Hilbert 공간에서의 스펙트럼

By | June 16, 2017

이 글에서는 Hilbert 공간에서의 자기수반 작용소의 스펙트럼에 대하여 살펴보자. 먼저 자기수반 작용소가 실스펙트럼을 가짐을 보이자.

보조정리 1. \(H\)가 Hilbert 공간이고 \(T \in B(H)\)가 자기수반 작용소이면 \(\sigma (T) \subseteq \mathbb{R}\)이다.

증명. \(\lvert \langle ( \lambda 1-T) x,\,x \rangle \rvert \ge \lvert \mathrm{Im} \langle ( \lambda 1-T )x ,\,x \rangle \rvert = \lvert \mathrm{Im} \lambda \rvert \lVert x \rVert ^2 \)이므로 \(\mathrm{Im} \lambda \neq 0\)일 때 \(\lambda 1-T\)는 일대일함수이고 닫힌 치역을 가진다. 같은 방법으로 \(( \lambda 1-T)^* = \overline{\lambda} 1-T\)는 일대일함수이므로 \(R(\lambda 1-T)\)는 조밀하다. 따라서 \(\lambda \in \rho (T)\)이다.

정리 2. (자기수반 작용소의 스펙트럼) \(H\)가 복소 Hilbert 공간이고 \(T\in B(H)\)가 자기수반 작용소이면 측도 \(\mu\)를 가진 측도공간 \(\varOmega\)와 유계가측함수 \(\phi : \varOmega \to \mathbb{R}\) 그리고 거리동형사상 \(U : L^2 \to H\)가 존재하여 \[U^{-1} TU = M_{\phi}\] 를 만족시킨다. 여기서 \(M_{\phi} : L^2 \to L^2\)는 \(\phi\)를 곱하는 작용소이고 \(L^2 = L^2 ( \varOmega ,\, \mu ; \, \mathbb{C} )\)를 나타낸다.

증명의 개요. \(x\)가 \(H\)의 영 아닌 원소라고 하자. \(H\)의 부분집합 중에서, 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 \(T^n x\)를 원소로 갖는 닫힌부분공간 \[M= \overline{ \left\{ p(T)x \,\vert\, p \in \mathbb{P}_{\mathbb{C}} \right\}}\] 를 생각하자. 여기서 \(\mathbb{P}_{\mathbb{C}}\)는 복소계수를 갖는 일변수 다항식들의 공간이다. \(T\)는 자기수반 작용소이므로 \(M\)과 그 직교여공간은 모두 \(T\) 아래에서 평행이동에 대하여 불변이다. Zorn의 보조정리에 의하여 \(H\)는 \(T\) 아래에서 평행이동에 대하여 불변인 Hilbert 공간들의 직합으로 표현된다. 분해된 각 부분공간에 대하여 정리가 성립함을 보이면 그들의 직곱을 이용하여 \(H\) 전체에서도 정리가 성립함을 보일 수 있다. 따라서 적당한 \(x\)에 대하여 \[H = \overline{ \left\{ p(T) x \,\vert\, p \in \mathbb{P}_{\mathbb{C}} \right\}}\] 가 성립한다고 가정하자. [이와 같은 상황을 \(T\)는 순환벡터(cyclic vector) \(x\)를 가진다고 표현한다.]

\(\varOmega = \sigma (T)\)라고 하면 \(\varOmega\)는 실직선의 긴밀부분집합이 된다. \(\varOmega\) 위에서의 연속 실함수들의 공간을 \(C = C(\varOmega ,\,\mathbb{R} )\)라고 하자. Weierstrass 근사 정리에 의하여 다항함수공간은 \(C\)에서 조밀하다. 다항함수 \(p\)에 대하여 \[Lp = \langle p(T) x,\,x \rangle \in \mathbb{R}\] 라고 정의하자. 명백히 \(L\)은 선형사상이다. 또한 Hilbert 공간에서 자기수반 작용소의 스펙트럼 반지름 정리의 특수현 형태에 의하여 \[\lvert Lp \rvert \le \lVert p(T) \rVert \lVert x \rVert ^2 = r(p(T)) \lVert x \rVert ^2 \] 이 성립한다. \(\sigma (p(T)) = p(\sigma (T))\)이므로 \[r(p(T)) = \lVert p \rVert _{L^{\infty} (\varOmega )} = \lVert p \rVert _C\] 가 성립한다. 따라서 \[\lvert Lp \rvert \le \lVert x \rVert^2 \lVert p \rVert _C \] 를 얻는다. 이것은 \(L\)이 \(C\)의 조밀한 부분집합 위에서 유계선형범함수라는 것을 의미하므로 \(L\)은 \(C\) 전체에서 연속인 선형범함수로 확장되며, 확장된 함수는 유일하게 정해진다.

이제 \(L\)이 양의 선형범함수임을 보이자. 즉 음이 아닌 임의의 함수 \(f\in C\)에 대하여 \(Lf \ge 0\)임을 보이자. 만약 적당한 다항식 \(p\)에 대하여 \(f=p^2\)이면 \[Lf = \langle p(T)^2 x,\,x \rangle = \langle p(T) x ,\, p(T) x \rangle \ge 0\] 이다. 음이 아닌 임의의 \(f\)에 대하여 다항식열 \(\left\{p_n \right\}\)이 존재하여 \(\sqrt{f} \)에 평등수렴하므로 \[f = \lim_{n\to\infty} {p_n}^2\] 이고 \[Lf = \lim_{n\to\infty} L{p_n}^2 \ge 0\] 이다. \(C\) 위에서의 선형범함수 \(L\)의 표현에 Riesz 표현 정리를 적용하면 \(\varOmega\) 위에서의 유한측도가 존재하여 \(f\in \mathbb{C}\)에 대하여 \[Lf = \int f \, d \mu \] 를 만족시킨다. [\(L\)이 양의 선형범함수이므로 이 측도 또한 양의 측도이다.] 특히 임의의 \(p\in \mathbb{P}_{\mathbb{R}}\)에 대하여 \[\langle p(T) x ,\,x \rangle = \int p \, d \mu \] 이다.

이제 \(\varOmega\) 위에서 측도 \(\mu\)에 대하여 제곱적분 가능한 복소함수들의 공간 \(L^2\)를 생각하자. 복소다항식의 공간은 \(L^2\)에서 조밀하다. 왜냐하면 \(L^2\)에 주어진 측도는 유한측도이고, \(L^2\) 노름은 상한노름에 의하여 결정되기 때문이다. 복소다항식 \(q\)에 대하여 \(Uq - q(T) x\)라고 정의하자. 그러면 \[\begin{eqnarray} \lVert Uq \rVert ^2 &=& \lVert q(T) x \rVert ^2 \\[6pt] &=& \langle q(T) x ,\, q(T) x \rangle \\[6pt] &=& \langle \overline{q} (T) q(T) x ,\,x \rangle \\[6pt] &=& \int \lvert q \rvert^2 \, d \mu \\[6pt] &=& \lVert q \rVert_{L^2} ^2 \end{eqnarray}\] 이 성립한다. 따라서 \(U\)는 \(L^2\)의 조밀한 부분집합으로부터 \(H\)에로의 일대일인 거리동형사상이며 \(L^2\)로부터 \(H\)의 닫힌부분공간 위에로의 거리동형사상이기도 하다. 사실 \(U\)는 \(H\) 위에로의 함수이다. 왜냐하면 \(x\)가 \(T\)의 순환벡터이고 \(U\)의 치역이 조밀하기 때문이다.

끝으로 \(\phi : \varOmega \to \mathbb{R}\)를 \(\phi (\lambda ) = \lambda\)라고 정의하자. \(q\)가 복소다항식이면 \[(M_{\phi} q ) ( \lambda ) = \lambda q (\lambda )\] 이고 이 다항식 역시 복소다항식이다. 따라서 \[U^{-1} TUq = U^{-1} Tq (T) x = U^{-1} ((M_{\phi} q ) (T))x = M_{\phi} q\] 이다. 그러므로 유계작용소 \(U^{-1} TU\)와 \(M_{\phi}\)는 \(L^2\)의 조밀부분집합 위에서 서로 일치하며 \(L^2\) 위에서도 일치한다.

References

  • Douglas N. Arnold, 『Functional Analysis』, Department of Mathematics, Penn State University, 1997.
  • John B. Conway, 『A Course in Functional Analysis』, 2ed, Springer-Verlag, 1990.
  • Gert K. Pedersen, 『Analysis Now』, Springer-Verlag, 1989.
  • Walter Rudin, 『Functional Analysis』, 2ed, McGraw Hill, 1991.
  • Robert J. Zimmer, 『Essential Results of Functional Analysis』, University of Chicago Press, 1990.

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