Hilbert 공간의 기본 성질

By | April 9, 2017

Hilbert 공간의 중요한 성질 중 하나는 \(K\)가 닫힌볼록집합이고 \(x\)가 \(K\) 밖의 점일 때, \(x\)와 가장 가까운 \(K\)의 점이 존재한다는 것이다.

정리 1. (사영 정리) \(X\)가 Hilbert 공간이고 \(K\)가 \(X\)의 닫힌 볼록부분집합이며 \(x\in X\)라고 하자. 그러면 \[\left\lVert x- \overline{x} \right\rVert = \inf_{y\in K} \lVert x-y \rVert \] 를 만족시키는 \(\overline{x} \in K\)가 유일하게 존재한다.

증명. 일반성을 잃지 않고 \(x=0\)이라고 가정하자. \(K\)의 원소 중에서 가장 작은 노름을 갖는 원소가 존재함을 보이자. \[d := \inf_{y\in K} \lVert y \rVert\] 라고 하자. 하한의 성질에 의하여 \(K\)의 원소로 이루어진 수열 \(\left\{x_n \right\}\)이 존재하여 \(\lVert x_n \rVert \,\to\, d\)를 만족시킨다. \(K\)가 볼록집합이므로 \[\frac{x_n + x_m}{2} \in K\] 이다. 그러므로 평행사변형 법칙에 의하여 다음이 성립한다. \[\begin{eqnarray} \left\lVert\frac{x_n - x_m}{2} \right\rVert ^2 &=& \frac{1}{2} \left\lVert x_n \right\rVert ^2 + \frac{1}{2} \left\lVert x_m \right\rVert^2 - \left\lVert \frac{x_n +x_m}{2} \right\rVert \\[3pt] &\le& \frac{1}{2} \left\lVert x_n \right\rVert^2 + \frac{1}{2} \left\lVert x_m \right\rVert ^2 - d^2 \end{eqnarray}\] 따라서 \(\left\{x_n \right\}\)은 Cauchy 수열이다. 그런데 \(K\)가 닫힌집합이므로 \(\left\{x_n \right\}\)은 \(K\)의 점 \(\overline{x}\)에 수렴한다. 노름은 연속함수이므로 \[\left\lVert \overline{x} \right\rVert = \lim_{n\to\infty} \left\lVert x_n \right\rVert = d\] 가 성립한다.

이제 \(\overline{x}\)의 유일성을 증명하자. \(\overline{y} \in K , \) \(\lVert \overline{x} \rVert = \lVert \overline{y} \rVert = d\)라고 가정하자. 그러면 \[\left\lVert \frac{ \overline{x} + \overline{y} }{2} \right\rVert = d\] 이므로 평행사변형 법칙에 의하여 \[\begin{eqnarray} \left\lVert \overline{x} - \overline{y} \right\rVert^2 &=& 2 \left\lVert \overline{x} \right\rVert^2 + 2 \left\lVert \overline{y} \right\rVert^2 - \left\lVert \overline{x} + \overline{y} \right\rVert ^2 \\[5pt] &=& 2d^2 + 2d^2 - 4d^2 =0 \end{eqnarray}\] 이 성립한다.

참고. 닫힌 볼록집합 \(K\)의 원소 중 \(x\)에 가장 가까운 것을 \(x\)로부터 \(K\)에로의 사영(projection)이라고 부르고 \(P_K x\)로 표기한다. 사영의 정의에 의하여 \(P_K \circ P_K = P_K\)가 성립한다. \(K\)가 공간 \(X\)의 닫힌 부분공간인 경우 \(P_K\)를 선형사영작용소(linear projection operator)라고 부른다.

\(S\)가 Hilbert 공간 \(X\)의 부분집합이고 \[S^{\perp} := \left\{ x\in X \,\vert\, (\forall s \in S)(\langle x,\, s \rangle =0)\right\}\] 이라고 하자. 그러면 \(S^{\perp}\)는 \(X\)의 닫힌 부분공간이 된다. 명백히 \(S \cap S^{\perp} = \left\{0\right\}\)이고 \(S\subseteq S^{\perp \perp}\)이다.

정리 2. \(S\)가 Hilbert 공간 \(X\)의 닫힌 부분공간이고 \(x\in X\)이면 \(x - P_S x \in S^{\perp}\)이다.

증명. \(s\)가 \(S\)의 임의의 원소이고 \(t\in \mathbb{R}\)라고 하자. 그러면 \[\begin{eqnarray} \lVert x-P_S x \rVert ^2 & \le & \lVert x - P_S x - ts \rVert ^2 \\[5pt] &=& \lVert x - P_S x \rVert ^2 -2t \langle x - P_S x ,\, s \rangle + t^2 \lVert s \rVert ^2 \end{eqnarray}\] 이 성립한다. 위 부등식의 우변은 \(t\)에 대한 이차식이며 \(t=0\)일 때 최솟값을 가진다. 따라서 \(t=0\)일 때 우변의 \(t\)에 관한 미분계수가 \(0\)이 되도록 하면 \[\langle x-P_S x ,\, s \rangle =0\] 을 얻는다.

위 정리에 의하면 \(X\)의 임의의 원소 \(x\)에 대하여 \(s\in S\)와 \(s^{\perp} \in S^{\perp}\)가 존재하여 \(x = s+s^{\perp}\)를 만족시킨다. 여기서 \[s = P_S x ,\quad s^{\perp} = x-P_S x\] 이다. \(x\)를 이렇게 \(s\)와 \(s^{\perp}\)로 분해하는 표현은 유일하다. 왜냐하면 \(s = r+r^{\perp}\)가 또 다른 분해 표현이라고 하면 \[s-r = s^{\perp}-r^{\perp} \in S \cap S^{\perp} = \left\{0\right\}\] 이기 때문이다.

한편 \(x = s+s^{\perp}\)일 때 피타고라스의 정리에 의하여 \[\lVert x \rVert^2 = \lVert s \rVert^2 + \lVert ^{\perp} \rVert ^2 \] 이 성립한다.

\(S\)가 \(X\)의 닫힌부분공간이면 정리 2를 이용하여 \(S^{\perp \perp} = S\)임을 보일 수 있다. 즉, 만약 \(x \in S^{\perp\perp}\)이면 \(x\)를 \(x = s+s^{\perp}\)로 분해할 수 있고, \[s^{\perp} \in S^{\perp} \cap S^{\perp\perp} = \left\{0\right\}\] 이므로 \(x\in S\)를 얻는다. 따라서 \[x = (I-P_S )x + P_S x \] 는 \(x\)를 \(S^{\perp}\)의 원소와 \(S^{\perp\perp}\)의 원소로 나타내는 유일한 분해 표현이다. 즉 \(P_{S^{\perp}} = I - P_S\)이다. 이로써 \(X\)의 임의의 부분집합 \(S\)에 대하여 \(S^{\perp\perp}\)는 \(S\)를 포함하는 가장 작은 닫힌부분공간이 된다.

\(e_1 ,\) \(e_2 ,\) \(\cdots ,\) \(e_N\)이 Hilbert 공간 \(X\)의 정규직교원소이고 이들에 의하여 생성된 공간을 \(S\)라고 하자. 그러면 \[\sum_{n=1}^{N} \langle x,\,e_n \rangle e_n \in S \quad \mathrm{and} \quad x-\sum_{n}^{N} \langle x,\,e_n \rangle e_n \perp S\] 이므로 \[\sum_{n=1}^{N} \langle x,\,e_n \rangle e_n = P_S x \] 이다. 그런데 피타고라스의 정리에 의하여 \[\left\lVert \sum_{n=1}^{N} \langle x,\,e_n \rangle e_n \right\rVert^2 = \sum_{n=1}^{N} \langle x,\,e_n \rangle^2\] 이므로 \[\sum_{n=1}^{N} \langle x,\,e_n \rangle^2 \le \lVert x \rVert ^2\] 을 얻는다. 이 부등식을 유한 개의 항에 대한 Bessel의 부등식이라고 부른다.

Bessel의 부등식은 항의 개수가 가산인 경우로 확장할 수 있다. \(E\)가 정규직교원소들의 모임이고 기수가 임의라고 하자. 유한 개의 항에 대한 Bessel의 부등식에 의하여 임의의 양수 \(\epsilon\)과 \(x\in X\)에 대하여 \[\left\{ e \in E \,\vert\, \langle x,\,e \rangle \ge \epsilon \right\}\] 은 유한집합이므로 \[\left\{ e \in E \,\vert\, \langle x,\,e \rangle > 0 \right\}\] 은 가산집합이다. 따라서 Bessel의 부등식을 다음과 같이 임의 개수의 항에 대하여 확장할 수 있다. \[\sum_{e\in E} \langle x,\,e \rangle ^2 \le \lVert x \rVert ^2\] 여기서 좌변의 합은 가산 개의 양수들의 합이다.

합 기호 \(\sum\)을 임의 개수의 합으로 확장하면 편리하다. \(E\)가 임의이 집합이고 \(X\)가 노름선형공간이며 \(f:E \,\to\, X\)가 임의의 함수라고 하자. 만약 \(E\)의 유한부분집합 \(F\)에 대한 합 \[\sum_{e\in F} f(e)\] 가 \(x\)에 수렴하면 기호로 \[\sum_{e\in E} f(e) = x\] 로 나타낸다. 즉 \(0\)의 임의의 근방 \(U\)에 대하여 유한부분집합 \(F_0 \subseteq E\)가 존재하여 \(F_0\)을 포함하고 \(E\)에 포함되는 임의의 집합 \(F\)에 대하여 \[x-\sum_{e\in F} f(e) \in U\] 가 성립하면 \(\left\{ f(e) \,\vert\, e \in E \right\}\)의 급수가 \(x\)에 수렴한다고 말한다. \(E = \mathbb{N}\)인 경우 이 수렴은 절대수렴과 동등하다.

집합 \(\left\{ f(e) \,\vert\, e \in E \right\}\)의 급수가 수렴하는 경우 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 유한집합 \(F_0\)이 존재하여 \(F_0\)을 포함하는 임의의 유한집합 \(F_1\)과 \(F_2\)에 대하여 \[\left\lVert \sum_{e\in F_1} f(e) - \sum_{e\in F_2} f(e) \right\rVert \le \epsilon \] 이 성립한다. 이때 \[\left\{ e \in E \, \bigg{\vert} \, \lVert f(e) \rVert \ge \frac{1}{n} \right\}\] 은 유한집합이다. 따라서 \(f(e)=0\)이 아닌 \(e\in E\)의 개수는 가산이다.

정리 3. (Fourier 급수의 수렴성) \(E\)가 Hilbert 공간 \(X\)의 정규직교부분집합이고 \(x\in X\)이면 급수 \[\sum_{e\in E} \langle x,\, e \rangle e\] 는 수렴한다.

증명. \(E\)의 원소를 \(E = \left\{ e_1 ,\, e_2 ,\, e_3 ,\, \cdots \right\}\)로 나타내자. Bessel의 부등식에 의하여 자연수 \(N\)에 대하여 \[\left\lVert \sum_{n=1}^{N} \langle x,\, e_n \rangle e_n \right\rVert^2 = \sum_{n=1}^{N} \left\lvert \langle x,\,e_n \rangle \right\rvert ^2 \le \lVert x \rVert^2 \] 이 성립한다. 이것은 부분합 \[s_N := \sum_{n=1}^N \langle x,\,e_n \rangle e_n \] 이 Cauchy 수열임을 의미하므로 급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} \langle x,\,e_n \rangle e_n \] 은 \(X\)의 점에 수렴한다. 이제 위 합이 정리의 급수의 합과 동일함을 보이자. 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 자연수 \(N\)이 존재하여 \[\sum_{n=N+1}^{\infty} \left\lvert \langle x,\,e_n \rangle \right\rvert^2 < \epsilon \] 을 만족시킨다. 만약 \(M > N\)이고 \(F \subseteq E\)이며 \(F\)가 \(e_1 ,\) \(e_2 ,\) \(\cdots ,\) \(e_N\)을 원소로 가지면 \[\left\lVert \sum_{n=1}^{M} \langle x,\,e_n \rangle e_n - \sum_{e\in F} \langle x,\,e \rangle e \right\rVert ^2 \le \epsilon\] 이 성립한다. 위 부등식에 \(M \,\to\, + \infty\)인 극한을 취하면 \[\left\lVert \sum_{n=1}^{\infty} \langle x,\,e_n \rangle e_n - \sum_{e\in F} \langle x,\,e \rangle e \right\rVert ^2 \le \epsilon\] 을 얻는다.

선형대수학의 정리에 의하면 임의의 벡터공간은 기저를 가진다. 즉 주어진 벡터공간의 일차독립 부분집합들의 모임에 포함 관계로서의 순서관계가 주어졌다고 하자. 이때 Hausdorff의 극대 원리에 의하여 그러한 일차독립 부분집합들 중 극대원소가 존재한다. 그 극대소가 곧 기저가 된다. 내적공간에서도 동일한 방법으로 정규직교기저가 존재함을 증명할 수 있다.

이렇게 임의의 벡터공간에 기저가 존재하긴 하지만 차원이 무한인 경우에는 기저를 실제로 구성하는 것이 매우 어렵거나 불가능한 경우가 많다.

정리 3에서와 같이 노름선형공간에서는 무한히 많은 원소의 일차결합을 생각하는 경우가 많다. 이렇게 무한 기저와 유한 기저를 구분하기 위하여 유한 기저를 Hamel 기저라고 부를 것이다.

이제 Hilbert 공간에서의 정규직교기저에 대하여 논의하자. 정규직교집합의 정의에 의하여 극대인 정규직교집합이 존재한다. 또한 Zorn의 보조정리에 의하여 그러한 집합은 기저로 확장될 수 있으므로 정규직교기저가 존재한다. \(E\)가 그러한 정규직교기저라고 하자. \(x\in X\)이면 \[x = \sum_{e\in E} \langle x,\,e \rangle e\] 가 성립한다. 이때 \(x\)와 \(e_0 \in E\)와의 내적은 \(\langle x,\,e_0 \rangle\)이 된다. 따라서 \[y := x- \sum_{e\in E} \langle x,\,e \rangle e\] 는 \(E\)와 직교하며, 만약 \(y \ne 0\)이면 \(y / \lVert y \rVert \)를 \(E\)의 원소로 추가하여 더 큰 정규직교집합을 얻을 수 있다.

이로써 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(0\)이 아닌 원소의 개수가 가산인 \(c_e \in \mathbb{R}\)들이 존재하여 \(x = \sum c_e e\)를 만족시킴을 증명하였다. 이때 각 \(c_e\)는 \(c_e = \langle x,\,e \rangle\)로서 유일하게 결정되며, 또한 등식 \[\lVert x \rVert^2 = \sum c_e ^2 \] 이 성립한다.

정규직교기저의 개념은 Hilbert 공간의 차원을 정규직교기저의 기수(cardinal number)로서 정의할 수 있게 해준다. 이것이 잘 정의된 것이려면 동일한 Hilbert 공간의 임의의 서로 다른 두 기저의 기수가 같음을 보여야 한다. Hilbert 공간의 차원이 유한인 경우 이것은 자명하다. 이제 \(X\)가 무한차원 Hilbert 공간이고 \(E\)와 \(F\)가 \(X\)의 정규직교기저라고 하자. \(0\)이 아닌 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(\langle x,\,e \rangle \ne 0\)인 \(e\in E\)가 적어도 하나 이상 존재한다. 따라서 \[F \subseteq \bigcup_{e\in E} \left\{ f\in F \,\vert\, \langle f,\,e \rangle \ne 0 \right\}\] 이 성립한다. 즉 \(F\)는 \(E\)의 기수와 같은 개수만큼의 가산집합의 합집합이다. 따라서 \[\# F \le \aleph_0 \# E = \# E\] 가 성립한다. 동일한 방법으로 \(\# E \le \# F\)가 성립함을 보일 수 있다.

\(S\)가 임의로 주어진 집합이라고 하자. 이때 개수가 가산 이하인 원소들에 대하여 \(0\)이 아니고 부등식 \[\sum_{s\in S} c_s^2 < \infty\] 를 만족시키는 함수 \(c : S \,\to\, \mathbb{R}\)들의 모임 \(l^2 (S)\)를 Hilbert 공간으로 생각할 수 있다. 이로써 기저를 통해 임의의 Hilbert 공간에 대하여 그 공간과 \(l^2 (S)\)를 대응시키는 노름보존 동형사상이 존재한다. 따라서 각 기수에 대하여 그 기수를 차원으로 갖는 Hilbert 공간은 유일하게 결정된다. 특히 차원이 무한인 가분 Hilbert 공간은 유일하게 존재한다.

무한차원 Hilbert 공간의 정규직교기저로서 가장 잘 알려진 예는 함수 \[e_n : \theta \,\mapsto\, \exp (2 \pi \boldsymbol{i} n \theta ) \] 들의 모임일 것이다. 이 함수들의 모임은 복소체 위에서 \(L^2 ( [ 0,\,1])\)의 기저가 된다. \(e_n\)들의 모임이 정규직교임은 자명하며, Weierstrass 근사 정리에 의하여 극대인 정규직교집합이 된다.

임의의 \(L^2\) 함수 \(f\)에 대하여 \[\hat{f} (n) := \langle f,\,e_n \rangle = \int_{0}^{1} f(\theta )e^{-2 \pi \boldsymbol{i} n \theta} d \theta \] 라고 정의하면 \(f\)는 \(L^2\)-수렴하는 Fourier 급수 \[f(\theta )=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f} (n) e^{2 \pi \boldsymbol{i} n \theta}\] 로 표현된다. Hilbert 공간의 관점에서 보았을 때 Fourier 급수 이론은 상당히 단순해진다. 만약 점별수렴, 균등수렴, 거의 모든 점에서의 수렴, \(L^p ,\) \(C^1\) 등 여러 위상에서의 수렴을 생각하면 더욱 복잡한 내용이 등장하게 된다.

\(E\)가 Banach 공간 \(X\)의 부분집합이라고 하자. 만약 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[x = \sum_{e\in E} c_e e\] 를 만족시키는 함수 \(c : E \,\to\, \mathbb{R}\)가 유일하게 존재할 때 \(E\)를 \(X\)의 Schauder 기저라고 부른다. Hilbert 공간의 정규직교기저는 Schauder 기저의 한 예가 된다. Schauder는 \(C [0,\,1]\)의 Schauder 기저를 구성하였으며, 그 외에도 많은 가분 Banach 공간들의 Schauder 기저가 발견되었다. Schauder 기저를 갖는 Banach 공간은 반드시 가분이며 근사 성질을 가짐이 알려져 있다. 그러나 1973년 Per Enflo에 의하여 가분이지만 Schauder 기저를 갖지 않는 공간이 존재함이 밝혀졌다(관련 논문).

References

  • Douglas N. Arnold, 『Functional Analysis』, Department of Mathematics, Penn State University, 1997.
  • John B. Conway, 『A Course in Functional Analysis』, 2ed, Springer-Verlag, 1990.
  • Gert K. Pedersen, 『Analysis Now』, Springer-Verlag, 1989.
  • Walter Rudin, 『Functional Analysis』, 2ed, McGraw Hill, 1991.
  • Robert J. Zimmer, 『Essential Results of Functional Analysis』, University of Chicago Press, 1990.

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