원뿔곡선의 정의 유도

By | April 13, 2012

직원뿔을 꼭짓점을 지나지 않는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면을 이루는 곡선을 원뿔곡선 또는 원추곡선이라고 부른다. 자르는 평면의 각에 따라서 원뿔곡선의 이름이 달라진다.

  • 원 : 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때
  • 타원 : 모선보다 작은(완만한) 기울기를 가진 평면으로 잘랐을 때
  • 포물선 : 한 모선과 평행한 평면으로 잘랐을 때
  • 쌍곡선 : 모선보다 큰(가파른) 기울기를 가진 평면으로 잘랐을 때

평면상에서 이들의 정의는 다음과 같다.

  • 원 : 한 점으로부터 거리가 일정한 점들의 모임
  • 타원 : 두 초점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 모임
  • 포물선 : 한 초점으로부터의 거리와 준선으로부터의 거리가 같은 점들의 모임
  • 쌍곡선 : 두 초점으로터 거리의 차가 일정한 점들의 모임

여기서는 원뿔을 잘라서 만든 곡선이 실제로 위 정의를 만족시킨다는 것을 보이자. 원의 경우는 자명하므로 생략하고, 나머지 세 곡선의 정의를 쌍곡선, 타원, 포물선 순으로 유도하겠다.

1. 쌍곡선

아래 그림과 같이 원뿔을 평면 α로 자른다. 이때 생긴 두 곡선을 E1, E2라고 하자. 원뿔에 선접하면서 평면 α에도 접하는 구가 2개 존재한다.

여기서 선접한다는 것은 접하는 부분이 선을 이룬다는 것을 의미한다. 구가 원뿔에 선접할 때 접선은 원이 된다. 두 원 중 E1에 가까운 것을 C1이라고 하고 E2에 가까운 것을 C2라고 하자. 또한 두 구가 평면 α와 만나는 점, 즉 두 접점을 F1, F2라고 하자.

곡선 위의 임의의 점을 하나 잡아 P라고 하자. 점 P와 꼭짓점 Q를 지나는 직선이 원 C1과 만나는 점을 A라고 하고 원 C2와 만나는 점을 B라고 하자.

그러면 다음과 같은 계산을 통해 주어진 곡선 E1, E2가 F1, F2를 초점으로 하는 쌍곡선의 정의를 만족시킨다는 사실을 알 수 있다. 계산 과정에서, 한 점으로부터 한 구에 그은 두 접선의 길이가 서로 같다는 사실을 이용하였다.

원뿔곡선의 정의 - 쌍곡선

위 그림에서 선분 AB의 길이가 일정한 것은 선분 AB가 두 원뿔의 모선 AQ와 QB의 길이의 합과 같기 때문이다.

2. 타원

아래 그림과 같이 원뿔을 평면 α로 자른다. 이때 생긴 곡선을 E라고 하자. 원뿔에 선접하면서 평면 α에도 접하는 구가 2개 존재한다.

구가 원뿔에 선접할 때 접선은 원이 된다. 두 원 중 더 큰 것을 C1이라고 하고 더 작은 것을 C2라고 하자. 또한 두 구가 평면 α와 만나는 점, 즉 두 접점을 F1, F2라고 하자.

곡선 위의 임의의 점을 하나 잡아 P라고 하자. 점 P와 꼭짓점 Q를 지나는 직선이 원 C1과 만나는 점을 A라고 하고 원 C2와 만나는 점을 B라고 하자. 그러면 다음과 같은 계산을 통해 주어진 곡선 E가 F1, F2를 초점으로 하는 타원의 정의를 만족시킨다는 사실을 알 수 있다.

원뿔곡선의 정의 - 타원

쌍곡선의 경우와 마찬가지로, 위 그림에서 선분 AB의 길이가 일정한 것은 선분 AB가 두 원뿔의 모선의 길이 AQ와 BQ의 차와 같기 때문이다.

3. 포물선

아래 그림과 같이 원뿔을 평면 α로 자른다. 이때 생긴 곡선을 E라고 하자. 원뿔에 선접하면서 평면 α에도 접하는 구가 1개 존재한다. 구가 평면 α와 만나는 점, 즉 접점을 F라고 하자.

한편 구가 원뿔에 선접할 때 접선은 원이 된다. 그 원을 C라고 하자. C를 포함하는 평면을 β라고 하고, 평면 β와 평면 α의 교선을 L이라고 하자.

곡선 위의 임의의 점을 하나 잡아 P라고 하자. P에서 L에 내린 수선의 발을 B라고 하자. P와 꼭짓점 Q를 이은 선분이 원 C와 만나는 점을 A라고 하자. 그러면 다음과 같은 계산을 통해 곡선 E가 F를 초점으로 하고 L을 준선으로 하는 포물선의 정의를 만족시킨다는 것을 알 수 있다.

원뿔곡선의 정의 - 포물선

여기서 두 선분 PA와 PB의 길이가 같은 이유는 두 선분이 각각 평면 β와 이루는 각이 동일하기 때문이다.

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