쌍대공간

By | April 27, 2017

정의역이 벡터공간이고 공역이 체인 함수를 범함수(functional)라고 부른다. 또한 정의역이 노름선형공간 \(X\)인 범함수들의 모임 \(B(X,\,\mathbb{F})\)를 \(X\)의 쌍대공간(dual space)이라고 부르며 \(X^*\)로 나타낸다. \(X\)의 쌍대공간의 쌍대공간을 제 2 쌍대공간이라고 부르며 \(X^{**}\)로 나타낸다.

\(X\)와 \(Y\)가 노름선형공간이고 \(T\)가 \(X\)로부터 \(Y\)로의 함수라고 하자. 이때 임의의 \(f \in Y^*\)와 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[T^* f(x) := f(Tx) \] 로 대응시키는 함수 \(T^* : Y^* \,\to\, X^*\)를 생각할 수 있다. 특히 \(T\in B(X,\,Y)\)이면 \(T^* \in B(Y^* ,\,X^*)\)이다. 더욱이 다음 등식이 성립한다.

\[\lVert T^* \rVert _{B ( Y^* ,\,X^* )} = \lVert T \rVert _{B(X,\,Y)} \tag{a}\]

이 등식을 증명해보자. 먼저 \[\lvert T^* f(x) \rvert = \lvert f(Tx) \rvert \le \lVert f \rVert \, \lVert T \rVert \, \lVert x \rVert \] 이므로 \(\lVert T^* f \rVert \le \lVert f \rVert \,\lVert T \rVert \)가 성립한다. 따라서 \(T^*\)는 유계이고 \(\lVert T^* \rVert \le \lVert T \rVert\)를 얻는다.

이번에는 \(y\in Y\)라고 하자. 그러면 \(g\in Y^*\)가 존재하여 \(\lvert g(y) \rvert = \lVert y \rVert ,\) \(\lVert g \rVert = 1\)을 만족시킨다. 이것을 \(y = Tx , \) \(x\in X\)에 적용하자. 그러면 \[\lVert Tx \rVert = \lvert g (Tx) \rvert = \lvert T^* gx \rvert \le \lVert T^* \rVert \, \lVert g \rVert \, \lVert x \rVert = \lVert T^* \rVert \, \lVert x \rVert \] 를 얻는다. 따라서 \(\lVert T \rVert \le \lVert T^* \rVert \)가 성립한다.

참고로 \(T \in B(X,\,Y),\) \(U\in B(Y,\,Z)\)이면 \( (UT)^* = T^* U^* \)이다.

\(X\)가 Banach 공간이고 \(S\)가 \(X\)의 부분집합일 때 \(S\)의 소멸자(annihilator)를 \[S^a := \left\{ f\in X^* \,\vert\, (\forall x \in S)(f(s)=0) \right\}\] 으로 정의한다. \(V\)가 \(X^*\)의 부분집합일 때 \[^{a} V := \left\{ x \in X \,\vert\, (\forall f \in V)(f(x)=0) \right\}\] 으로 정의한다. \(V^a\)는 \(X^{**}\)의 부분집합이고 \(^a V\)는 \(X^*\)의 부분집합이다. 소멸자는 모두 닫힌부분공간이 된다.

\(S \subseteq T \subseteq X\)이면 \(T^a \subseteq S^a\)이며, \(V \subseteq W \subseteq X^*\)이면 \(^a W \subseteq ^a V \)가 성립한다. 또한 \(S\subseteq X\)일 때 \(S \subseteq ^a ( S^a )\)가 성립하며, \(V \subseteq X^*\)일 때 \(C\subseteq (^a V)^a\)가 성립한다.

Hahn-Banach의 정리에 의하면 \(S\)가 \(X\)의 닫힌부분공간일 때 \(S = ^a (S^a )\)가 성립한다. 그러나 \(V\)가 \(X^*\)의 닫힌부분공간일지라도 \(V \ne (^a V )^a\)일 수 있다. \(S \subseteq X\)에 대하여 \(^a (S^a )\)는 \(X\)의 닫힌부분공간 중 \(S\)를 포함하는 가장 작은 부분공간이 된다. 그러한 닫힌부분공간을 \(S\)의 생성(span)의 닫개(closure) 또는 폐포라고 부른다.

\(T : X \,\to\,Y\)가 유계선형작용소이고 \(g \in Y^*\)라고 하자. 그러면 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(g (Tx) =0\)일 필요충분조건은 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(T^* g(x)=0\)인 것이며, 또다른 필요충분조건은 \(T^* g=0\)인 것이다. 즉 \[ R(T)]^a = N(T^* )\] 이다. 또한 \(x\in X\)에 대하여 \(Tx=0\)일 필요충분조건은 임의의 \(f\in Y^*\)에 대하여 \(f(Tx)=0\)인 것이며, 또다른 필요충분조건은 임의의 임의의 \(f\in Y^*\)에 대하여 \(T^* f (x)=0\)인 것이다. 즉 \[ ^a [R(T^* )] = N(T)\] 이다.

한편 소멸자에 관한 다음과 같은 또다른 등식을 얻을 수 있다. \[\overline{R(T)} = \, ^a N (T^* ) , \] \[\overline{R(T^* )} \subseteq N(T) ^a . \] 특히 \(T^*\)가 일대일함수일 필요충분조건은 \(T\)가 조밀한 치역을 갖는 것이며, \(T\)가 일대일함수일 충분조건은 \(T^*\)가 조밀한 치역을 갖는 것이다.

참고로 \(X^*\) 위에서의 범약위상(weak*-topology)을 도입할 수 있는데, 이때에도 위의 결과를 그대로 사용할 수 있다. 특히 \( (^a S)^a\)는 \(X^*\)의 부분공간 \(S\)의 범약닫개이며, \(T\)가 일대일함수일 필요충분조건은 \(T^*\)가 범약조밀한 치역을 갖는 것이다.

이제 여러 가지 공간의 쌍대공간을 살펴보자.

보기 1.  부분공간의 쌍대공간.

\(S\)가 \(X\)의 닫힌부분공간이고 \(T\)가 포함함수 \(i : S\,\to\,X\)라고 하자. 그러면 \[r := i^* : X^* \,\to\, S^*\] 는 \(rf(s) = f(s)\)로 정의된 제한사상이 된다. Hahn-Banach의 정리에 의하면 \(r\)는 위에로의 함수이다. 또한 명백히 \(N(r) = S^a\)이다. 따라서 자연동형사상 \[\overline{r} : X^* / S^a \,\to\, S^*\] 를 얻는다. 사실 Hahn-Banach의 정리 자체가 두 공간이 동형임을 보이는 정리이다. 즉 \(S\)의 쌍대공간 \(S^*\)는 \(X^* / S^a\)와 동형이다.

보기 2.  상공간의 쌍대공간.

\(S\)가 \(X\)의 닫힌부분공간이고 \(\pi : X \,\to\, X/S\)가 사영사상이라고 하자. 이때 보기 1에서와 같은 방법으로 \(\pi ^* : (X/S)^* \,\to\, X^*\)를 얻는다. \(\pi\)는 위에로의 함수이므로 \(\pi^*\)는 일대일함수이며 치역은 \(S^a\)에 포함된다. 사실 우리는 이미 \(\pi^*\)가 \((X/S)^*\)로부터 \(S^a\) 위에로의 함수임을 밝혔으며, 따라서 \(S^a\)와 \((X/S)^a\)는 동형이다.

\(f\in S^a\)이면 \(g\in (X/S)^*\)가 존재하여 \(f = g \circ \pi\)가 성립한다. 여기서 \(g\)는 잉여류 \(c\)의 한 원소 \(x\)에 대하여 \(g(c) = f(x)\)로 정의된 함수이다. 따라서 \(f = \pi^* g\)는 \(\pi^*\)의 치역 안에 놓이게 된다. 이러한 대응 역시 동형사상이 된다.

보기 3.  Hilbert 공간의 쌍대공간.

쌍대공간의 형태를 밝히는 과정은 꽤나 까다로운 경우가 많다. 그러나 Hilbert 공간의 쌍대공간을 밝히는 방법은 다음 정리와 같이 비교적 쉽다.

정리. (Riesz의 표현 정리) \(X\)가 Hilbert 공간이고 함수 \(j : X \,\to\, X^*\)가 \(j_y (x) := \langle x,\,y\rangle\)로 정의되었다고 하자. 만약 체가 \(\mathbb{R}\)이면 \(j\)는 \(X\)로부터 \(X^*\) 위에로의 선형 동형사상이다. 만약 체가 \(\mathbb{C}\)이면 \(j\)는 \(X\)로부터 \(X^*\) 위에로의 복소선형 동형사상이며 \(j_{\alpha y} = \overline{\alpha} j_y\)를 만족시킨다.

증명. \(j\)가 \(X\)로부터 \(X^*\)에로의 동형사상임은 쉽게 증명된다. 이제 임의의 \(f\in X^*\)에 대하여 \(y\)가 존재하여 \(f = j_y\)임을 보이자. 일반성을 잃지 않고 \(f \ne 0\)이라고 하자. 즉 \(N(f)\)가 \(X\)의 닫힌 진부분집합이라고 가정하자. 또한 \(y_0 \in [N(f)]^{\perp}\)의 노름이 \(1\)이고 \(y = (fy_0 )y_0\)이라고 하자. 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[(fy_0 )x - (f)y_0 \in N(f)\] 이므로 \[j_y (x) = \langle x,\, (fy_0 )y_0 \rangle = \langle ( fy_0 )x ,\, y_0 \rangle = \langle (fx) y_0 ,\, y_0 \rangle = fx \] 가 성립한다.

위 정리에서 정의된 함수 \(j\)를 Riesz 사상이라고 부른다. Riesz 사상 \(j\)를 이용하여 \(X^*\) 위의 내적을 정의할 수 있으며, 그러한 내적이 주어진 공간 \(X^*\)는 Hilbert 공간이 된다.

참고로 \(S\)가 \(X\)의 닫힌부분공간이면 \(x\in S^{\perp}\)일 필요충분조건은 \(j_s \in S^a\)인 것이다. Riesz 사상 \(j\)는 종종 \(X\)와 \(X^*\)를 동일시하는 데에 사용된다. 이러한 대응의 관점에서 \(S^{\perp}\)와 \(S^a\)는 동일한 공간이라고 할 수 있다.

보기 4.  \(C ( \varOmega )\)의 쌍대공간.

Riesz의 표현 정리는 두 가지 종류가 있는데, 앞의 보기에서 소개한 것은 그 중 더 단순한 것이다. Riesz의 표현 정리 중 더 복잡한 것은 \(\Omega\)가 \(\mathbb{R}^n\)의 긴밀부분집합일 때 \(C(\varOmega )\)의 쌍대공간을 기술한다. 즉 \(C(\varOmega )^*\)는 \(\varOmega\)에 유한가부호측도가 주어진 공간과 동형이다. [여기서 유한가부호측도란 유한측도 \(\mu_1 ,\) \(\mu_2 \)에 대하여 \(\mu = \mu_1 - \mu_2\)의 형태로 정의된 측도 \(\mu\)를 의미한다.] 이때 \(C(X)\)에서는 \[f \,\mapsto\, \int_{\varOmega} f \, d\mu _1 - \int_{\varOmega} f \, d\mu_2 \] 와 같은 범함수들을 생각할 수 있다. 이것은 실수공간의 경우이며, 복소공간의 경우에는 \(\varOmega\)에 유한가부호측도 \(\mu\)와 \(\lambda\)에 대하여 \(\mu + \boldsymbol{i} \lambda\)로 정의된 측도 \(\mu\)가 주어진 공간과 서로 동형이다.

보기 5.  \(C^1\)의 쌍대공간.

쌍대공간에 속하는 임의의 원소의 표현(representation)을 밝히는 과정을 살펴보자. 여기서는 \(C^1 ([0,\,1])\)에서 해보자. 사상 \(f \,\mapsto\, (f,\,f ' )\)은 \(C^1\)로부터 \(C \times C\)의 닫힌부분공간 위에로의 동형사상이 된다. Hahn-Banach의 정리에 의하여 \( (C^1 )^*\)의 임의의 원소는 \(C \times C\) 위에서 정의된 범함수로 확장될 수 있다. 즉 이것은 \(\mu\)와 \(\nu\)가 가부호측도일 때 \[ (f,\,g) \,\mapsto\, \int f \, d\mu + \int g \,d\nu \] 의 꼴로 나타난다. 따라서 \(C^1\) 위에서의 임의의 연속선형범함수는 \[f \,\mapsto\, \int f \,d\mu + \int f ' \, d \nu \] 의 꼴이 된다. 참고로, 위와 같은 표현에서 측도 \(\mu\)와 \(\nu\)가 유일하게 결정되지는 않는다.

보기 6.  \(L^p\)의 쌍대공간.

Hölder의 부등식에 의하면 \(p,\) \(q\)가 \(1\) 이상인 실수이고 \[\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\] 을 만족시킬 때, 임의의 \(f\in L^p ,\) \(g \in L^q\)에 대하여 \[\int fg \,d\mu \le \lVert f \rVert_{L^p} \,\lVert g \rVert_{L^q}\] 가 성립한다. 따라서 함수 \(g \,\mapsto\,\lambda_g\)가 \(g\)를 \[\lambda_g (f) = \int fg \,d\mu\] 에 대응시킬 때, \(g\)는 \(L^q\)를 \((L^p )^*\)에 대응시키는 선형사상이며 \[\lVert \lambda_g \rVert_{(L^p )^*} \le \lVert g \rVert _{L^q}\] 를 만족시킨다. 위 식에 \(f = \mathrm{sign} (g) \lvert g \rvert ^{q-1}\)를 대입하면 등식이 성립하므로, 위 부등식에서 등식이 성립하는 경우가 증명된다. 실제로 \(p < \infty\)인 경우 \(\lambda\)는 \(L^q\)와 \((L^p )^*\) 사이의 동형사상이다. \(p = \infty\)인 경우 \(\lambda\)는 일대일인 준동형사상이다. 그러므로 \(p\)가 유한인 경우 \(L^p\)의 쌍대공간은 \(L^q\)이다. \(L^{\infty}\)의 쌍대공간은 \(L^1\)보다 큰 공간이 되는데, 이 공간은 거의 사용되지 않는다.

참고로 \(L^p\)의 쌍대공간을 밝힌 것과 같은 방법으로 수열 공간 \(l_p\)의 쌍대공간도 밝힐 수 있다.

보기 7.  \(c_0\)의 쌍대공간.

\(c_0\)의 쌍대공간이 \(l_p\)임을 밝히자. 임의의 \(c := \left\{c_n \right\}\in c_0\)과 \(d := \left\{d_n \right\}\in l_1\)에 대하여 \[\lambda_d (c) := \sum_{n=1}^{\infty} c_n \,d_n \] 으로 정의하자. 명백히 \[\lvert \lambda_d (c) \rvert \le \sup_{n\in\mathbb{N}} \lvert c_n \rvert \sum_{n=1}^{\infty} \lvert d_n \rvert = \lVert c \rVert_{c_0} \,\lVert d \rVert_{l_1}\] 이 성립하므로 \(lVert \lambda_d \rVert _{c_0 ^*} \le \lVert d \rvert_{l_1}\)을 얻는다. 여기서 \[c_n = \begin{cases} \mathrm{sign} (d_n ) & \quad \mathrm{if} \quad n \le N \\[10pt] 0 & \quad \mathrm{if} \quad n > N \end{cases} \] 일 때 등식이 성립한다. 따라서 \(\lambda : l_1 \,\to\,c_0 ^*\)은 일대일인 준동형사상이다. 이제 \(\lambda\)가 위에로의 함수임을 밝히자. \(f\in c_0 ^*\)에 대하여 \(d_n := f( e^{(n)} )\)이라고 정의하자. 여기서 \(e^{(n)}\)은 \(e_m ^{(n)} := \delta_{mn}\)으로 정의된 수열 \(\left\{e_m ^{(n)}\right\}\)을 나타낸다. \(s_n := \mathrm{sign}(d_n )\)이라고 하자. 그러면 \(\lvert d_n \rvert = f( s_n e^{(n)} )\)이므로 \[\sum_{n=0}^{N} \lvert d_n \rvert = \sum_{n=0}^{N} f( s_n e^{(n)} ) = f \left( \sum_{n=0}^{N} s_n e^{(n)} \right) \le \lVert f \rVert \] 가 성립한다. 위 식에 \(N \,\to\,\infty\)인 극한을 취하면 \(d\in l_1\)임을 알 수 있다. 이로써 \(\lambda_d\)는 유한 개의 항만 \(0\)인 임의의 수열에 대하여 \(f\)와 동일하게 정의되었다. 그런데 그러한 수열의 모임은 \(c_0\)에서 조밀하므로 \(f = \lambda_d\)이다.

보기 8.  제 2 쌍대공간.

\(X\)가 노름선형공간일 때 \(x \in X\)와 \(f\in X^*\)에 대하여 \[i_x (f) := f(x) \] 로 정의되는 함수 \(i : X \,\to\,X^{**}\)를 얻는다. 명백히 \(\lVert i_x \rVert \le \lVert f \rVert\)이며, Hahn-Banach의 정리에 의하여 이 부등식에서 등식이 성립하는 경우가 존재한다. 따라서 \(X\)는 \(X^{**}\)의 적당한 부분공간과 동형이다. \(X^{**}\)에서 \(i(X)\)의 닫개를 \(\tilde{X}\)로 나타내자. 그러면 \(X\)는 Banach 공간 \(\tilde{X}\)의 조밀한 부분공간과 동형이다. 이로써 \(\tilde(X)\)는 \(X\)의 완비화(completion)와 동형이다. 즉 임의의 노름선형공간은 완비화를 가진다.

만약 \(i\)가 위에로의 함수일 때, 즉 이 사상에 의하여 \(X\)가 \(X^{**}\)와 동형이 될 때, \(X\)를 반사적(reflexive) 공간이라고 부른다. \(X\)가 반사적이려면 \(X\)는 완비공간이어야 한다. 특히 \(X\)가 Hilbert 공간이고 \(j : X \,\to\,X^*\)가 Riesz 동형사상이며 \(j^* : X^* \,\to\, X^{**}\)가 \(X^*\)의 Riesz 동형사상이면 \(i = j^* \circ j\)이므로 \(X\)는 반사적 공간이 된다.

비슷한 방법으로 \(L^q\)로부터 \((L^p )^*\)에로의 동형사상과 \(L^p\)로부터 \((L^q )^*\)에로의 동형사상을 결합하여 \(L^p\)로부터 \((L^p )^{**}\)에로의 동형사상을 구성할 수 있다. 따라서 \(1 < p < \infty\)일 때 \(L^p\)와 \(l_p\)는 반사적임을 알 수 있다. 반면 \(L^1 ,\) \(l_1 ,\) \(L^\infty ,\) \(l_\infty ,\) \(c_0 ,\) \(C(X)\)는 모두 비반사적 공간이다.

\(X\)가 반사적 공간이고 \(S\subseteq X^*\)이면 \(i ( ^a S ) = S^a\)이다. 즉 \(X\)와 \(X^{**}\)를 동일시하면 두 종류의 소멸자는 서로 구분할 필요가 없어진다. 특히 Banach 공간에서는 \(\overline{R(T^* )} = N (T) ^a \)이며, \(T\)가 일대일함수일 필요충분조건은 \(T^*\)가 조밀한 치역을 갖는 것이다.

References

  • Douglas N. Arnold, 『Functional Analysis』, Department of Mathematics, Penn State University, 1997.
  • John B. Conway, 『A Course in Functional Analysis』, 2ed, Springer-Verlag, 1990.
  • Gert K. Pedersen, 『Analysis Now』, Springer-Verlag, 1989.
  • Walter Rudin, 『Functional Analysis』, 2ed, McGraw Hill, 1991.
  • Robert J. Zimmer, 『Essential Results of Functional Analysis』, University of Chicago Press, 1990.

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