선형작용소와 선형범함수

By | April 20, 2017

정의역과 공역이 노름선형공간인 함수를 작용소(operator)라고 부른다. 작용소 \(f : X \,\to\,Y\)가 단위구 \[B_1 (0) := \left\{x\in X \,\vert\, \lVert x \rVert < 1 \right\}\] 에서 유계일 때 \(f\)를 유계작용소(bounded operator)라고 부른다. 노름선형공간 \(X\)로부터 \(Y\)로의 유계선형작용소들의 모임을 \(B ( X,\,Y )\)로 표기한다.

유계성의 정의에 의하여 선형작용소 \(f\)가 유계일 필요충분조건은 양수 \(c\)가 존재하여 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[\lVert f(x) \rVert \le c \lVert x \rVert \tag{a}\] 를 만족시키는 것이다. 또한 이 조건의 필요충분조건은 \(f\)가 임의의 유계구(bounded ball)에서 유계인 것이다. 더욱이 다음이 성립한다.

정리 1. (유계선형작용소의 조건) 선형작용소 \(f : X \,\to\,Y\)에 대하여 다음은 서로 동등하다.

(1) \(f\)는 \(X\) 위에서 연속이다.
(2) \(f\)는 \(0\)에서 연속이다.
(3) \(f\)는 \(X\)의 적당한 점에서 연속이다.
(4) \(f\)는 유계이다.

증명. 명백히 (1)⇒(2)⇒(3), (4)⇒(2)가 성립한다.

이제 (3)⇒(1)이 성립함을 보이자. \(f\)가 \(x_0\)에서 연속이고, \(x\in X\)라고 하자. 만약 \(x_n \,\to\, x\)이면 \[( x_n - x + x_0 ) \,\to\, x_0\] 이다. 따라서 \[\begin{eqnarray} f(x_0 ) &=& \lim_{n\to\infty} f(x_n - x+x_0 ) \\[5pt] &=&\lim_{n\to\infty} [ f(x_n ) - f(x) + f(x_0 )] \\[5pt] &=&\lim_{n\to\infty} f(x_n ) - f(x) + f(x_0 ) \end{eqnarray}\] 이다. 즉 \(n \,\to\,\infty\)일 때 \(f(x_n )\,\to\, f(x)\)이므로 \(f\)는 \(x\)에서 연속이다.

끝으로 (2)⇒(4)가 성립함을 보이자. \(f\)가 \(0\)에서 연속이므로 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(\lVert h \rVert < \delta\)일 때마다 \(\lVert f(h) \rVert < 1 \)이 성립한다. 이제 \(x \in X\)이고 \(\epsilon > 0\)이라고 하자. 그러면 \[\left\lVert \frac{\delta}{\lVert x \rVert + \epsilon} x \right\rVert < \delta\] 이다. 따라서 \[1 > \left\lVert f \left( \frac{ \delta x}{\lVert x \rVert + \epsilon} \right) \right\rVert = \frac{\delta}{\lVert x \rVert + \epsilon} \lVert f(x) \rVert\] 이므로 \[\lVert f(x) \rVert < \frac{\lVert x \rVert + \epsilon}{\delta}\] 이 성립한다. 여기에 \(\epsilon \,\to\,0\)인 극한을 취하면 \(c = \delta ^{-1}\)에 대하여 부등식 (a)를 얻는다. 따라서 \(f\)는 유계이다.

노름선형공간 \(X,\) \(Y\)에 대하여 \(B(X,\,Y)\)는 벡터공간이다. 특히 \(B(X,\,X)\) 위에서는 함수의 합성으로서 곱을 정의할 수 있다. 이제 \(B(X,\,Y)\) 위에 적절한 노름을 정의해보자.

정리 2. \(X\)가 노름선형공간이고 \(Y\)가 Banach 공간이라고 하자. 이때 \(T\in B(X,\,Y)\)의 노름을 \[\lVert T \rVert _{B(X,\,Y)} := \sup \left\{ \frac{\lVert Tx \rVert_Y}{\lVert x \rVert_X} \,\bigg{\vert}\, x \in X ,\, x \ne 0 \right\} \tag{b}\] 으로 정의하면 \(B(X,\,Y)\)는 Banach 공간이다.

증명. \(B(X,\,Y)\)가 완비임을 증명하자. \(\left\{ T_n \right\}\)이 \(B(X,\,Y)\)에서의 Cauchy 수열이라고 하자. 그러면 각 \(x\in X\)에 대하여 \(\left\{ T_n x \right\}\)는 \(Y\)에서의 Cauchy 수열이다. 따라서 \(\left\{ T_n x \right\}\)는 \(Y\)에 속하는 점 \(Tx\)에 수렴한다.

실수열 \(\left\{ \lVert T_n \rVert \right\}\)은 Cauchy 수열이므로 유계이다. 그러므로 양수 \(K\)가 존재하여 임의의 \(n\)에 대하여 \(\lVert T_n \rVert \le K\)이다. 이때 \(\lVert T \rVert \le K \)가 성립하므로 \(T\)는 유계이다.

이제 \(\lVert T_n - T \rVert \,\to\,0\)임을 보이자. \[\begin{eqnarray} \lVert T_n - T \rVert &=& \sup_{\lVert x \rVert \le 1} \lVert T_n x - Tx \rVert \\[5pt] &=& \sup_{\lVert x \rVert \le 1} \lim_{m\to\infty} \lVert T_n x - T_m x \rVert \\[5pt] &=& \sup_{\lVert x \rVert \le 1} \varlimsup_{m\to\infty} \lVert T_n x - T_m x \rVert \\[5pt] &\le& \varlimsup_{m\to\infty} \lVert T_n - T_m \rVert \end{eqnarray}\] 이므로 \(\varlimsup_{n\to\infty} \lVert T_n - T \rVert =0 \)을 얻는다.

참고로 \(B(X,\,Y)\)의 노름 (b)는 \[\lVert T \rVert_{B(X,\,Y)} := \inf \left\{ c \in \mathbb{R} \,\vert\, (\forall x \in X)(\lVert f(x) \rVert \le c \lVert x \rVert )\right\}\] 로 정의할 수도 있다.

\(T \in B(X,\,Y)\)이고 \(U\in B(X,\,Z)\)이면 \[UT := U \circ T \in B(X,\,Z)\] 이고 \[\lVert UT \rVert_{B(X,\,Z)} \le \lVert U \rVert _{B(Y,\,Z)} \lVert T \rVert_{B(X,\,Y)}\] 이다. 특히 \(B(X) := B(X,\,X)\)는 Banach 대수이다. 이때 곱 연산은 함수의 합성이며 비간환이고 연속인 연산이다.

정의역이 벡터공간이고 공역이 체인 함수를 범함수(functional)라고 부른다. 또한 정의역이 노름선형공간 \(X\)인 범함수들의 모임 \(B(X,\,\mathbb{F})\)를 \(X\)의 쌍대공간(dual space)이라고 부르며 \(X^*\)로 표기한다. 만약 \(\mathbb{F}\)가 \(\mathbb{R}\) 또는 \(\mathbb{C}\)이면 노름선형공간 \(X\)가 완비인지의 여부에 상관 없이 그 쌍대공간 \(X^*\)는 완비공간이 된다.

다음으로 쌍대공간의 성질을 밝히는 데에 중요한 도구인 Hahn-Banach 정리를 살펴보자. 이 정리는 비자명 노름선형공간의 쌍대공간이 비자명임을 설명한다.

정리 3. (Hahn-Banach) \(f\)가 노름선형공간의 부분공간에서 정의된 유계선형범함수이면 \(f\)는 그 노름을 유지한 채 전체공간으로 확장될 수 있다.

보통 노름의 존재성과 선형성 사이에 관련이 있는 경우는 많지 않다. 대신 선형성을 조금 약화시키면 노름과 연관하여 유용하게 사용될 수 있다. 벡터공간 \(X\)에 대하여 함수 \(p : X \,\to\,\mathbb{R}\)가 주어졌다고 하자. 만약 \(p\)가 두 조건 \[(\forall x \in X)(\forall y \in X)(p(x+y) \le p(x)+p(y)) ,\] \[(\forall \alpha \ge 0)(x \in X)( p ( \alpha x ) = \alpha p(x))\] 을 모두 만족시키면 \(p\)를 부분선형함수(sublinear function)이라고 부른다.

정리 4. (일반화된 Hahn-Banach 정리) \(X\)가 벡터공간이고 \(S\)가 \(X\)의 부분공간이며 \(f : S \,\to\,\mathbb{R}\)가 선형사상이라고 하자. 만약 부분선형범함수 \(p : X \,\to\,\mathbb{R}\)가 존재하여 임의의 \(x\in S\)에 대하여 \(f(x) \le p(x)\)를 만족시키면 \(f\)는 동일한 부등식을 만족시키면서 \(X\) 전체로 확장될 수 있다.

증명. \(f\)를 \(S\)의 생성 \(\langle S \rangle\)로 확장한 후 한 점 \(x_0 \in X \setminus S\)에서 \(f(x) \le p(x) \)가 성립함을 보이면 충분하다. 그 후에 Zorn의 보조정리를 이용하여 \(f\)를 \(X\) 전체로 확장할 수 있기 때문이다.

임의의 \(t \in \mathbb{R}\)와 \(s\in S\)에 대하여 \(f ( tx_0 + s ) \le p(tx_0 +s)\)가 성립하도록 \(f(x_0 )\)을 정의해야 한다. \(t=0\)인 경우는 자명하다. 일반성을 잃지 않고 \(t = \pm 1\)이라고 하자. 이제 임의의 \(s\in S\)에 대하여 부등식 \[f(s) - p(-x_0 +s ) \le f(x_0 ) \le p(x_0 +s) - f(s) \tag{c} \] 를 만족시키도록 \(f(x_0 )\in \mathbb{R}\)를 정하면 된다. 그런데 임의의 \(s_1 ,\, s_2 \in S\)에 대하여 \[f(s_1 )-p (-x_0 +s_1 ) \le p(x_0 + s_2 ) - f(s_2 ) \] 가 성립하므로 (c)를 만족시키는 값 \(f(x_0 )\)가 존재한다.

따름정리 5. \(X\)가 노름선형공간이고 \(x\in X\)이면 \(f\in X^*\)가 존재하여 \(\lVert f \rVert =1\)이면서 \(f(x) = \lVert x \rVert \)를 만족시킨다.

따름정리 6. \(X\)가 노름선형공간이고 \(S\)가 \(X\)의 닫힌부분공간이며 \(x\in X\)이면 노름이 \(1\)인 범함수 \(f \in X^*\)가 존재하여 \(f(x) = \lVert \overline{x} \rVert_{X/S}\)를 만족시킨다.

References

  • Douglas N. Arnold, 『Functional Analysis』, Department of Mathematics, Penn State University, 1997.
  • John B. Conway, 『A Course in Functional Analysis』, 2ed, Springer-Verlag, 1990.
  • Gert K. Pedersen, 『Analysis Now』, Springer-Verlag, 1989.
  • Walter Rudin, 『Functional Analysis』, 2ed, McGraw Hill, 1991.
  • Robert J. Zimmer, 『Essential Results of Functional Analysis』, University of Chicago Press, 1990.

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