내적공간과 노름공간

By | March 20, 2017

함수해석학은 벡터공간의 해석적 성질과 벡터공간 사이의 선형작용소에 대하여 연구하는 수학의 분야이다. 따라서 내적공간과 노름공간의 개념은 함수해석학을 공부하는 데에 필수적인 기초 내용이다.

정의 1. \(X\)가 체 \(\mathbb{F}\) 위에서의 벡터공간이라고 하자. 함수 \(p : X \to [ 0,\, \infty ) \)가 두 조건

(1) \((\forall x \in X)(\forall y \in X)\)\((p(x+y) \le p(x) + p(y))\)

(2) \((\forall x \in X)(\forall \alpha \in \mathbb{F})\)\((p(\alpha x) = | \alpha | p(x)) \)

를 모두 만족시키면 \(p\)를 \(x\) 위에서의 반노름(semi-norm)이라고 부른다. 만약 \(p\)가

(3) \((\forall x \in X)\)\(((p(x)=0) \, \rightarrow \, (x=0))\)

도 만족시키면 \(p\)를 \(X\) 위에서의 노름(norm)이라고 부른다.

공간 \(X\) 위에서의 노름을 \(\lVert \cdot \rVert _X \)로 표기하며, 혼동할 염려가 없을 때에는 그냥 \(\lVert \cdot \rVert \)로 표기한다.

벡터공간 \(X\)에 노름 \(\lVert \cdot \rVert \)가 주어졌을 때, 임의의 \(x,\,y \in X \)에 대하여 \[d(x,\,y) := \lVert x-y \rVert \] 라고 하면 \(d\)는 \(X\) 위에서의 거리함수가 된다. 이러한 거리 \(d\)에 의하여 유도된 위상은 \(X\) 위에서의 Hausdorff 위상이 되며, 이러한 위상에 의하여 벡터공간 \(X\)에서의 벡터합, 스칼라곱은 연속인 함수가 된다. 이때 공간 \(X\)를 노름선형공간(normed linear space) 또는 노름벡터공간이라고 부른다. 또한 완비인 노름선형공간을 Banach 공간이라고 부른다.

정의 2. \(X\)가 체 \(\mathbb{F}\) 위에서의 벡터공간이라고 하자. 함수 \(u : X^2 \to [0,\, \infty )\)가 네 조건

(1) \((\forall \alpha \in \mathbb{F})(\forall \beta \in \mathbb{F})\)\((\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)\)\(( u(\alpha x + \beta y ,\,z) = \alpha u(x,\,z) + \beta u(x,\,z))\)

(2) \((\forall \alpha \in \mathbb{F})(\forall \beta \in \mathbb{F})\)\((\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)\)\(( u(x,\, \alpha y + \beta z) = \overline{\alpha} u(x,\,y) + \overline{\beta} u(x,\,z))\)

(3) \((\forall x \in X)\)\((u(x,\,x) \ge 0)\)

(4) \((\forall x \in X)(\forall y \in X)\)\(( u(x,\,y) = \overline{u(y,\,x)})\)

를 모두 만족시키면 \(u\)를 \(X\) 위에서의 반내적(semi-inner product)이라고 부른다. 만약 \(u\)가

(5) \((\forall x \in X)\)\(( (u(x,\,x) =0 )\, \rightarrow \,(x=0))\)

도 만족시키면 \(u\)를 \(X\) 위에서의 내적(inner product)이라고 부른다.

공간 \(X\) 위에서의 내적 \(u(x,\,y)\)를 \(\langle x,\, y \rangle _X \)로 표기하며, 혼동할 염려가 없을 때에는 그냥 \(\langle x ,\, y \rangle \)로 표기한다. 내적이 주어진 공간을 내적공간이라고 부른다.

만약 \(\langle \,,\,\rangle\)가 반내적이면 \[p(x) := \sqrt{\langle x,\, x\rangle }\] 로 정의된 함수 \(p\)는 반노름이 된다. 만약 \(\langle \,,\, \rangle\)가 내적이면 \(p\)는 노름이 된다. 이와 같은 관점에서 내적공간에는 모루 노름이 주어진 것으로 볼 수 있다. 즉 내적공간은 노름공간이다. 특히 완비인 내적공간을 Hilbert 공간이라고 부른다.

내적공간에서는 내적에 의하여 유도된 노름을 이용하여 원래의 내적을 다음과 같이 표현할 수 있다. \[\langle x ,\, y \rangle = \frac{1}{4} \left( \lVert x+y \rVert ^2 - \lVert x-y \rVert ^2 \right) \] 위 등식을 극화항등식(polarization identity)이라고 부른다. 복소공간에서의 극화항등식은 \[\langle x,\,y\rangle = \frac{1}{4} \left( \lVert x+y \rVert ^2 + \boldsymbol{i} \lVert x+ \boldsymbol{i}y \rVert ^2 - \lVert x-y \rVert ^2 - \boldsymbol{i} \lVert x- \boldsymbol{i} y \rVert ^2 \right)\] 이다. 또한 내적공간에서는 다음과 같은 등식이 성립한다. \[\lVert x+y \rVert ^2 + \lVert x-y \rVert ^2 = 2 \left( \lVert x \rVert ^2 + \lVert y \rVert ^2 \right) \] 이와 같은 성질을 평행사변형 법칙(parallelogram law)이라고 부른다. 내적에 의하여 유도된 노름은 항상 평행사변형 법칙을 만족시킨다. 역으로 만약 노름이 평행사변형 법칙을 만족시키면 그러한 노름공간은 극화항등식에 의하여 내적공간이 될 수 있다.

벡터공간 \(X\)에 주어진 위상 \(\mathcal{T}\)가 Haudorff 위상이고, 이 위상에 의하여 \(X\)에서의 벡터합과 스칼라곱이 모두 연속인 함수가 될 때 \(( X,\,\cal{T} )\)를 위상벡터공간(topological vector space)이라고 부른다. 위상벡터공간을 간단히 TVS로 표기한다.

\(\left\{ x_n \right\}\)이 TVS에서의 수열이라고 하자. 만약 \(0\)의 임의의 근방 \(U\)에 대하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(m \ge N,\) \(n \ge N\)일 때마다 \(x_m - x_n \in U \)를 만족시키면 \(\left\{x_n\right\}\)을 Cauchy 수열 또는 기본수열(fundamental sequence)이라고 부른다.

임의의 노름선형공간은 TVS이다. 벡터공간에서의 대수적 연산이 연속함수가 되도록 하는 위상을 부여하는 방법은 노름을 부여하는 것뿐만 아니라 여러 가지가 있다. \(X\)가 벡터공간이고 \(\left\{ \lVert \cdot \rVert _\alpha \, \vert \, \alpha \in \mathcal{A} \right\}\)가 \(X\)에서의 반노름들의 모임이며 \[\bigcap_{\alpha \in \mathcal{A}} \left\{ x \,\vert\, \lVert x \rVert_\alpha =0 \right\} =0 \] 을 만족시킨다고 하자. 이때 \[\mathcal{B} := \left\{ \left\{ x\,\vert\, \rVert x \rVert _\alpha < r \right\} , \, \alpha \in \mathcal{A} ,\, r > 0 \right\}\] 에 의하여 생성된 위상은 \(X\)를 TVS가 되게 한다. 이때 수열 \(\left\{x_n \right\}\)이 \(x\)에 수렴할 필요충분조건은 임의의 \(\alpha\)에 대하여 \[\lVert x_n - x \rVert _\alpha \,\to\, 0 \] 인 것이다. 명백히 \(\lvert \lVert x_n \rVert _\alpha - \lVert x \rVert _\alpha \rvert \,\to\, 0\)이므로, 각 반노름은 연속함수이다.

만약 주어진 반노름의 개수가 유한이면 단순히 그들을 더함으로써 동일한 위상을 구성할 수 있다. 만약 주어진 반노름의 개수가 가부번이면 함수 \(d\)를 \[d(x,\,y) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\frac{\lVert x-y \rVert _n}{1+ \lVert x-y \rVert _n }\] 으로 정의함으로써 거리함수 \(d\)를 얻을 수 있다. 따라서 \(\mathcal{B}\)에 의하여 생성된 위상공간은 거리화 가능한 공간(metrizable space)이다.

이제 위상벡터공간과 Banach 공간의 여러 가지 예를 살펴보자.

보기 1.  \(l_p\) 공간.

\(X = \mathbb{R} ^n\) 또는 \(X = \mathbb{C}^n \)이라고 하자. \(X\)의 원소 \(\left\{x_n\right\}\)에 대하여 \(l_p\) 노름을 다음과 같이 정의한다. \[\left\lVert x_n \right\rVert _p = \left( \sum_{k=1}^n \left| x_k \right| ^p \right)^{1/p}\] 여기서 \(1\le p\le \infty\)이다. 이들 노름은 모두 동치로서 동일한 위상을 유도한다. 그러나 \(p=2\)일 때에만 \(X\)는 Hilbert 공간이 된다.

보기 2.  \(C(\varOmega )\).

\(\varOmega\)가 Hausdorff 공간의 부분집합이고 \(C_b (\varOmega )\)가 \(\varOmega\) 위에서 정의된 유계연속실함수들의 모임이라고 하자. \(C_b (\varOmega )\)의 원소 \(f\)에 대하여 상한노름을 \[\lVert f \rVert = \sup_{x\in \varOmega} \lvert f(x) \rvert\] 로 정의한다. 이때 \(C_b (\varOmega )\)는 Banach 공간이 된다.

보기 3.  \(C^n ([a,\, b])\).

닫힌구간 \([a,\, b]\) 위에서 연속인 \(n\)계 도함수를 갖는 실함수들의 모임을 \(C^n ( [a,\,b])\)로 표기한다. \(C^n ([a,\,b]\)의 원소 \(f\)에 대하여 \[\lVert f \rVert = \sup_{k} \left( \sup_{x\in [a,\,b]} \left\lvert f^{(k)} (x) \right\rvert \right) \] 로 정의한다. 이때 \(C^n ([a,\, b])\)는 Banach 공간이 된다.

보기 4.  \(L^p\) 공간.

\(1 \le p < \infty\)이고 \(\varOmega\)가 \(\mathbb{R} ^n\)의 \(\sigma\)-유한 가측 부분공간이며, \(\varOmega\)에서 절댓값의 \(p\)제곱이 적분 가능한 가측함수들의 모임을 \(L^p (\varOmega )\)라고 하자. 만약 \(p = \infty\)인 경우에는 \(L^p (\varOmega )\)를 \(\varOmega\)에서 본질적으로 유계인 함수들의 모임인 것으로 정의한다. 이때 \(L^p (\varOmega )\)의 원소 \(f\)에 대하여 \[\lVert f \rVert _p = \left( \int_{\varOmega} \lvert f \rvert ^p \, d\mu \right)^{1/p}\] 로 정의한다. \(1 < p < \infty\)일 때 다음과 같은 Minkowski 부등식이 성립한다. \[\left( \int_{\varOmega} \lvert f+g \rvert ^p \, d\mu \right)^{1/p} \le \left( \int_{\varOmega} \lvert f \rvert ^p \, d\mu \right) ^{1/p} + \left( \int_{\varOmega} \lvert g \rvert ^p \, d\mu \right) ^{1/p} \] \(L^p (\varOmega )\)에서는 두 함수의 값이 다른 점들의 집합의 측도가 \(0\)인 경우 두 함수를 서로 같은 것으로 간주한다(자세한 설명). 이러한 관점에서 \(L^p (\varOmega )\)는 노름선형공간이다. 또한 Riesz-Fischer의 정리에 의하면 \(L^p (\varOmega )\)는 Banach 공간이며, 특히 \(p=2\)인 경우에는 Hilbert 공간이다. 만약 \(\varOmega\)가 유한 측도를 갖고 \(1\le q \le p \le \infty \)이면 \(L^p (\varOmega ) \subseteq L^q (\varOmega )\)가 성립한다.

보기 5.  \(l_p\) 공간과 \(c_0\) 공간.

\(X := \mathbb{N}\)에 셈측도(counting measure)가 주어졌을 때 수열공간 \(l_p\)는 Banach 공간이고 \(l_2\)는 Hilbert 공간이다. \(1\le p\le q\le \infty\)이면 \(l_p \subseteq l_q ) \)가 성립한다. 또한 \(0\)에 수렴하는 수열들의 모임 \(c_0\)는 \(l_\infty\)의 닫힌부분공간이다.

보기 6.  값매김 노름이 주어진 경우의 \(C(\varOmega )\).

\(\varOmega\)가 Hausdorff 공간이고 \(x\in\varOmega\)라고 하자. \(\varOmega\)에서 연속인 실함수들의 모임 \(C(\varOmega)\)의 원소 \(f\)에 대하여 노름이 \[\lVert f \rVert_x = \lvert f(x) \rvert \] 로 정의되었을 때 \(C(\varOmega )\)는 노름선형공간이며 TVS가 된다. 그러나 이 공간은 완비공간은 아니다.

보기 7.  긴밀부분집합 위에서의 노름이 주어진 경우의 \(C(\varOmega )\).

\(\varOmega\)가 \(\mathbb{R} ^n\)의 열린부분집합이고 \(K\)가 \(\varOmega\)의 긴밀부분집합이라고 하자. \(f\in C(\varOmega )\)의 노름이 \[\lVert f \rVert _K = \lVert f \rVert _{L^\infty (K)}\] 로 주어졌다고 하자. 이것은 긴밀부분집합에서의 평등수렴으로써 위상을 유도한다. 또한 다음과 같이 가산 개의 긴밀집합을 이용하여 동일한 위상을 유도할 수도 있다. \[K_n = \left\{ x \in \varOmega \,\vert\, \lvert x \rvert \le n ,\, \mathrm{d i s t} (x ,\, \partial \varOmega ) \ge 1/n \right\}\] 이러한 위상이 주어진 공간 \(C( \varOmega )\)는 TVS이다.

보기 8.  \(H(\varOmega )\).

앞의 예 7에서 \(\varOmega\)가 \(\mathbb{C}\)의 부분영역이면 \(C(\varOmega )\)의 부분공간으로서 복소해석적인 함수들의 모임 \(H(\varOmega )\)를 생각할 수 있다. Weierstrass 정리에 의하여 \(H(\varOmega )\)는 \(C(\varOmega )\)의 닫힌부분공간이므로 \(H(\varOmega )\)는 TVS이다.

보기 9.  Sobolev 공간.

\(I = (0,\,1),\) \(f \in L^1 (I),\) \(g \in L^1 (I) \)라고 하자. 임의 횟수로 미분 가능하고 받침(support)이 \(I\)에 있는 함수 \(\phi\)에 대하여 \[\int_{0}^{1} f(x) \phi(x) \, dx = -\int_{0}^{1} g(x) \phi ' (x) \,dx \] 가 성립한다고 하자. 이때 \(f\)는 약미분 가능하다(weakly differentiable)라고 말하며 \(f ' = g \)로 나타낸다. 집합 \[W_{p}^{1} (I) := \left\{ f \in L^p (I) \,\vert\, f ' \in L^p (I) \right\}\] 에 노름 \[\lVert f \rVert _{W_{p}^{1} (I)} = \left( \int_{0}^{1} \lvert f(x) \rvert ^p \, dx + \int_{0}^{1} \lvert f ' (x) \rvert ^p \,dx \right)^{1/p}\] 가 주어졌을 때 \(W_{p}^{1} (I)\)를 Sobolev 공간이라고 부른다. 이 공간은 \(C^{1} ( \overline{I} ) \)보다 더 넓은 공간이지만 여전히 \(f\)가 미분 가능해야 한다는 조건이 필요하다. \(p=2\)인 경우 Sobolev 공간은 Hilbert 공간에서의 미분을 연구하는 도구가 되므로 매우 유용하다. Sobolev 공간에서 미분 가능성의 조건은 \(n\)번 미분 가능하다는 것으로 강화될 수 있으며, \(I\)는 \(\mathbb{R} ^n\)의 임의의 영역으로 바꾸어 정의될 수 있다.

References

  • Douglas N. Arnold, 『Functional Analysis』, Department of Mathematics, Penn State University, 1997.
  • John B. Conway, 『A Course in Functional Analysis』, 2ed, Springer-Verlag, 1990.
  • Gert K. Pedersen, 『Analysis Now』, Springer-Verlag, 1989.
  • Walter Rudin, 『Functional Analysis』, 2ed, McGraw Hill, 1991.
  • Robert J. Zimmer, 『Essential Results of Functional Analysis』, University of Chicago Press, 1990.

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