Banach 대수에서의 스펙트럼과 분해

By | June 11, 2017

\(X\)가 항등원 \(1\)을 가진 Banach 대수라고 하자. \(X\)에서의 노름이 정규화되었다고 하자. 즉 \(\lVert 1 \rVert = 1\)이라고 하자. 이제 \(X\)에서의 스펙트럼과 분해를 살펴볼 것이다. 이 글을 읽는 동안 다음 두 공간을 염두에 두면 이해하기 쉬울 것이다.

  1. 공간 \(B(X)\). 여기서 \(X\)는 Banach 공간이다.
  2. 상한노름이 주어진 \(C(G)\). 여기서 \(G\)는 긴밀위상공간이고 곱은 함수의 점별곱으로 정의되며 \(1\)은 상수함수를 나타낸다.

이 공간들에 대하여 분해(resolvent)와 스펙트럼은 앞에서처럼 다음과 같이 정의된다. \[\begin{eqnarray} \rho (x) &:=& \left\{ \lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, x - \lambda 1 \mathrm{\,\, is \,\, invertible} \right\} , \\[6pt] \sigma (x) &:=& \mathbb{C} \setminus \rho (x) . \end{eqnarray}\] 스펙트럼 반경(spectral radius)은 \[r(x) := \sup \lvert \sigma (x) \rvert \] 로 정의된다. \(\lambda \in \rho (x) \)에 대하여 분해는 \[R_x (\lambda ) := (x- \lambda 1 )^{-1}\] 로 정의된다.

보조정리 1. \(x,\,y\in X\)이고 \(x\)가 가역이며 \(\lVert x^{-1} y \rVert < 1\)이라고 하자. 그러면 \(x-y\)는 가역이고 \[(x-y)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (x^{-1} y )^n x^{-1} , \] \[\lVert (x-y)^{-1} \rVert \le \frac{\lVert x^{-1} \rVert}{1 - \lVert x^{-1} y \rVert}\] 이 성립한다.

증명. 노름의 성질에 의하여 \[\left\lVert \sum_{n=0}^{\infty} (x^{-1} y)^n x^{-1} \right\rVert \le \lVert x^{-1} \rVert \sum_{n=0}^{\infty} \lVert x^{-1} y \rVert ^n \le \frac{\lVert x^{-1} \rVert}{1 - \lVert x^{-1} y \rVert }\] 이므로 좌변의 합은 절대수렴하고 노름유계이다. 또한 \[\sum_{n=0}^{\infty} (x^{-1}y)^n x^{-1} (x-y) = \sum_{n=0}^{\infty} (x^{-1} y)^n - \sum_{n=0}^{\infty} (x^{-1} y)^{n+1} = 1\] 이므로 정리의 등식을 얻는다.

위 정리에 의하여 \(\lvert \lambda \rvert > \lVert x \rVert\)이면 \(\lambda 1 - x\)가 가역, 즉 \(\lambda \in \rho (x)\)임을 알 수 있다.

따름정리 2. \(r(x) \le \lVert x \rVert \)

또한 보조정리 1에 의하여 \[\lim_{\lambda \to \infty} \lVert R_x (\lambda ) \rVert =0\] 임을 알 수 있다. 만약 \(\lambda \in \rho (x)\)이고 \(\lvert \mu \rvert < \lVert R_x (\lambda ) \rVert ^{-1}\)이면 \(\lambda - \mu \in \rho (x) \)이고 \[R_x ( \lambda - \mu ) = \sum_{n=0}^{\infty} R_x ( \lambda )^{n+1} \mu^n \] 이다.

정리 3. 분해 \(\rho (x)\)는 항상 열린집합이고 \(\mathbb{C}\)에서 \(\infty\)의 근방을 포함하며 그 스펙트럼은 항상 공집합이 아니고 긴밀집합이다.

증명. 앞의 논의에 의하여 분해는 열린집합이고, 따라서 그 스펙트럼은 닫힌집합이다. 이것은 또한 유계이므로 긴밀집합이다.

스펙트럼이 공집합이 아님을 보이기 위하여 \(f\in X^*\)가 주어졌다고 하고 \(\phi (\lambda ) = f[R_x ( \lambda )]\)로 정의하자. 그러면 \(\phi\)는 \(\rho (x)\)로부터 \(\mathbb{C}\)에로의 일대일함수이며 해석적이다. 왜냐하면 \(\mu\)가 충분히 작을 때 \[\phi ( \lambda - \mu ) = \sum_{n=0}^{\infty} f[ R(\lambda )^{n+1} ] \mu ^n \] 으로 나타낼 수 있기 때문이다. 만약 \(\sigma (x) \)가 공집합이면 \(\phi\)는 정함수이다. 이 함수는 무한대에서 \(0\)에 수렴하므로 유계이다. 따라서 Liouville의 정리에 의하여 \(\phi\)는 \(0\)의 값을 갖는 상수함수이다. 그러므로 임의의 \(f\in X^*\)에 대하여 \(f[(\lambda 1-x)^{-1}] = 0\)이다. 이것은 \( (\lambda 1 - x)^{-1} = 0 \)을 의미하는데, 이는 모순이다.

따름정리 4. (Gelfand-Mazur) \(X\)가 복소 Banach 나눗셈 대수이면 \(X\)는 \(\mathbb{C}\)와 등거리 동형이다.

증명. \(x\in X \setminus \left\{ 0 \right\}\)에 대하여 \(\lambda \in \sigma (x) \)라고 하자. 그러면 \(x - \lambda 1\)은 비가역이고 \(X\)는 나눗셈 대수이며 이것은 \(x = \lambda 1\)을 의미한다. 따라서 \(X = \mathbb{C} 1\)이다.

이제 함수미적분학(functional calculus)에 대하여 생각해보자. \(x\in X\)이고 \(f\)가 복소함수이며 중심이 원점이고 반지름이 \(\lVert x \rVert\)인 닫힌원판 위에서 해석적이라고 하자. 그러면 두 가지를 생각할 수 있다.

  • \(x\)에 대한 \(f\)의 거듭제곱급수를 전개하여 \(f(x) \in X\)를 정의하거나,
  • 복소함수 \(f\)는 \(x\)의 스펙트럼을 \(f(x)\)의 스펙트럼에 대응시키는 일대일함수이다. [사실 \(f\)는 위에로의 함수이기도 하다. \(f\)가 다항함수인 경우에 이것이 성립함을 뒤에서 살펴볼 것이다.]

이것을 증명해보자. \(f\)의 거듭제곱급수가 중심이 원점이고 수렴반경이 \(\lVert x \rVert\)를 초과한다고 가정하자. 그러면 \[\sum _{n=0}^{\infty} \lvert a_n \rvert \lVert x \rVert ^n < \infty \] 이고 \[f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n \] 으로 나타낼 수 있다. 따라서 급수 \(\sum a_n x^n \)은 Banach 공간 \(X\)에서 절대수렴한다.

이제 \(\lambda \in \sigma (x)\)라고 하자. 그러면 \[P_n = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda ^k x^{n-k-1}\] 에 대하여 \[\begin{eqnarray} f(\lambda )1 - f(x) &=& \sum_{n=1}^{\infty} a_n ( \lambda ^n 1- x^n ) \\[6pt] &=& (\lambda 1-x) \sum_{n=1}^{\infty} a_n P_n \\[6pt] &=& \sum_{n=1}^{\infty} a_n P_n (\lambda 1-x ) \end{eqnarray}\] 가 성립한다. \(\lVert P_n \rVert \le n\lVert x \rVert ^{n-1}\)이므로 \(\sum _{n=1}^{\infty} a_n P_n\)은 적당한 \(y\in X\)에서 수렴한다 따라서 \[f(\lambda ) 1 - f(x) = (\lambda 1-x)y = y(\lambda 1-x) \] 이다. 만약 \(f(\lambda ) 1-f(x)\)가 가역이면 \(\lambda 1-x\)도 가역이 되는데 \(\lambda \in \sigma (x)\)이므로 모순이다. 따라서 \(f(\lambda )1 - f(x)\)는 가역이 아니다. 이로써 임의의 \(\lambda \in \sigma (x)\)에 대하여 \(f(\lambda ) \in \sigma (f(x))\)임을 증명하였다.

정리 5. (스펙트럼 반지름 공식) \(r(x) = \lim_{n\to\infty} \lVert x^n \rVert ^{1/n} = \inf _n \lVert x^n \rVert ^{1/n} \)

증명. \(\lambda \in \sigma (x)\)이면 \(\lambda ^n \in \sigma (x^n )\)이므로 \(\lvert \lambda ^n \rvert \le \lVert x^n \rVert \)이다. 따라서 \[r(x) \le \inf_{n} \lVert x^n \rVert ^{1/n} \] 이다. 이제 \(f\in X^*\)에 대하여 \[\phi (\lambda ) = f[(\lambda I-x)^{-1}] = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n-1} f(x^n ) \] 으로 정의된 함수 \(\phi\)를 생각하자. 명백히 \(\lambda > \lVert x \rVert \)에 대하여 \(\phi\)는 해석적이다. 그런데 \(\phi\)는 \(\lambda > r(x)\)인 범위에서 해석적인 함수로 확장되며 \(\lambda \to \infty\)일 때 \(0\)에 수렴한다. \(\varphi (\lambda ) = \phi ( 1/ \lambda )\)라고 하자. 그러면 \(\varphi\)는 원점에서 함숫값이 \(0\)이고, 중심이 \(0\)이고 반지름이 \(1/r(x)\)인 열린구 위에서 해석적인 함수가 된다. 따라서 \[\frac{\varphi (\lambda )}{\lambda} = \sum_{n=0}^{\infty} f(\lambda ^n x^n ) \] 이다. 이것은 \(\lvert \lambda \rvert < 1/r(x)\)인 \(\lambda\)와 \(f\in X^*\)에 대하여 \(f(\lambda ^n x^n )\)이 유계임을 뜻한다. 균등유계 원리에 의하여 \(\lambda^n x^n\)들의 모임 \(K\)는 \(X\)에서 유계이다. 따라서 \[\lVert x^n \rVert ^{1/n} \le K^{1/n} \lvert \lambda \rvert \,\to\, 1/\lvert \lambda \rvert \] 이다. 이것은 \(\lvert \lambda \rvert < 1/r(x)\)인 임의의 \(\lambda\)에 대하여 참이므로 \[\varlimsup _{n\to \infty} \lVert x^n \rVert ^{1/n} \le r(x) \] 가 성립한다.

따름정리 6. \(H\)가 Hilbert 공간이고 \(T\in B(H)\)가 정규작용소이면 \(r(T) = \lVert T \rVert\)이다.

증명. \(T^* T\)가 자기수반 작용소이므로 \[\lVert T \rVert ^2 = \sup_{\lVert x \rVert \le 1} \langle Tx ,\, Tx \rangle = \sup_{\lVert x \rVert \le 1} \langle T^* Tx ,\, x \rangle = \lVert T^* T \rVert \] 이다. \(T\)가 정규작용소이므로 \[\begin{eqnarray} \lVert T^* T \rVert ^2 &=& \sup_{\lVert x \rVert \le 1} \langle T^* T x ,\, T^* T x \rangle \\[6pt] &=& \sup_{\lVert x \rVert \le 1} \langle TT^* Tx ,\, Tx \rangle \\[6pt] &=& \sup_{\lVert x \rVert \le 1} \langle T^* T^2 x ,\, Tx \rangle \\[6pt] &=& \sup_{\lVert x \rVert \le 1} \langle T^2 x ,\, T^2 x \rangle \\[6pt] &=& \lVert T^2 \rVert ^2 \end{eqnarray}\] 이다. 따라서 \(\lVert T \rVert ^2 = \lVert T^2 \rVert \)이다. \(T\)를 \(T^2\)으로 바꾸면 \(\lVert T \rVert^4 = \lVert T^4 \rVert\)를 얻으며 같은 방법으로 지수가 \(2\)의 거듭제곱인 모든 경우에 대하여 성립함이 증명된다. 따라서 정리 5에 의하여 결과를 얻는다.

이제 \(p\)가 다항함수인 경우 \(p\)가 \(\sigma (x)\)로부터 \(\sigma (p(x))\) 위에로의 함수임을 증명하자.

정리 7. (스펙트럼 사상 정리) \(X\)가 항등원을 갖는 복소 Banach 대수이고 \(x\in X\)이며 \(p\)가 복소계수를 갖는 일변수 다항식이라고 하자. 그러면 \[p(\sigma (x)) = \sigma (p(x))\] 이다.

증명. \(p(\sigma (x)) \subseteq \sigma (p(x))\)가 성립함은 이미 증명하였다. 이제 \(\lambda \in \sigma (p(x))\)라고 하자. 대수학의 기본정리에 의하여 \(p - \lambda\)를 분해하면 영 아닌 \(a\in \mathbb{C}\)와 근 \(\lambda_i \in \mathbb{C}\)가 존재하여 \[p(x) - \lambda 1 = a \prod_{i=1}^{n} (x- \lambda_i 1)\] 로 표현된다. \(p(x) - \lambda 1\)은 가역이 아니므로 \(x - \lambda_i 1\)이 가역이 아닌 \(i\)가 존재한다. 즉 \(\lambda_i \in \sigma(x)\)이므로 \[\lambda = p(\lambda_i ) \in p(\sigma(x))\] 이다.

References

  • Douglas N. Arnold, 『Functional Analysis』, Department of Mathematics, Penn State University, 1997.
  • John B. Conway, 『A Course in Functional Analysis』, 2ed, Springer-Verlag, 1990.
  • Gert K. Pedersen, 『Analysis Now』, Springer-Verlag, 1989.
  • Walter Rudin, 『Functional Analysis』, 2ed, McGraw Hill, 1991.
  • Robert J. Zimmer, 『Essential Results of Functional Analysis』, University of Chicago Press, 1990.

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