함수해석학의 기본 정리

By | May 2, 2017

함수해석학에서 중요한 정리로는 다음과 같은 것들을 꼽을 수 있다.

이 중에서 Hahn-Banach의 정리는 이미 살펴보았으므로(관련 글) 여기서는 열린 사상 정리, 균등유계 원리, 닫힌 치역 정리를 살펴보자. 스펙트럼 정리는 뒤에서 별도의 주제로 다룬다.

Baire의 범주 정리

먼저 Baire의 범주 정리를 살펴보자. 범주 정리는 해석학의 다양한 분야에서 보조정리로 사용된다.

\(S\)가 거리공간 \(M\)의 부분집합이고 \(\overline{S} = M\)일 때 '\(S\)는 \(M\)에서 조밀하다(dense)'라고 말한다. 또한 \(S\)의 닫개(closure)의 여집합의 닫개가 \(M\)과 같으면 '\(S\)는 \(M\)의 어느곳에서도 조밀하지 않다(nowhere dense)'라고 말한다.

\(X\)가 거리공간 \(M\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(X\)가 어느곳에서도 조밀하지 않은 집합들의 가산합집합으로 표현되면 \(X\)를 \(M\)에서의 제 1 범주의 집합(first category)이라고 부른다. \(X\)가 \(M\)에서의 제 1 범주의 집합이 아닐 때 \(X\)를 \(M\)에서의 제 2 범주의 집합(second category)이라고 부른다.

정리 1. (Baire의 범주 정리) \(M\)이 완비거리공간이면 \(M\)은 \(M\)에서 제 2 범주의 집합이다. 즉 완비인 거리공간은 어느곳에서도 조밀하지 않은 집합들의 가산합집합으로 표현될 수 없다.

증명. \(M\)이 완비인 거리공간이라고 하자. 그리고 결론에 반하여 \(M\)이 \(M\)에서 제 2 범주의 집합이라고 하자. 즉 공집합이 아닌 열린집합을 포함하지 않는 가산 개의 닫힌집합들 \(F_n\)이 존재하여 그들의 합집합이 \(M\)과 같다고 가정하자. \(F_0\)은 \(M\)의 닫힌 진부분집합이므로 \(x_0 \in M\)과 \(\epsilon_0 \in (0,\,1)\)이 존재하여 \[B ( x_0 ,\, \epsilon_0 ) M \subseteq \setminus F_0\] 을 만족시킨다. \(F_1\)은 열린구를 하나도 포함하지 않으므로 \(x_1 \in B(x_0 ,\, \epsilon_0 /2)\)와 \(\epsilon_1 \in ( 0,\, \epsilon_0 /2 )\)가 존재하여 \[B( x_1 ,\,\epsilon )\subseteq M \setminus F_1 \] 을 만족시킨다. 동일한 방법으로 열린 축소구열을 구성하여 \(n\)번째 항의 반지름이 \(2^{-n}\) 이하이고 \(F_n\)과 서로소가 되도록 할 수 있다. 그러한 열린구들의 중심은 Cauchy 수열을 이루며 \(M\)의 완비성에 의하여 \(M\)의 적당한 점 \(\lambda\)에 수렴한다. 그러나 \(\lambda\)를 원소로 갖는 \(F_n\)은 존재하지 않으므로 모순이다.

열린 사상 정리

범주 정리를 이용하여 열린 사상 정리를 이끌어낼 수 있다. 먼저 다음 보조정리를 증명하자.

보조정리 2. \(X,\) \(Y\)가 TVS이고 \(T : X \,\to\,Y\)가 유계선형작용소라고 하자. 만약 양수 \(r\)가 존재하여 \[B_r (0_Y ) \subseteq \overline { T(B_1 (0_X )) } \] 를 만족시키면 \[B_r (0_Y ) \subseteq T(B_2 (0_X )) \] 가 성립한다.

증명. \(U = T(B_1 (0_X )) ,\) \(y\in Y,\) \(\lVert y \rVert < r\)라고 하자. 그러면 \(y_0 \in U\)가 존재하여 \[\lVert y-y_0 \rVert \le \frac{r}{2}\] 를 만족시킨다. 같은 방법으로 \(y_1 \in 2^{-1} U\)가 존재하여 \[\lVert y - y_0 - y_1 \rVert \le \frac{r}{4}\] 를 만족시키며, \(y_2 \in 4^{-1} U\)가 존재하여 \[\lVert y-y_0 - y_1 - y_2 \rVert \le \frac{r}{8}\] 를 만족시킨다. 이 과정을 계속하여 수열 \(\left\{ y_n \right\}\)을 구성할 수 있다.

\(Tx_n = y_n\)을 만족시키는 \(x_n \in 2^{-n} U\)를 택하고 \[x = \sum_{n=1}^{\infty} x_n \in X\] 라고 하자. 그러면 \(\lVert x \rVert \le 2\)이고 \[T_x = \sum_{n=1}^{\infty} y_n = y\] 가 성립한다.

참고로 위 정리에서 \(2\)를 \(1\)보다 큰 어떠한 수로 바꾸든 정리의 결과가 성립한다. 또한 적당하 조건을 추가하면 \(2\)를 \(1\)로 바꾼 정리도 얻을 수 있다. 그러나 여기서는 위와 같은 정리만으로 충분하다.

정리 3. (열린 사상 정리) \(X,\) \(Y\)가 Banach 공간이고 \(T : X \,\to\,Y\)가 위에로의 유계선형작용소이면 \(T\)는 열린사상이다. 즉 \(T\)는 열린집합을 열린집합에 대응시킨다.

증명. \(T\)가 \(0\)을 중심으로 하는 하나의 열린구를 \(0\)을 원소로 갖는 열린구의 부분집합에 대응시킴을 증명하면 충분하다. 집합 \[C := \left\{T(B_n (0)) \,\vert\, n \in \mathbb{N} \right\}\] 은 \(Y\)의 덮개이므로 \(U \in C\)가 존재하여 \(\overline{U}\)가 적당한 열린구 \(B\)를 포함한다. 보조정리 2에 의하여 \(\overline{U}\)는 \(\overline{B}\)를 포함한다. 이때 \(T\)의 선형성에 의하여 정리의 결과를 얻는다.

열린 사상 정리의 따름정리로서 다음 두 정리를 얻는다.

따름정리 4. (역함수 정리, Banach의 정리) Banach 공간 사이의 유계선형작용소가 가역이면 그 역함수도 연속이다.

증명. 유계선형작용소는 열린사상이므로 그 역함수는 연속이다.

따름정리 5. (닫힌 그래프 정리) Banach 공간 사이의 선형작용소가 연속일 필요충분조건은 그 그래프가 닫힌집합인 것이다.

두 위상공간 사이의 사상이 닫힌사상이라 함은 그 그래프가 닫힌집합임을 의미한다. Hausdorff 공간에서 이 조건은 연속성보다 약한 조건이지만, 위 정리는 Banach 공간에서 두 조건이 서로 동치임을 말하고 있다. 보통 함수 \(T\)가 연속임을 보이기 위해서는 \(x\)에 수렴하는 임의의 수열 \(\left\{x_n \right\}\)에 대하여 \(\left\{Tx_n \right\}\)이 \(Tx\)에 수렴함을 보여야 한다. 이때 닫힌 그래프 정리를 이용하면 \(\left\{Tx_n \right\}\)의 수렴성을 가정한 채 그 극한을 \(y\)라고 하고 \(y = Tx\)만 보이면 된다.

따름정리 5의 증명. \(X,\) \(Y\)가 Banach 공간이고 \(T : X \,\to\,Y\)가 선형작용소이며 그 그래프를 \[G := \left\{ (x,\, Tx) \,\vert\, x\in X\right\}\] 라고 하자. 이때 \(G \subseteq X \times Y\)로부터 \(X\)에로의 사영사상 \((x,\,Tx) \,\mapsto\,x\)를 생각할 수 있는데, 이 사상은 유계선형작용소가 된다. 이 사상은 일대일대응이므로 Banach의 정리에 의하여 그 역함수도 연속이다. 그런데 그 역함수와 \(X\times Y\)로부터 \(Y\)로의 연속 사영사상과의 합성은 \(T\)이므로 \(T\)는 연속이다.

Banach의 정리를 응용하면 Banach 공간의 닫힌 매입(closed embedding)의 특성에 관한 유용한 정리를 이끌어낼 수 있다.

정리 6. \(T : X \,\to\,Y\)가 유계 선형작용소라고 하자. 이때 \(T\)가 일대일대응이고 닫힌치역을 가질 필요충분조건은 양수 \(c\)가 존재하여 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(\lVert x \rVert \le c \lVert Tx \rVert\)를 만족시키는 것이다.

증명. 정리의 부등식이 성립한다고 가정하자. 그러면 \(T\)는 일대일대응이다. 이때 \(\left\{Tx_n\right\}\)이 \(R(T)\)에서의 Cauchy 수열이면 \(\left\{x_n \right\}\)도 Cauchy 수열이고 적당한 \(x\in X\)에 수렴한다. 그러므로 \(\left\{Tx_n \right\}\)은 \(Tx\)에 수렴하며 \(R(T)\)는 닫힌집합이다.

역을 증명하기 위하여 \(T\)가 일대일대응이고 닫힌치역을 가진다고 가정하자. 그러면 역함수 \[T^{-1} : R(T) \,\to\, X\] 는 유계인 동형사상의 역함수이므로 연속함수이다. 따라서 \(c : = \lVert T^{-1} \rVert\)라고 하면 정리의 부등식이 성립한다.

참고로 Banach 정리의 또다른 따름정리를 얻을 수 있다. 즉 Banach 공간은 서로 동치인 약한 노름(weaker norm)과 강한 노름(stronger norm)을 가질 수 있으며 그러한 노름 위에서도 Banach 공간이 되는 것이다. 이것은 Banach의 정리를 항등함수에 적용함으로써 곧바로 얻을 수 있다.

균등유계 원리

Banach-Steinhaus의 정리라고도 불리는 균등유계 원리는 Baire의 범주 정리로부터 얻어진다.

정리 7. (균등유계 원리) \(X,\) \(Y\)가 Banach 공간이고 \(S\subseteq B(X,\,Y)\)라고 하자. 만약 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[\sup_{T\in S} \lVert T(x) \rVert_{Y} < \infty\] 이면 \[\sup_{T\in S} \lVert T \rVert < \infty\] 가 성립한다. 즉 Banach 공간 사이의 선형작용소들의 집합이 점별 유계이면 노름 유계이다.

증명. \(F_N := \left\{ x \,\vert\, ( \forall n\in\mathbb{N} )( \lvert f_n (x) \rvert \le N) \right\}\)이라고 하자. 그러면 \(m\in\mathbb{N},\) \(x_0 \in X, \) \(r > 0\)이 존재하여 \(B_r (x_0 ) \subseteq F_m \)을 만족시킨다. 따라서 \(\lVert x \rVert < r\)이면 \[\lvert f_n (x) \rvert \le \lvert f_n (x+x_0 ) -f_n (x_0 ) \rvert \le m + \sup_{n\in\mathbb{N}} \lvert f_n (x_0 ) \rvert =: M \] 이다. 여기서 \(M\)은 \(n\)에 대하여 독립적이다. 그러므로 \(\lVert f_n \rVert\)은 \(M/r\)에 의하여 균등유계이다.

균등유계 원리는 종종 반례를 만드는 데에 사용된다. 푸리에 급수에서의 예를 살펴보자. 연속이고 주기가 \(1\)인 함수 \(f : \mathbb{R} \,\to\, \mathbb{R}\)의 Fourier 급수의 \(n\)째 부분합은 \[\begin{eqnarray} f_n (s) &=& \sum_{k=-n}^{n} \int_{-1}^{1} f(t) e^{-2\pi \boldsymbol{i} k t} \, dt \,e^{2\pi \boldsymbol{i} k s} \\[5pt] &=&\int_{-1}^{1} f(t) D_n (s-t) \, dt \end{eqnarray}\] 이다. 여기서 \(D_n\)은 \[D_n (x) := \sum_{k=-n}^{n} e^{2 \pi \boldsymbol{i} k x}\] 으로 정의된 함수이다. 이 함수를 Dirichlet의 핵(Dirichlet kernel)이라고 부른다. \(D_n\)의 정의에 의하여 \[\begin{eqnarray} D_n (s) &=& \sum_{k=-n}^{n} z^k \\[5pt] &=& z^{-n}\frac{z^{2n} -1}{z-1} \\[5pt] &=& \frac{z^{n+1/2} - z^{-n-1/2}}{z^{1/2} - z^{-1/2}} \\[5pt] &=& \frac{\sin (2n+1) \pi x}{\sin \pi x} \end{eqnarray}\] 를 얻는다. 그러므로 \(D_n\)은 \(C^{\infty}\)급인 주기함수이다.

이와 같은 성질을 이용하여 \(0\)에서 \(f\)의 Fourier 급수의 \(n\)째 부분합의 값을 계산하면 \[T_n f := f_n (0) = \int_{-1}^{1} f(t) D_n (T) \, dt\] 이다. 이때 \(T_n\)은 주기가 \(1\)인 연속함수들의 모임에 상한노름(균등노름)이 주어진 Banach 공간 위에서의 선형범함수로서 생각할 수 있다. 명백히 \[\lVert T_n \rVert \le C_n := \int_{-1}^{1} \lvert D_n (t) \rvert \, dt\] 가 성립한다. 만약 \(g(t) = \mathrm{sign} D_n (t)\)이면 \(\sup \lvert g \rvert =1\)이고 \(T_n g = C_n \)이다. \(g\)는 연속함수가 아니지만 연속인 함수들로 이루어진 함수열로 충분히 큰사시킬 수 있다. 그러한 연속함수열을 이용하면 \(\lVert T_n \rVert = C_n\)이 증명된다. 그 후에 적분을 계산하면 \[\lim_{n\to\infty} \int_{-1}^{1} \lvert D_n (t) \rvert \, dt = \infty\] 를 얻는다. 따라서 균등유계 원리에 의하여 \(t=0\)에서 Fourier 급수가 발산하는 연속인 주기함수가 존재한다.

닫힌 치역 정리

이제 열린사상 정리를 이용하여 \(T\)와 \(T^*\)의 관계를 설명해보자. Banach 공간 사이의 작용소가 닫힌 치역(closed range)을 갖는지의 여부는 그 작용소의 구조를 밝히는 데에 깊이 연관된 성질이다. 만약 \(T : X \,\to\,Y\)가 닫힌치역 \(Z\)를 가지면, \(Z\)는 그 자체로서 Banach 공간이 되며, \(T\)는 \(X\)로부터 \(X/N(T)\)에로의 사영사상으로써, \(X/N(T)\)로부터 \(Z\)에로의 동형사상이 되며 \(Z\subseteq Y\)가 성립한다. 닫힌치역 정리에 의하면 \(T\)가 닫힌치역을 가질 필요충분조건은 \(T^*\)가 닫힌 치역을 갖는 것이다.

정리 8. \(T:X\,\to\,Y\)가 유계선형작용소라고 하자. 이때 \(T\)가 가역일 필요충분조건은 \(T^*\)가 가역인 것이다.

증명. \(S = T^{-1} : Y \,\to\,X\)가 존재하면 \(ST = I_X\)이고 \(TS = I_Y\)이므로 \(T^* S^* = I_X\)이고 \(S^* T^* = I_Y\)이다. 따라서 \(T^*\)는 가역이다.

이제 역을 증명하자. 만약 \(T^*\)가 가역이라면 열린사상이므로 양수 \(c\)가 존재하여 \[T^* B_{Y^*} (0,\,1) \subseteq B_{X^*} (0,\,c)\] 가 성립한다. 따라서 \(x\in X\)에 대하여 \[\begin{eqnarray} \lVert Tx \rVert &=& \sup \left\{ \lvert f(Tx) \rvert \,\vert\, f\in B_{Y^*} (0,\,1) \right\} \\[5pt] &=& \sup \left\{ \lvert (T^* f)x \rvert \,\vert\, f\in B_{Y^*} (0,\,1) \right\} \\[5pt] & \ge & \sup \left\{ \lvert g(x) \rvert \,\vert\, g \in B_{X^*} (0,\,c) \right\} \\[5pt] &=& c \lVert x \rVert \end{eqnarray}\] 가 성립한다. 양수 \(c\)가 존재하여 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[\lVert Tx \rVert \ge c \lVert \rVert \] 를 만족시킬 필요충분조건은 \(T\)가 닫힌치역을 갖는 일대일함수인 것이다. 그런데 \(T^*\)가 일대일함수이므로 \(T\)는 조밀한 치역을 가진다.

보조정리 9. \(T : X \,\to\,Y\)가 Banach 공간 사이의 선형사상이고 \(T^*\)가 일대일함수이며 닫힌 치역을 가진다고 하자. 그러면 \(T\)는 위에로의 함수이다.

증명. \(E\)가 \(X\)의 닫힌 단위구이고 \(F = \overline{TE}\)라고 하자. \(F\)가 원점을 원소로 갖는 구를 포함함을 증명하기만 하면 보조정리 2에 의하여 \(T\)는 위에로의 함수가 된다.

양수 \(c\)가 존재하여 임의의 \(f\in Y^*\)에 대하여 \(\lVert T^* f \rVert \ge c \lVert f \rVert\)를 만족시킨다. 이제 \(Y\)의 중심을 원소로 갖고 반지름이 \(c\)인 구가 \(F\)에 포함됨을 보이자. 만약 그렇지 않다고 가정하면 \(y\in Y\)가 존재하여 \(\lVert y \rVert \le c\)이지만 \(y \notin F\)이다. \(F\)가 닫힌 볼록집합이므로 \(f\in Y^*\)가 존재하여 \(x\in E ,\) \(f(y) > \alpha\)일 때마다 \(\lvert f(Tx) \rvert \le \alpha\)를 만족시킨다. 따라서 \(\lVert f \rVert > \alpha /c\)이다. 그러나 \[\lVert T^* f \rVert = \sup \left\{ \lvert T^* f(x) \rvert \,\vert\, x \in E \right\} = \sup \left\{ \lvert f(Tx) \,\vert\, x\in E \right\} \le \alpha \] 이므로 모순이다.

정리 10. (닫힌 치역 정리) \(T : X \,\to\, Y\)가 유계선형작용소라고 하자. \(T\)가 닫힌 치역을 가질 필요충분조건은 \(T^*\)가 닫힌 치역을 갖는 것이다.

증명. \(Z = R(T)\)가 닫힌집합이라고 하자. 역함수 정리에 의하여 \(\overline{T} : X/N(T) \,\to\, Z\)는 동형사상이다. 이때 다음 다이어그램은 교환(commute)한다. 여기서 각 공간의 쌍대공간과 각 선형사상의 수반사상(adjoint)을 취함으로써 다음 다이어그램을 얻는다. 따라서 \(R(T^* ) = [N(T)] ^a\)가 성립하므로 \(R(T^* )\)는 닫힌집합이다.

이제 역을 증명하자. \(R(T^* )\)가 닫힌집합이라고 하자. 그리고 \(Z = \overline{R(T)}\)라고 하자. 그러면 \(Z^a = N(T^* )\)이다. 또한 \(T\)의 치역제한사상을 \(S : X \,\to\,Z\)라고 하자. 그러면 \(S\)의 수반사상은 \(S^* : Y^* / Z^a \,\to\, X^*\)이며, \(S^*\)는 \(T^*\)가 \(Y^* / Z^a\) 위에서 정의되도록 한다. 이로써 \(R(S^* ) = R(T^* )\)는 닫힌집합이고 \(S^*\)는 일대일함수이다. 또한 보조정리 9에 의하여 \(S\)는 \(Z\) 위에로의 함수이다. 그러므로 \(R(T)\)는 닫힌집합이다.

References

  • Douglas N. Arnold, 『Functional Analysis』, Department of Mathematics, Penn State University, 1997.
  • John B. Conway, 『A Course in Functional Analysis』, 2ed, Springer-Verlag, 1990.
  • Gert K. Pedersen, 『Analysis Now』, Springer-Verlag, 1989.
  • Walter Rudin, 『Functional Analysis』, 2ed, McGraw Hill, 1991.
  • Robert J. Zimmer, 『Essential Results of Functional Analysis』, University of Chicago Press, 1990.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *