X/N(S)\)로부터 \(R(S)\) 위에로의 동형사상을 유도하며, 임의의 \(f\in N(S)^a\)에 대하여 \(f\)는 \(X/N(S)\)로부터 \(\mathbb{R}\) 위에로의 동형사상을 유도한다. 따라서 \(R(S)\) 위에서의 적당한 유계선형작용소 \(g\)가 존재하여 \(f=gS\)를 만족시키며, Hahn-Banach 정리에 의하여 \(g\)를 확장하여 \(X^*\)에 속하도록 할 수 있다. 그런데 \(f=gS\)는 \(f=S^* g\)를 의미하므로 \(N(S)^a \subseteq R(S^* )\)를 얻는다. 따라서 \(R(S^* ) = N(S)^a\)가 성립한다. 즉 \[N(S)^* \cong X^* / N(S)^a = X^* / R(S^* )\] 이므로 \(\mathrm{codim} R(S^* ) = \dim N(S)^* = \dim N(S) \)가 성립한다.

끝으로 \(\dim N(S) \le \mathrm{codim} R(S)\)와 \(\dim N(S^* ) \le \mathrm{codim} R(S^* )\)가 성립함을 보이자. \(R(S)\)는 닫힌집합이고 유한인 여차원을 가지므로 적당한 유한 차원 공간 \(M\)이 존재하여 \(M\)은 \(R(S)\)의 여공간이 된다. \(N(S)\)의 차원이 유한이므로 이 공간은 \(N\)의 여공간이 된다. \(P\)가 \(X\)로부터 \(N(S)\) 위에로의 사영사상이고 \(N(S)\) 위에서는 항등함수이며 \(N\) 위에서는 영의 값을 갖는다고 하자. 만약 \(\mathrm{codim} R(S) < \dim N(S)\)이면 \(N(S)\)로부터 \(M\) 위에로의 함수이지만 일대일이 아닌 선형사상이 존재한다. 그러면 \(T = fP\)는 긴밀작용소가 되고 \(\lambda 1-T+fP\)는 위에로의 함수가 된다. 정리 4에 의하여 이 함수는 일대일 함수가 된다. 즉 \(f\)가 일대일이 되므로 모순이다. 따라서 \(\dim N(S) \le \mathrm{codim} R(S)\)가 성립한다. \(T^*\)가 긴밀작용소이므로 같은 방법으로 \(\dim N(S^* ) \le \mathrm{codim} R(S^* )\)를 얻는다.

References

  • Douglas N. Arnold, 『Functional Analysis』, Department of Mathematics, Penn State University, 1997.
  • John B. Conway, 『A Course in Functional Analysis』, 2ed, Springer-Verlag, 1990.
  • Gert K. Pedersen, 『Analysis Now』, Springer-Verlag, 1989.
  • Walter Rudin, 『Functional Analysis』, 2ed, McGraw Hill, 1991.
  • Robert J. Zimmer, 『Essential Results of Functional Analysis』, University of Chicago Press, 1990.

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