유리수의 조밀성과 무리수의 조밀성

By | October 8, 2016

서로 다른 두 실수 사이에는 반드시 유리수가 존재한다. 이 성질을 유리수의 조밀성이라고 부른다. [사실 '유리수계의 조밀성' 또는 '유리수 집합의 조밀성'이라고 표현해야 정확하지만 관용적으로 '유리수의 조밀성'이라고 표현한다.]

조밀성은 원래 위상공간에서 정의된다. \((X,~\mathcal{T})\)가 위상공간이고 \(E \subseteq X\)라고 하자. 만약 \(X \subseteq \overline{E}\)가 성립하면 '\(E\)는 \(X\)에서 조밀하다'라고 말한다. [여기서 \(\overline{E}\)는 \(E\)의 폐포(closure)를 나타낸다.]

서로 다른 두 실수 사이에 반드시 유리수가 존재한다는 사실로부터 \(\mathbb{Q}\)가 \(\mathbb{R}\)에서 조밀하다는 사실이 증명된다. 따라서 유리수의 조밀성을 증명기 위해서는 서로 다른 두 실수 사이에 유리수가 존재한다는 것을 보이면 충분하다.

유리수의 조밀성

\(a\)와 \(b\)가 실수이고 \(a < b\)라고 하자.

먼저 \(b > 0\)인 경우를 증명하자. \(b-a >0\)이므로 아르키메데스의 정리에 의하여 \(1 < n(b-a)\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. 즉 \(n\)은 다음 부등식을 만족시킨다. \[a-b < - \frac{1}{n} \tag{1} \] 다시 아르키메데스의 정리에 의하여 \(bn \le m\)인 자연수 \(m\)이 존재한다. 자연수 집합은 정렬집합이므로 그러한 자연수 \(m\) 중에서 가장 작은 것을 택할 수 있다. 그러면 \[b \le \frac{m}{n} \tag{2} \] 즉 \[\frac{m-1}{n} < b \tag{3} \] 가 성립한다. (1), (2), (3)에 의하여 \[a = b+(a-b) < \frac{m}{n} + \left( - \frac{1}{n} \right) = \frac{m-1}{n} < b \tag{4} \] 가 성립한다. 여기서 \[r := \frac{m-1}{n}\] 이라고 하면 (4)에 의하여 \( a < r < b \)를 얻는다. 즉 \(r\)는 \(a\)와 \(b\) 사이에 있는 유리수이다.

다음으로 \(b \le 0\)인 경우를 증명하자. 자연수 집합은 위로 유계가 아니므로 \(0 < b+p \)인 자연수 \(p\)가 존재한다. 그러면 \(a+p < b+p\)이므로, 앞의 논의에 의하여 \[a+p < q < b+p\] 인 유리수 \(q\)가 존재한다. 이때 \(r := q-p \)라고 하면 \(r\)는 \(a\)와 \(b\) 사이에 있는 유리수가 된다.

무리수의 조밀성

무리수의 조밀성 또한 유리수의 조밀성과 같은 개념이다. 즉 서로 다른 임의의 두 실수 사이에 무리수가 반드시 존재한다. 이것을 증명하자.

\(a\)와 \(b\)가 실수이고 \(a < b\)라고 하자. \(\sqrt{2} +1\)이 양수이므로 \[ ( \sqrt{2} +1) a < ( \sqrt{2} +1) b \] 가 성립한다. 이제 유리수의 조밀성에 의하여 \[ ( \sqrt{2} +1) a < r < ( \sqrt{2} +1 ) b ,~~ r \ne 0 \tag{5} \] 인 유리수 \(r\)가 존재한다. \( \sqrt{2} -1 \)이 양수이므로 (5)에 의하여 \[ (\sqrt{2} +1 ) (\sqrt{2} -1) a < (\sqrt{2} -1) r < (\sqrt{2} +1 ) (\sqrt{2} -1) b \] 즉 \[ a < (\sqrt{2} -1) r < b \tag{6} \] 를 얻는다. \(s := (\sqrt{2} -1) r\)라고 하면 \(s\)는 \(a\)와 \(b\) 사이에 있는 무리수가 된다.

실수집합의 비가산성을 이용한 증명

무리수의 조밀성을 증명하는 독특한 방법을 하나 살펴보자.

\(a\)와 \(b\)가 실수이고 \(a < b\)라고 하자. 함수 \(f : ( a,~b) \to \mathbb{R}\)를

\[f(x) := \frac{2x-a-b}{(x-a)(x-b)}\] 라고 정의하면 \(f\)는 \((a,~b)\)로부터 \(\mathbb{R}\)로의 일대일 대응이다. [두 집합 사이의 일대일 대응은 이 함수 외에도 여러 가지를 생각할 수 있다.] 그러므로 \((a,~b)\)는 비가산집합이다.

만약 \(a\)와 \(b\) 사이에 무리수가 존재하지 않는다면 유리수만 존재하므로 \((a,~b)\)는 가산집합이다. 이것은 모순이므로 \(a\)와 \(b\) 사이에 무리수가 존재한다.

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