긴밀작용소

By | May 10, 2017

이 포스팅에서는 Hilbert-Schimidt 작용소긴밀작용소를 살펴본다.

보조정리 1. \(\left\{ e_i \right\}\)와 \(\left\{ \overline{e_i} \right\}\)가 각각 가분 Hilbert 공간 \(X\)의 정규직교벡터이고 \(T\in B(X)\)일 때 \[\sum_{i,j} \lvert \langle Te_i ,\, e_j \rangle \rvert ^2 = \sum_{i,j} \lvert \langle T \overline{e_i} ,\, \overline{e_j} \rangle \rvert ^2 \] 이 성립한다.

증명. 임의의 \(w\in X\)에 대하여 \[\sum_{j} \lvert \langle w,\, e_j \rangle \rvert ^2 = \lVert w \rVert ^2\] 이므로 \[\sum_{i,j} \lvert \langle Te_i ,\, e_j \rangle \rvert^2 = \sum_{i} \lVert Te_i \rVert ^2 = \sum_{j} \lVert T^* e_j \rVert ^2 \] 이 성립한다. 그런데 \[\sum_{j} \lVert T^* e_i \rVert^2 = \sum_{i,j} \lvert \langle T^* e_i ,\, \overline{e_j} \rangle \rvert^2 = \sum_{j} \lVert T \overline{e_j} \rVert ^2 \] 이므로 두 등식을 결합하면 정리의 등식을 얻는다.

정의 2. \(T\in B(X)\)이고 \(\left\{e_i \right\}\)가 \(X\)의 정규직교기저일 때 노름 \(\lVert \cdot \rVert_2\)를 \[\lVert T \rVert _{2} ^{2} := \sum_{i,j} \lvert \langle Te_i ,\, e_j \rangle \rvert ^2 = \sum_{j} \lVert Te_i \rVert ^2 \] 으로 정의한다. \(\lVert T \rVert_2 < \infty\)인 경우 \(T\)를 Hilbert-Schimidt 작용소라고 부르며 \(\lVert T \rVert_2\)를 \(T\)의 Hilbert-Schimidt 노름이라고 부른다.

보조정리 1에 의하면 \(T\)가 Hilbert-Schimidt 작용소인 경우 \(T^*\)도 Hilbert-Schimidt 작용소가 되며 그 둘의 노름이 서로 동일하다.

정리 3. \(\lVert T \rVert \le \lVert T \rVert_2 .\)

증명. \(x = \sum c_i e_i\)가 \(X\)의 임의의 원소라고 하자. 그러면 \[\lVert Tx \rVert^2 = \sum_{i} \left\lvert \sum_{j} c_j \langle Te_j ,\, e_i \rangle \right\rvert ^2\] 이다. Cauchy-Schwarz 부등식에 의하여 \[\begin{eqnarray} \left\lvert \sum_{j} c_j \langle Te_j ,\, e_i \rangle \right\rvert^2 &\le& \sum_{j} c^2 \cdot \sum_{j} \lvert \langle Te_j ,\, e_i \rangle \rvert ^2 \\[5pt] &=& \lVert x \rVert^2 \sum_{j} \lvert \langle Te_j ,\, e_i \rangle \rvert ^2 \end{eqnarray}\] 이므로 \(i\)에 대하여 이 식을 변마다 더하면 정리의 결과를 얻는다.

정리 4. \(\varOmega\)가 \(\mathbb{R}^n\)의 열린부분집합이고 \(K\in L^2 ( \varOmega \times \varOmega )\)라고 하자. \(x\in \varOmega\)에 대하여 \[T_K u(x) := \int_{\varOmega} K(x,\,y) u(y) \,dy\] 라고 정의하자. 그러면 \(T_K\)는 \(L^2 ( \varOmega )\) 위에서의 Hilbert-Schimidt 작용소이고 \(\lVert T_K \rVert_2 = \lVert K \rVert_{L^2}\)이 성립한다.

증명. 임의의 \(x\in \varOmega\)에 대하여 \(K_x (y) := K(x,\,y)\)라고 하자. Fubini의 정리에 의하여 거의 모든 \(x\in \varOmega\)에 대하여 \(L_x\in L^2 (\varOmega )\)이고 \[\lVert K \rVert_{L^2}^2 = \int \lVert K_x \rVert^2 \, dx\] 가 성립한다. 이로써 \(T_K u(x) = \langle K_x ,\, u \rangle\)이고, 따라서 정규직교기저 \(\left\{ e_i \right\}\)에 대하여 \[\begin{eqnarray} \lVert T_K \rVert _{2}^{2} &=& \sum_{i} \lVert T_K e_i \rVert^2 \\[5pt] &=& \sum_{i} \int \lvert ( T_K e_i )(x)\rvert ^2 \,dx \\[5pt] &=& \sum_{i} \int \lvert \langle K_x ,\, e_i \rangle \rvert^2 \, dx \\[5pt] &=& \int \sum_{i} \lvert \langle K_x ,\, e_i \rangle \rvert^2 \, dx \\[5pt] &=& \int \lVert K_x \rVert ^2 \, dx \\[5pt] &=& \lVert K \rVert_{L^2} ^2 \end{eqnarray}\] 을 얻는다.

정의 5. Banach 공간 사이에서의 유계선형작용소가 임의의 단위구를 예비긴밀(precompact)집합에 대응시킬 때 그 작용소를 긴밀작용소(compact operator)라고 부른다.

예를 들어, \(T\)가 유한 차수(rank)를 가지면, 즉 \(\dim R(T) < \infty\)이면 \(T\)는 긴밀작용소이다.

보조정리 6. \(M\)이 거리공간일 때 다음 세 명제는 서로 동등하다.

  1. \(M\)은 예비긴밀공간이다.
  2. 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 지름이 \(\epsilon\)보다 작으면서 \(M\)을 덮는 유한덮개가 존재한다.
  3. 임의의 수열이 Cauchy 부분수열을 가진다.

증명. (1)⇒(2)와 (3)⇒(1)의 증명은 간단하다. (2)⇒(3)의 증명은 Cantor의 대각 논법을 이용하여 Cauchy 부분수열을 추출하면 된다.

정리 7. \(X\)와 \(Y\)가 Banach 공간이고 \(B_c (X,\,Y)\)가 \(X\)로부터 \(Y\)에로의 긴밀선형작용소들의 모임이라고 하자. 그러면 \(B_c (X,\,Y)\)는 \(B(X,\,Y)\)의 닫힌부분집합이다.

증명. \(T_n \in B_c (X,\,Y) ,\) \(T\in B(X,\,Y),\) \(\lVert T_n -T \rVert \,\to\, 0\)이라고 하자. \(T\)가 긴밀작용소임을 보여야 한다. 즉 \(X\)에서의 단위구 \(E\)에 대하여 \(T(E)\)가 \(Y\)에서 예비긴밀집합임을 보여야 한다. 이것은 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 \(Y\)에서 지름이 \(\epsilon\) 이하인 유한 개의 구 \(U_i\)들이 존재하여 \[T(E) \subseteq \bigcup_{i} U_i\] 임을 보이면 충분하다. \(\lVert T-T_n \rVert \le \epsilon /2\)를 만족시키는 충분히 큰 \(n\)을 택하고 \(V_1 ,\) \(V_2 ,\) \(\cdots ,\) \(V_n\)이 지름이 \(\epsilon/2\)이며 \(T_n E\)를 덮는 유한 개의 구라고 하자. 각 \(i\)에 대하여 \(U_i\)가 \(V_i\)와 동일한 중심을 갖고 반지름이 \(\epsilon\)인 구라고 하면 \(U_i\)는 우리가 찾는 유한 개의 구가 된다.

정리 7로부터 \(B(X,\,Y)\)에서 유한 차수를 갖는 작용소들의 닫개는 \(B_c (X,\,Y)\)에 포함된다는 것을 알 수 있다. 일반적으로 이 포함관계는 진부분집합이지만 \(Y\)가 Hilbert 공간인 경우 두 집합은 동일하다. 이것을 증명해보자. \(Y\)의 정규직교기저를 택하고 \(Y\)로부터 유한 기저로 생성된 공간 위에로의 직교 사영 \(P\)에 대하여 \(PT\) 꼴인 유한 차수 작용소를 생각하자. \(X\)에서의 단위구 \(E\)에 대하여 \(TE\)가 긴밀집합이라는 사실과 \(\lVert P \rVert = 1\)이라는 사실로부터 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 이와 같은 형태의 작용소 \(P\)가 존재하여 \[\sup_{x\in E} \lVert (PT -T) x \rVert \le \epsilon\] 을 만족시킨다.

정리 8. (합성함수의 긴밀성) \(X\)와 \(Y\)가 Banach 공간이고 \(T\in B_c (X,\,Y)\)라고 하자. 만약 \(Z\)가 또다른 Banach 공간이고 \(S\in B(Y,\,Z)\)이면 \(ST\)는 긴밀작용소이다. 만약 \(S\in B(Z,\,X)\)이면 \(TS\)는 긴밀작용소이다. 만약 \(X=Y\)이면 \(B_c := B_c (X,\,X)\)는 \(B(X)\)에서 양방향 아이디얼(two-sided ideal)이다.

증명. 본문에서 논의한 내용에 의하여 자명하게 성립한다.

정리 9. (범함수의 긴밀성) \(X\)와 \(Y\)가 Banach 공간이고 \(T\in B(X,\,Y)\)라고 하자. 이때 \(T\)가 긴밀작용소일 필요충분조건은 \(T^*\)가 긴밀작용소인 것이다.

증명. \(E\)가 \(X\)에서의 단위구이고 \(F\)가 \(Y^*\)에서의 단위구라고 하자. \(T\)가 긴밀작용소라고 가정하자. 임의로 주어진 \(\epsilon > 0\)에 대하여 지름이 \(\epsilon\) 이하이고 \(T^* F\)를 덮는 유한 개의 집합을 구성해야 한다. 먼저 지름이 \(\epsilon /3\) 이하이고 \(TE\)를 덮는 \(m\)개의 집합을 구성하고 그 집합 중 \(i\)번째 집합의 한 원소를 \(Tx_i\)라고 하자. \(I_1 ,\) \(I_2 ,\) \(\cdots,\) \(I_n\)이 길이가 \(\epsilon /3\)인 구간이고 \([- \lVert T \rVert ,\, \lVert T \rVert ]\)를 덮는다고 하자. \(1 \le j_i \le n\)인 정수 \(j_i\)와 순서쌍 \((j_1 ,\, \cdots ,\, j_m )\)에 대하여 집합 \[\left\{ f\in F \,\vert\, f(Tx_i ) \in I_j ,\, i =1 ,\, \cdots ,\, m \right\}\] 을 생각하자. 이 집합들은 명백히 \(F\)를 덮으며 이들의 \(T^*\)에 의한 상(image)은 \(T^* F\)를 덮는다. 따라서 이 상들의 반지름이 \(\epsilon\) 이하임을 보이면 된다. \(f\)와 \(g\)가 위 집합에 속하고 \(x\)가 \(E\)의 임의의 원소라고 하자. \[\lVert Tx - Tx_i \rVert \le \epsilon /3\] 인 \(i\)를 택하자. 그러면 \[\lVert f(Tx_i ) - g(Tx_i )\rVert \le \frac{\epsilon}{3} \] 을 만족시킨다. 따라서 \[\begin{eqnarray} \lvert ( T^* f - T^* g )(x) \rvert &=& \lvert (f-g)(Tx) \rvert \\[5pt] &\le& \lvert f(Tx) - f(Tx_i ) \rvert + \lvert g(Tx) - g(Tx_i )\rvert + \lvert (f-g)(tx_i )\rvert \\[5pt] &\le& \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon \end{eqnarray}\] 이 성립한다. 이로써 \(T\)의 긴밀성이 \(T^*\)의 긴밀성을 함의함이 증명되었다.

역을 증명하자. \(T^* : Y^* \,\to\, Y\)가 긴밀작용소라고 하자. 그러면 \(T^{**}\)는 \(X^{**}\)의 단위구를 \(Y^{**}\)의 예비긴밀집합에 대응시킨다. 그러나 \(X\)에서의 단위구는 단위구 자신 자체의 양방향쌍대(bidual)부분집합으로서 생각될 수 있으며, \(T^{**}\)의 정의역을 \(X\)의 단위구로 축소한 사상은 그 집합 위에서 \(T\)와 일치한다. 따라서 \(T\)는 \(X\)의 단위구를 예비긴밀집합에 대응시킨다.

Banach 공간 \(X\)의 닫힌부분공간 \(N\)에 대하여 또다른 닫힌부분공간 \(M\)이 존재하여 \(M \oplus N = X\)를 만족시킬 때 \(N\)은 여공간화된다(complemented)고 말한다.

보조정리 10. Banach 공간의 유한차원 또는 여유한차원 닫힌부분공간은 여공간화 된다.

증명. \(M\)이 유한차원 부분공간이라고 하자. 기저원소 \(x_1 , \) \(\cdots, \) \(x_n\)을 택하고 선형범함수 \(\phi_i\)를 \[\phi_i : M \,\to\,\mathbb{R} ,\quad \phi_i (x_j ) := \delta_{ij} \] 로 정의한다. \(\phi_i\)를 \(X\) 위에서의 유계선헝볌함수로 확장한다. 그리고 \[N := N(\phi_1 ) \cap \cdots \cap N(\phi_n )\] 으로 정한다. 만약 \(M\)이 여유한차원공간이면 영아닌 잉여류 표현집합들의 생성을 \(N\)으로 택하면 된다.

정리 11. \(T\)가 정의역과 공역이 동일한 Banach 공간인 긴밀작용소이면 \(N(1-T)\)는 유한 차원을 갖고 \(R(1-T)\)는 닫힌집합이다.

증명. \(T\)는 \(N(1-T)\)를 항등원만 가진 단원집합에 대응시킨다. 따라서 닫힌단위구 \(N(1-T)\)는 긴밀집합이고 \(N(1-T)\)의 차원은 유한이다.

이제 임의의 유한차원 부분공간은 적당한 공간의 여공간이고 따라서 \(X\)의 닫힌부분공간 \(M\)이 존재하여 \[N(1-T) + M = X ,\quad N(1-T) \cap M = 0\] 을 만족시킨다. \(S := (1-T)\vert _M\)이라고 하자. 그러면 \(S\)는 일대일함수이고 \[R(S) - R(1-T)\] 이다. 적당한 \(c > 0\)이 존재하여 임의의 \(x\in M\)에 대하여 \[\lVert Sx \rVert \ge c\lVert x \rVert\] 를 만족시킴을 보임으로써 \(R(S)\)가 닫힌집합임을 증명할 것이다. 만약 임의의 \(c > 0\)에 대하여 위 부등식이 성립하지 않는다면 모든 항의 노름이 \(1\)인 적당한 수열 \( \left\{ x_n \right\} \subseteq M\)이 존재하여 \(Sx_n \,\to\,0\)을 만족시킨다. 이 수열의 적당한 부분수열이 존재하여 그 부분수열을 재배열하여 \(Tx_{n_k}\)가 \(X\)의 적당한 원소 \(x_0\)에 수렴하도록 할 수 있다. 따라서 \(x_n \,\to\,x_0\)이므로 \(x_0 \in M\)이고 \(Sx_0 =0\)이다. 즉 \(x_0 = 0\)이다. 이것은 \(\lVert x_n \rVert =1\)이라는 가정에 모순이다.

다음 정리는 정리 11을 일반화한 것으로서, 긴밀작용소의 스펙트럼의 성질을 살펴볼 때 유용하다.

정리 12. \(T\)가 정의역과 공역이 동일한 긴밀 Banach 공간인 긴밀작용소이고 \(\lambda\)가 \(0\)이 아닌 복소수이며 \(n\)이 자연수이면 \(N[(\lambda 1 - T)^n ]\)은 유한 차원을 갖고 \(R[(\lambda 1-T)^n ]\)은 닫힌집합이다.

증명. \(T\)를 확장시킨 긴밀작용소 \(S\)가 존재하여 \[(\lambda 1 -T)^n = \lambda ^n (1-S)\] 를 만족시킨다 여기에 정리 11을 이용하면 정리의 결과를 얻는다.

끝으로 Hilbert-Schimidt 작용소와 긴밀작용소의 관계를 살펴보자.

정리 13. 가분 Hilbert 공간 위에서의 Hilbert-Schimidt 작용소는 긴밀작용소이다.

증명. \(\left\{ e_i \right\}\)가 정규직교기저라고 하자. 그리고 \(T\)가 임의로 주어진 Hilbert-Schimidt 작용소라고 하자. 즉 \[\sum_{i} \lVert Te_i \rVert ^2 < \infty\] 라고 하자. \(T_n\)을 \[T_n e_i := \begin{cases} Te_i & \quad \mathrm{if} \quad i \le n \\[10pt] 0 & \quad \mathrm{if} \quad i > n \end{cases} \] 으로 정의하자. 그러면 \[ \lVert T - T_n \rVert \le \lVert T-T_n \rVert_2 = \sum_{i=n+1}^{\infty} \lVert Te_i \rVert ^2 \quad \longrightarrow \quad 0 \] 이 성립한다.

예컨대 \(l_2\) 위에서의 행렬작용소(matrix operator) 중에서 각 성분들의 제곱의 합을 구할 수 있는 것들은 긴밀작용소이다.

References

  • Douglas N. Arnold, 『Functional Analysis』, Department of Mathematics, Penn State University, 1997.
  • John B. Conway, 『A Course in Functional Analysis』, 2ed, Springer-Verlag, 1990.
  • Gert K. Pedersen, 『Analysis Now』, Springer-Verlag, 1989.
  • Walter Rudin, 『Functional Analysis』, 2ed, McGraw Hill, 1991.
  • Robert J. Zimmer, 『Essential Results of Functional Analysis』, University of Chicago Press, 1990.

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