자기수반 긴밀작용소의 스펙트럼

By | June 2, 2017

이 글에서 \(X\)는 완비인 Hilbert 공간을 나타내는 것으로 약속한다. \(T : X \to X\)가 유계선형범함수이면 \(X\)와 \(X^*\) 사이의 Riesz 동형성을 통해 \(T^*\)를 \(X\)로부터 \(X\)로의 사상으로 여길 수 있다. 즉 \(T^*\)가 \[\langle T^* x ,\,y \rangle = \langle x ,\, Ty \rangle\] 로 정의된 것으로 생각할 수 있다. 유한 차원 복소 Hilbert 공간의 경우 \(T\)는 복소사각행렬로 표현될 수 있으며 \(T^*\)는 에르미트 전치행렬로 표현된다.

에르미트 전치행렬이 실고윳값을 갖고 고유벡터인 정규직교기저를 갖는다는 사실을 선형대수학에서 살펴보았다. Hilbert 공간 위에서의 자기수반 작용소에 대해서는, 임의의 고윳값이 실수이고 각 고윳값에 대응되는 고유벡터들이 직교임을 보이는 것은 어렵지 않다. 그러나 고유벡터들의 정규직교기저가 존재하지 않을 수도 있으며, 심지어는 영벡터가 아닌 고유벡터들이 아예 존재하지 않을 수도 있다. 예를 들어 \(X = L^2 ( [ 0,\,1 ] )\)이라고 하고 \(u\in L^2\)에 대하여 \(Tu(x) = xu(x)\)라고 하자. 명백히 \(T\)는 유계이고 자기수반 작용소이다. 그러나 \(T\)는 고윳값을 갖지 않는다.

정리 1. (자기수반 긴밀작용소의 스펙트럼)
\(T\)가 Hilbert 공간 \(X\) 위에서의 자기수반 긴밀작용소라고 하자. 그러면 \(T\)의 고유벡터들에 대응되는 정규직교기저가 존재한다.

위 정리의 증명을 위하여 다음 보조정리를 도입한다.

보조정리 2. \(T\)가 Hilbert 공간 위에서의 자기수반 작용소이면 \[\lVert T \rVert = \sup\left\{\langle Tx,\,x\rangle\rvert \,\vert\, \lVert x \rVert \le 1 \right\}\] 이 성립한다.

증명. \(\alpha = \sup \left\{\lvert\langle Tx ,\,x \rangle\rvert \,\vert\, \lVert x \rVert \le 1 \right\}\)이라고 하자. 임의의 \(x,\) \(y\)에 대하여 \[\lvert \langle Tx,\,y \rangle \rvert \le \alpha \lVert x \rVert \lVert y \rVert \] 임을 보이면 충분하다. 일반성을 잃지 않고 \(x\)와 \(y\)가 \(0\)이 아니라고 할 수 있다. 더욱이 일반성을 잃지 않고 \(y\)에 적절한 복소수를 곱하여 \(\langle Tx,\,y \rangle \ge 0\)이라고 할 수 있다. 따라서 \[\begin{eqnarray} \langle T(x+y) ,\, x+y \rangle &-& \langle T(x-y) ,\, x-y \rangle \\[5pt] &=& 4 \mathrm{R e} \langle Tx ,\,y \rangle \\[5pt] &=& 4 \lvert \langle Tx,\,y \rangle \rvert \end{eqnarray}\] 이므로 \[\lvert \langle Tx,\,y \rangle \rvert \le \frac{\alpha}{4} (\lVert x+y \rVert ^2 + \lVert x-y \rVert ^2 ) = \frac{\alpha}{2} ( \lVert x \rVert ^2 + \lVert y \rVert ^2 )\] 이다. 여기서 \(x\)를 \(\sqrt{\lVert y \rVert / \lVert x \rVert } x \)로, \(y\)를 \(\sqrt{\lVert x \rVert / \lVert y \rVert } y \)로 교체하면 정리의 결과를 얻는다.

정리 1의 증명. 먼저 \(T\)가 영벡터가 아닌 고유벡터를 가짐을 보이자. 만약 \(T=0\)이면 이것은 자명하다. 따라서 \(T\neq 0\)이라고 가정하자. \(\lVert x_n \rVert = 1\)인 수열 \(x_n \in X\)를 택하되 이 수열이 \[\left\lvert \langle Tx_n ,\,x_n \rangle \right\rvert \,\to\, \lVert T \rVert \] 를 만족시키도록 하자. \(T\)가 자기수반 작용소이고 \(\langle Tx_n ,\,x_n \rangle \in \mathbb{R}\)이므로 \(x_n\)의 부분수열이 존재하여 \(\langle Tx_n ,\,x_n \rangle \to \lambda = \pm \lVert T \rVert \)를 만족시킨다. (여기서 부분수열도 \(x_n\)으로 나타냈다.) \(T\)는 긴밀작용소이므로 다시 이 부분수열의 부분수열이 존재하여 \(Tx_n \to y \in X\)를 만족시킨다. 또한 \(\lVert y \rVert > \lvert \lambda \rvert > 0\)이 성립한다.

\(T\)가 자기수반 작용소이고 \(\lambda\)가 실수이므로 \[\begin{eqnarray} \lVert tx_n - \lambda x_n \rVert ^2 &=& \lVert Tx_n \rVert ^2 - 2 \lambda \langle Tx_n ,\, x_n \rangle + \lambda ^2 \lVert x_n \rVert ^2 \\[5pt] &\le & 2\lVert T \rVert ^2 - 2\lambda \langle Tx_n ,\, x_n \rangle \\[5pt] & \to & 2 \lVert T \rVert ^2 - 2\lambda ^2 =0 \end{eqnarray}\] 이 성립한다. \(Tx_n \to y\)이므로 \(\lambda x_n \to y\) 즉 \(x_n \to y/\lambda \neq 0\)을 얻는다. 이 값을 \(T\)에 대입하면 \(Ty/\lambda = y\)이므로 \(\lambda\)는 \(0\)이 아닌 고윳값이다.

증명을 완성하기 위하여 \(T\)의 고유벡터들로 구성된 \(X\)의 정규직교 부분집합을 생각하자. Zorn의 보조정리에 의하여 이 집합은 극대원소 \(S\)를 가진다. \(W\)가 \(S\)의 생성의 폐포라고 하자. 명백히 \(TW\subseteq W\)이고 \(T\)는 자기수반 작용소이므로 \(TW^{\perp} \subseteq W^{\perp}\)가 성립한다. 따라서 \(T\)는 \(W^{\perp}\) 위에서 자기수반 작용소와 동일하며 \(W^{\perp}=0\)인 경우만 제외하면 \(T\)는 \(W^{\perp}\)에서 고유벡터를 가진다. 그러나 이것은 \(S\)가 극대원소라는 사실에 모순이다. 왜냐하면 이 원소를 \(S\)에 첨가하여 고유벡터들로 이루어진 더 큰 정규직교집합을 얻을 수 있기 때문이다.

따라서 \(W^{\perp} = 0\)이고 \(S\)는 정규직교 기저이다.

고윳값의 집합에 대한 다음 정리도 스펙트럼 정리의 일종으로 생각할 수 있다.

정리 3. \(T\)가 Hilbert 공간 위에서의 자기수반 긴밀작용소이면 \(T\)의 영 아닌 고윳값들의 집합은 유한이거나 또는 \(0\)에 수렴하고 각 고윳값에 대응되는 고유공간들은 모두 차원이 유한인 수열이 된다.

참고로 위 정리에서 \(0\)은 고윳값이 될 수도 있고 되지 않을 수도 있으며, 그 고유공간은 유한일 수도 있고 아닐 수도 있다.

증명. \(e_i\)가 고유벡터들의 정규직교기저이고 \(Te_i = \lambda_i e_i\)를 만족시킨다고 하자. \(i\)들의 집합을 \(I\)라고 하자. 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(S = \left\{ i \in I \,\vert\, \lvert \lambda_i \rvert \ge \epsilon \right\}\)이 유한집합임을 보여야 한다. 그러면 각 \(i,\,j\in I\)에 대하여 \[\lVert Te_i - Te_j \rVert ^2 = \lVert \lambda_i e_i - \lambda_j e_j \rVert ^2 = \lvert \lambda_i \rvert ^2 + \lvert \lambda_j \rvert^2 \] 이므로 \(\lVert Te_i - Te_j \rVert^2 \ge 2\epsilon ^2\)이기 때문이다. \(S\)가 무한집합이라고 가정하자. 그러면 \(X\)에서 단위원들을 택하여 \(T\)에 의한 단위원들의 상이 수렴하지 않도록 단위원들의 수열을 구성할 수 있다. 이것은 \(T\)가 긴밀작용소라는 사실에 모순이다.

\(X\)가 무한 차원 가분 Hilbert 공간이고 \(\left\{ e_n \,\vert\, n\in \mathbb{N} \right\}\)이 정규직교기저이며 \(X\) 위에서 자기수반 긴밀작용소 \(T\)에 대응되는 것이라고 하자. 그러면 \[U\left( \sum_{n} c_n e_n \right) = \left( c_0 ,\, c_1 ,\, c_2 ,\, \cdots \right) \] 로 정의된 사상 \(U : X \to l_2\)는 동형사상이다. 더욱이 \(T\)의 작용을 \(l_2\)에 전달할 때 이 사상을 이용하면, 즉 \(l_2\) 위에서의 작용소 \(UTU^{-1}\)를 생각하면, 이 작용소는 단순히 유계인 수열 \[\left(\lambda_0 ,\, \lambda_1 ,\, \cdots \right) \in l_{\infty}\] 의 곱인 것으로 생각할 수 있다. 따라서 스펙트럼 정리는 임의의 자기수반 긴밀작용소 \(T\)가 \(l_2\) 위에서의 곱 작용소와 유니타리하게 동등(unitarily equivalent)함을 의미한다. Hilbert 공간 사이에서의 동형사상을 유니타리 작용소라고 부르기도 한다. 참고로 이 작용소는 \(U^* = U^{-1}\)을 만족시킨다.

정리 4. (교환하는 자기수반 긴밀작용소의 스펙트럼) \(T\)와 \(S\)가 Hilbert 공간 \(H\) 위에서의 자기수반 긴밀작용소이고 \(TS = ST\)이면 \(X\)의 정규직교기저가 존재하여 그 기저원소들이 \(S\)와 \(T\) 모두의 고유벡터가 된다.

증명. \(T\)의 고윳값 \(\lambda\)에 대하여 그에 대응되는 \(T\)의 고유공간을 \(X_{\lambda}\)로 나타내자. 만약 \(x\in X_{\lambda}\)이면 \[TSx = STx = \lambda Sx\] 이므로 \(Sx \in X_{\lambda}\)이다. 따라서 \(S\)는 \(X_{\lambda}\) 위에서 자기수반 작용소와 동일하며, \(X_{\lambda}\)에 대한 \(S\)-고유벡터들의 정규직교기저가 존재한다. 이 정규직교기저는 \(T\)-고유벡터이다. 그러한 \(T\)의 고윳값 \(\lambda\)들의 모임을 모두 합집합하면 정리의 결론을 얻는다.

\(T_1\)과 \(T_2\)가 자기수반 작용소이고 \(T = T_1 + \boldsymbol{i} T_2\)라고 하자. 그러면 \[T_1 = \frac{T+T^*}{2} ,\,\, T_2 = \frac{T-T^*}{2}\] 이다. 역으로 만약 \(T\)가 \(B(X)\)의 원소이면 위와 같은 꼴의 두 자기수반 작용소를 정의할 수 있고, 이들은 \(T = T_1 + \boldsymbol{i} T_2\)를 만족시킨다. 이제 \(T\)가 긴밀작용소이고 정규작용소라고 가정하자. 즉 \(T\)와 \(T^*\)가 모두 교환한다고 하자. 그러면 \(T_1\)과 \(T_2\)는 모두 긴밀작용소이고 교환한다. 따라서 적당한 정규직교기저가 존재하여 그 기저원소들이 \(T_1\)과 \(T_2\) 모두의 고유벡터가 되며, 그 기저원소들은 \(T\)의 고유벡터가 된다. 그러한 고윳값들의 실수부와 허수부는 각각 \(T_1\)과 \(T_2\)의 고윳값이므로, 다시 그 고윳값들은 \(0\)에 수렴하는 수열을 이루며 모두 유한차원 고유공간을 가진다. 이로써 긴밀정규작용소로부터 고유벡터들의 정규직교기저를 구성할 수 있음을 보였다.

역으로, 만약 \(\left\{e_i \right\}\)가 \(T\)이 고유벡터들의 정규직교기저이면 \(i \neq j\)일 때 \(\langle T^* e_i ,\, e_j \rangle =0\)이고, 이것은 \(e_i\)가 \(T^*\)의 고유벡터임을 의미한다. 따라서 임의의 \(i\)에 대하여 \(T^* Te_i = TT^* e_i\)이고 \(T\)는 정규작용소가 된다.

지금까지 논의한 내용을 정리하면 다음과 같다.

정리 5. (긴밀정규작용소의 스펙트럼)
\(T\)가 Hilbert 공간 \(X\) 위에서의 긴밀작용소라고 하자. 이때 \(T\)의 고유벡터들로 구성된 \(X\)의 정규직교기저가 존재할 필요충분조건은 \(T\)가 정규작용소인 것이다. 이 경우, 영 아닌 고윳값들의 집합은 유한집합이거나 또는 \(0\)에 수렴하는 수열을 이루며, 영 아닌 고윳값들에 대응되는 고유공간들은 유한 차원을 가진다. 이 고윳값들이 모두 실수일 필요충분조건은 \(T\)가 자기수반 작용소인 것이다.

References

  • Douglas N. Arnold, 『Functional Analysis』, Department of Mathematics, Penn State University, 1997.
  • John B. Conway, 『A Course in Functional Analysis』, 2ed, Springer-Verlag, 1990.
  • Gert K. Pedersen, 『Analysis Now』, Springer-Verlag, 1989.
  • Walter Rudin, 『Functional Analysis』, 2ed, McGraw Hill, 1991.
  • Robert J. Zimmer, 『Essential Results of Functional Analysis』, University of Chicago Press, 1990.

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