공학을 이용한 수학 교수 학습

By | February 22, 2011

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컴퓨터는 21세기 정보화 사회의 주역으로서 인간의 모든 활동분야에 지대한 영향을 미치고 있다. 수학분야에서도 수학의 내용, 성격, 수학적 사고방법을 상당히 변화시키고 있는바, 수학교육에 계산기와 컴퓨터를 도입하고 인터넷을 교수․학습에 이용해야 한다는 데에는 이론의 여지가 없다. 미국 수학교사회의NCTM에서 1990년대의 수학교육 개선을 위한 청사진으로 제시한 Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics에서는 계산기와 컴퓨터를 수학 교수․학습을 위한 가치 있는 도구로 받아들여야 한다고 하면서 다음과 같은 입장을 취하고 있다.

  • 적절한 계산기를 모든 학생들에게 언제든지 이용할 수 있게 해야 한다.
  • 컴퓨터를 모든 교실에서 시범을 목적으로 이용할 수 있게 해야 한다.
  • 모든 학생들은 개인적인 연구나 집단 연구를 위해 컴퓨터에 접근할 수 있어야 한다.
  • 학생들은 문제를 탐구하고 해결하기 위해 정보를 처리하고 계산을 수행하는 도구로서 컴퓨터를 사용하는 법을 배워야 한다.

계산기와 컴퓨터로 말미암아 기본계산과 알고리즘을 배워야 할 필요성이 없어지는 것은 결코 아니며, 지필 계산 알고리즘에 어느 정도 숙달되는 것은 변함 없이 중요하다. 학생들은 다양한 방법으로 계산을 할 수 있어야 하고, 계산을 해야 할 문제상황이 생겼을 때는 적절한 계산 방법을 택할 수 있어야 한다. 이를테면 근사해가 적절한 경우에는 어림셈, 정확한 계산이 필요한 계산은 지필 계산법, 복잡한 계산에는 계산기를 이용할 수 있어야 한다. 계산기를 이용하는 경우 계산 결과의 합리성을 판단하기 위하여 어림셈이 사용될 수 있어야 한다.

고등학교 수준에서 컴퓨터 그래픽 기능과 의사 무작위 점을 생성하는 기능을 이용하는 몬테 카를로Monte Carlo 모의실험 방법을 사용하여 곡선 아래의 넓이의 근사값을 구하는 방법을 지도할 수 있다. 또한 컴퓨터나 그래픽 기능의 zoom in 기능을 이용하여 다항식의 실근의 근사값을 구할 수 있다.

(1) 컴퓨터를 이용한 교수․학습 양식

교육용 컴퓨터 소프트웨어는 교수 방향을 어느 정도 정해 놓았는가와 학생의 학습 주도권을 어느 정도 허용하느냐에 따라 분류된다.

  • 개인교사형tutor은 전통적인 교사의 역할을 컴퓨터가 대신하는 양식으로서, 여기에서 컴퓨터는 정교한 교수 기계로 사용된다. 대부분의 컴퓨터 보조학습CAI용 소프트웨어가 여기에 속하는데, CAI란 Computer Assistant Instruction의 약자로서 학습 목표에 따라 논리적이고 체계적으로 구성된 학습과정이 컴퓨터에 의해 제공되는 개별화된 교수 체계를 말한다. 교사가 할 일을 컴퓨터 프로그램이 대신 해주지만 학생이 수동적이므로 수학의 본질을 이해하는 것은 보장되지 않는다.
  • 학생주도형tutee에서는 학생이 컴퓨터를 지도하는 역할을 하는데, 이 경우에 컴퓨터의 역할은 개인교사형의 반대가 된다. 학생은 자신이 구성하여 입력하는 일련의 논리적인 단계를 통해 컴퓨터가 행동을 수행하도록 프로그램하고 그 결과를 살펴봄으로써 자신의 사고과정을 반성하고 수학학습에 도움을 얻을 수 있다. 대표적인 프로그램으로는 Basic, LOGO, Mathematica 등이 있다.
  • 보조도구형tool은 현재 연구와 개발이 가장 활발한 분야로서 교수․학습 상황에서 컴퓨터를 보조 도구로 사용하는 것이다. 그래프를 그리거나 기호 조작이 가능하며 데이터를 분석하고 수학적인 절차를 수행하는 소프트웨어를 사용하여 수학학습을 하는 것이 이에 해당한다.

참고로 학생주도형과 보조도구형이 결합된 양식으로서 탐구학습형을 들기도 한다.

(2) 컴퓨터와 계산기 사용의 장단점

컴퓨터와 계산기를 사용하였을 때의 장점으로는 다음과 같은 것들이 있다.

  • 수학 교수․학습에서 구체적 사고와 추상적 사고를 연결해주는 매체가 된다.
  • 수학적 다양성의 원리와 지각적 다양성의 원리에 따라 지도할 때 종래의 지필환경에서의 한계점을 극복할 수 있다. 이를테면 함수 y=ax+b의 그래프의 모양의 변화를 역동적으로 관찰할 수 있다.
  • 시각화나 구체적인 대상의 조작뿐만 아니라 조작의 반성이 이루어지면 컴퓨터의 시각적 기능과 조작적 기능은 학생들로 하여금 수학에 보다 쉽게 접근할 수 있게 해준다. 이를테면 LOGO를 통한 수학학습에서 피아제의 반영적 추상화는 학습을 의미 있게 만들 수 있다. 따라서 다음과 같이 다시 정리할 수 있다 - 반성 과정이 강조되지 않을 때에는 기계적 학습이 될 수 있다. 거북이의 움직임을 통해 자신의 사고와 행동을 명확하게 인식할 수 있다. 컴퓨터 프로그래밍에서의 오류수정활동은 수학적 사고력을 향상시키는 기회로 활용될 수 있다.
  • 컴퓨터는 추상적인 수학적 개념을 시각적으로 제시하여 추상적인 수학적 지식에의 접근을 용이하게 함으로써 그 의미의 이해에 기여할 수 있는 상태에서 형식적인 증명이나 개념학습의 전 단계에서 그래프, 애니메이션, 동영상, 시뮬레이션 등을 통한 직관적 탐구활동은 수학의 역동적이고 발생적인 측면을 부각시킬 수 있다.

반면 컴퓨터와 계산기를 사용했을 때 장애가 될 수 있는 점으로 다음과 같은 것들을 들 수 있다.

  • 수학적 지식의 강렬한 시각적 표현은 수학적 사고의 구성에서 배경화․개인화 과정을 도울 수 있지만 오히려 탈배경화․탈개인화 과정을 방해할 수도 있다.
  • 학생들의 사고가 구체적이고 직관적 이해수준에 고착될 위험이 있다.
  • 일반화된 수학적 명제를 형식적으로 증명해야 하는 경우 여러 가지 예를 직관적으로 확인하는 것으로 충분하다는 오류를 범할 수도 있다.

컴퓨터를 활용하여 수학적 개념, 원리, 법칙에 대한 직관적인 이해나 귀납적 발견활동을 하도록 함에 있어서 유의해야 할 점은 그 목적을 분명히 해야 한다는 것이다. 궁극적으로 추구하는 것이 형식적인 일반화라면, 그러한 활동으로만 끝나는 것은 바람직하지 않다. 컴퓨터를 활용한 교수․학습에서 발생한 장애를 극복하기 위해서는 시각화나 구체적인 대상의 조작 후에 반드시 조작의 반성이 필수적으로 요구된다. 즉 직관적으로 인식된 기하의 성질은 반드시 ‘증명’을 통하여 진리성이 보장되어야 하며, 수학적으로 개념을 정리해야 한다.

(3) 수학적 지식의 변환

가르치고 배우는 활동은 어떤 내용과 방법의 결합으로 구성된다고 할 수 있다. 그러므로 교수내용과 방법은 결코 분리해서 생각할 수 없는 밀접한 관련성을 갖는다. 교수내용의 변화가 필연적으로 교수방법의 변화를 야기하는 것은 말할 것도 없거니와, 교수방법의 변화 또한 불가피하게 교수내용을 변화시킨다. 더욱이 교수내용에 대한 신중한 고찰 없이 시도되는 교수방법상의 변화는 수학적 지식을 바람직하지 않는 방향으로 변화시킬 위험성을 내포하고 있다. 결국 수학교육의 방법론적인 도구로서의 컴퓨터의 활용은 학교수학의 본질을 변화시킬 위험성을 필연적으로 내포하고 있다고 할 수 있으므로 그에 대한 보다 면밀한 분석이 요구된다.

컴퓨터에 의한 수학적 지식의 교수학적 변환은 브루소가 제시한 네 가지의 극단적인 현상을 보여준다. 컴퓨터를 활용한 교수․학습에서는 학습내용인 수학적 지식보다 컴퓨터의 조작으로 학습자의 관심이 옮아가기 쉬우며, 수학적 지식을 지나치게 배경화․개인화할 가능성이 크기 때문에 메타인지적 이동현상이 발생하기 쉽다. 개인교수형 컴퓨터 소프트웨어를 이용한 학습상황에서는 학생들의 사고가 주어진 과제를 해결하거나 의도하는 수학적 지식을 학습하는 데 집중하기보다는, 주어진 과제를 해결하기 위한 힌트를 컴퓨터에서 얻는 방법을 찾는 데 집중하는 메타인지적 이동이 일어날 수 있다. 또한 웹기반 교수환경에서는 흔히 문제와 함께 쉽게 도움을 받을 수 있는 힌트 버튼과 정답 버튼이 제공되기 때문에 토파즈 현상이 야기되기 쉽다. 그리고 컴퓨터 환경에서는 학생들이 컴퓨터가 안내하는 대로 특정 조작을 수행하여 원하는 결과를 얻었을 때, 그런 조작 이면에 들어 있는 수학적 개념을 이해하였다고 할 수 없는 경우에도 정답으로 처리하게 되므로 주르뎅 효과라는 극단적인 현상이 일어나기 쉬운 것이다.

컴퓨터를 수학 교수․학습에 이용하고자 할 때 가장 먼저 고려해야 할 점은 지금 무엇을 지도하고자 하는가, 학생들에게 어떤 수학적 사고를 하도록 지도하려고 하고 있는가, 지도내용의 관점은 무엇인가를 명확히 하는 것이다. 그 다음에 고려해야 할 점은 전통적인 교수매체로 그 목적을 충분히 달성할 수 있는가, 그렇지 않다면 컴퓨터의 장점을 이용하면 그것이 가능할 것인가를 엄정하게 판단하는 일이다. 이는 당연한 일인지도 모르는데 간과해서는 안 되는 가장 중요한 문제라고 생각된다. 또한 컴퓨터를 수학교육에 이용할 때 간과해서는 안 되는 문제가 컴퓨터가 가진 시각화 기능, 시뮬레이션 기능, 동영상 기능, 애니메이션 기능, 신속한 계산기능 등과 같은 장점과 더불어 기계적 소음과 처리과정의 지연에 따른 사고리듬의 파괴, 강렬한 색채가 초래하는 사고의 장애, 이산적이고 알고리즘적인 처리에 따른 소프트웨어의 한계, 가장 심각한 문제이지만 잘못된 교수학적 변환으로 인한 지도 관점의 왜곡 가능성 등 그 단점을 충분히 고려하여 이용하여야 한다는 점이다. 교사는 컴퓨터 활용이 가르치고자 하는 내용, 즉 수학적 지식의 성격을 변형하거나 왜곡할 위험성에 대해 끊임없이 경계하고 통제해야 한다.

또한 컴퓨터를 수학교육에 이용할 때에는 컴퓨터와 사용하는 소프트웨어의 한계를 분명하게 인식하고 적절하게 사용해야 한다. 컴퓨터와 소프트웨어의 한계를 넘어서서 적절하지 않는 영역에까지 그것을 활용하려는 시도는 교육적으로 여러 가지 부정적인 결과를 초래한다. 컴퓨터나 소프트웨어의 한계를 학생들에게 인식시키고 컴퓨터에서 다루기 곤란한 무리수와 같은 수학적 개념의 본질을 오히려 컴퓨터의 한계를 통해 더욱 명확하게 이해시킬 수 있다. 교사는 컴퓨터 환경에서 수학 교수․학습 개선에 이용할 수 있는 부분이 무엇인가를 탐색하는 동시에, 개발된 자료가 가르치고자 하는 수학적 지식의 교수․학습에 진정으로 도움이 되는지, 수학적 지식의 의미와 성격을 변형시키지는 않는지에 대해 항상 경각심을 가져야 한다.

참고문헌

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